《函数的单调性与极值》教案1(北师大版选修1-1)

1、( 8,2)(2, + 8)V= f(x)减函数增函数切线 斜率负正f'(x)V 0>02解：f (x)' = 6x 12x.第四章导数应用4. 1. 1函数的单调性与导数(一)、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性 三、教学过程(一)复习引入1 .增函数、减函数的定义一般地，设函数 f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自 变量Xi , X2,当X1VX2时，都有f(Xi)V

2、f(X2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.当X1VX2时，都有f(Xi)>f(X2),那么就说f (X)在这个区间上是减函数.2 .函数的单调性如果函数y= f(X)在某个区间是增函数或减函数， 那么就说函数 y=f(X)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(X)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.例1讨论函数y = X24x+ 3的单调性.解：取 X1VX2, X1、X2CR,取值f (X1) f(X2)= (X12-4X1+3) (X22 4X2+3)作差=(X1-X2)( X1+X2-4)变形当 X1VX2V2 时，X1+X2

3、4v0, f(X1) >f (X2),定号 .y=f(X)在(一92)单调递减.判断当 2VX1VX2时，X1 + X2 4>0, f(X1)vf(X2),.y=f(X)在(2, +8)单调递增.综上所述y=f (x)在(吟2)单调递减，y=f(X)在(2, + 8)单调递增。能否利用导数的符号来判断函数单调性?一般地，设函数y=f (x)在某个区间内可导，如果f(X) >0,则f(x)为增函数；如果f(X) <0,则f(x)为减函数.例2.教材P24面的例1。例3.确定函数f(x) =x2-2x+4在哪个区间内是增函数，解：f(x)' =2x-2,令 2x2&

4、gt;0,解得 x>1.因此，当x (1, + 8)时，f(x)是增函数.令 2x 2<0,解得 xv 1.因此，当xC(8,1)时，f(x)是减函数.例4.确定函数f (X) = 2x3- 6x2+ 7在哪个区间内是增函数，令 6x212x>0,解得 x<0 或 x>2.因此，当xC(8,0)时，函数f(x)是增函数，当xC(2, +8)时，f (x)也是增函数.令 6x2- 12x<0,解得 0vxv2.因此，当xC(0, 2)时，f(x)是减函数.利用导数确定函数的单调性的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出函数的导数；(3)解不等式f (

5、x) >0,得函数的单调递增区间；解不等式f<x) <0,得函数的单调递减区间.练习1:教材的例2利用导数的符号来判断函数单调性：设函数y = f(x)在某个区间内可导(1)如果f ' (x)>0 ,则f(x)为严格增函数；(2)如果f '(x) <0 ,则f(x)为严格减函数.思考：(1)若f ' (x) > 0是f (x)在此区间上为增函数的什么条件？若f ' (x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件.例如 f(x)=x3,当 x=0, f ' (x)=0 , xW0 时，f ' (x

6、)>0 ,函数 f(x) = x3在(一°°, + °°)上是增函数.(2)若f' (x) =0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数？若某个区间内恒有f ' (x)=0,则f (x)为常数函数.教科书练习(1)(三)课堂小结1.判断函数的单调性的方法；2 .导数与单调性的关系；3 .证明单调性的方法.(四)习案作业七4. 1. 1函数的单调性与导数(二)一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；

7、利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程(一)复习1 .确定下列函数的单调区间： 32332(1) y = x9x+24x； y=x-x . (4) f (x) = 2x 9x + 12x 32 .讨论二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的单调区间.3 .在区间(a, b)内f' (x) >0是f (x)在(a, b)内单调递增的(A)A.充分而不必要条件B .必要但不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件(二)举例例1.求下列函数的单调区间(1) f (x) = xln x(x>0);(2)f(x) =log(3x2 5x-2)(3) y =3(2

8、x1)(1 x)2.(4)f (x) = ln(3x - b)(b>。)(5)判断f (x) = lg(X X2)的单调性。分三种方法：(定义法)(复合函数)(导数)例2. (1)求函数y =1x3 一1 (a+a2)x2+a3x+a2的单调减区间32(2)讨论函数f (x) =/x-(1 <x<1,b=0)的单调性.x -1(3)设函数 f ( x) = ax - ( a + 1) In ( x + 1),其中 a> - 1,求 f ( x)的单调区间.(1)解：v = x2 ( a + a2) x + a3 = ( x - a) ( x - a2),令 y'

9、 v 0 得(x a) ( x -a) v 0.(1)当a<0时，不等式解集为 avxv a2此时函数的单调减区间为 (a, a2)；(2)当0va<1时，不等式解集为 a2vxva此时函数的单调减区间为 (a2, a);(3)当a>1时，不等式解集为 avxva2此时函数的单调减区间为 (a, a2)；(4) a = 0 , a = 1时，y' >0此时，无减区间.综上所述：当a<0或a>1时的函数y = 1x3-1 (a+a2)x2+a3x+a2的单调减区间为(a, a2); 321。1c c ° c2当0vav1时的函数y=-x (a

10、 +a )x +a x+a的单倜减区间为(a, a)；32当a = 0 , a = 1时，无减区间(2)解：: f(r)= ? =-b = =一,.f ( x)在定义域上是奇函数(-x) -1 x -1在这里，只需讨论f ( x)在(0, 1)上的单调性即可当 0vxv1 时，f ' ( x) = b() x -12.2. -2_ 2,x -1 -x(x -1), x -2x -1=b-2-2= b 2 i-(x -1)(x -1)j4a.(x -1)若b>0,则有f '(x)<0,.函数f (x)在(0, 1)上是单调递减的;若b<0,则有f '(x

11、)>0,，函数f (x)在(0, 1)上是单调递增的由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论:当b>0时，函数f ( x)在(-1,1)上是单调递减的;当b<0时，函数f ( x)在(-1,1)上是单调递增的(3)解：由已知得函数 f (x)的定义域为(-1, + 8),且f卜)=3二1(a>- 1). x 1(1)当-1W aw 0 时，f ' ( x) <0,函 f ( x)在(-1, + 8)上单调递减.(2)当a>0时，由f ' ( x) = 0 ,解得x=. af ' ( x)、f ( x)随x的变化情况如

12、下表：x(-1,-) a1a1 .(一 ,%C) af ' (x)一0+f ( x)极小值从上表可知，一 1 一一 .1 当xC(_1,_)时，f ' (x)<0,函数f ( X)在(1,)上单倜递减. aa当xC(1,收)时，f ' (x) >0,函数f ( x)在(1,收)上单调递增. aa综上所述，当-1 w aw 0时，函数f( x)在(-1, + °°)上单调递减；11当a>0时，函数f ( x)在(_1)上单调递减，函数 f (x)在(，合)上单调递增 aa4. 1. 3函数的单调性与导数(三)教学目标：了解可导函数的单

13、调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性教学过程：一、练习讲解及上一课时的例 2。二、新课：题型一：求参数的取值范围：例1.要使函数f (x) = x2 + 3(a + 1)x - 2在区间(一0° ,3上是减函数，求实数a的 取值范围。.1312/、/例2.右函数f (x) = x ax + (a 1)x +1在区间(1,4)上是减函数，在区32间(6, +°0 )上是增函数，求实数 a的取值范围题型二：证明不等式例 1.已知 x>

14、1,求证：x>ln(1 +x).2x 例2.已知x>0,求证：1+2x> e .31例 3.已知 xw (0,),求证：sin x < x < tan x22x x x练习：已知x >0，证明不等式1 + 一 < J1 + x <1+.2 82小结：若证明f (x) > g(x) ,x C ( a, b)可以等价转换为证明 f(x) g(x) >0,如果(f (x) g(x)'>0,说明函数f (x) -g(x)在(a, b)上是增函数，如果f (a) g(a) > 0,由增函数的定义可知， 当xC(a, b) 时

15、，f (x) -g(x) >0,即 f(x)>g(x).题型三：有关方程根的问题1例1.求证：方程x sin x = 0只有一个根x = 0. 2小结：用求导的方法确定根的个数， 形结合的思想来确定函数的图象与是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数x轴的交点个数，最简单的一种是只有个根)的情况，即函数在某个定义域内是单调函数，再结合某一个特殊值来确定1个交点(即1f (x) =0.课堂小结1 .题型一2 .题型二3 .题型三 课后作业:求取值范围；证明不等式；有关方程根的问题;4. 1. 4函数的单调性与导数(四)、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用

16、导数判断函数单调性的方法.、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性、教学过程：(一)讲授新课1 .曲线y=1x3+x在点，1,f i处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3. 3c- 31 二 一e,A。92 .函数f(x) =xln x(x >0)的单调递增区间是, 一 .一，. 13 .已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1)处的切线方程是 y=-x + 2,2则 f (1)十 f '(1)=3一4.已知函数f x)=Se“x1 -x(I)设a>0,讨论y= f (x)的单调性;(

17、n)若对任意xw (0,1 )原有f (x )>1,求a的取值范围。解：(I) f(X)的定义域为(1) U (1, -HC)-ax3 1 x'e*x_ax-x2 ax-2-e-1-x2-aax0 因为1 一x_axe-21-x2(其中 x=1)恒成立，所以 f (x)0U ax +(2-a)>0当0<a<2时, 所以f（x）在（f'（xA0在（, 0）U（1,2）上恒成立,-°0 ,1)U(1,当 a =2 时，f'（x）>0 在（所以 f（x ）在（g , 1） UoO收）上为增函数；,0）U（0, 1）U（ 1, 土

18、9;）上恒成立,（1,收）上为增函数;t =区间（3 ,。）(-t , t )(t, 1)(1 , +8 )f'（X后符号+f（X）的单调性增函数减函数增函数增函数f 0 =12当 a >2 时，ax （2 a ）>0 的解为：（g , _t）U （t , 1）U（ 1, +0c）（其中 所以f （x）在各区间内的增减性如下表：(II )显然当0<aM2时，f（x ）在区间0,1）上是增函数，所以对任意x三（0,1）都有f（x）>f（0）； 当a>2时，f（t ）是f（x ）在区间0,簿上的最小值，即f（t）<f（0）,这与题目要求 矛盾； 若a&l

19、t;0, f（x ）在区间0, 1）上是增函数，所以对任意综合、 ，a的取值范围为（3,2）xW （0, 1）都有 f（x）f（0）。5.设 a>0, f ( x)=x 1 ln 2 x+2a In x (x>0).令F (x) =xf / (x),讨论F (x)在(0. +8)内的单调性21n x 2a解：根据求导法则有f '(x) = 1 包三+£a, x>0,x x故 F (x) = xf ( x) = x -2ln x + 2a, x > 0 ,于是 F '(x) =1- = , x >0 ,列表如下:x xx(0,2)2(2,+

20、o0)F'(x)0+F(x)极小值F（2）L故知F（x）在（0,2）内是减函数，在（2,+8）内是增函数课堂小结4. 1. 2函数的极值与导数(1)一、教学目标1 知识与技能1结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2 过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。3 情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部 性质，增强学生数形结合的思维意识。二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程回忆函数的单调

21、性与导数的关系，与已有知识的联系提出问题，激发求知欲组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程一、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么?(提高学生回答)2.观察图1.3.8表示高台跳水运动员的高度h力 M)=o随时间t变化的函数h(t)=-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题(1)当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数 h(t堆t=a处的导数是多少呢？(3)点t=a附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳： 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在(图 I- 3. 9)t=a的附近，当tv

22、a时，函数h(t)单调递增,' , . . _h (t )> 0;当t > a时，函数h(t )单倜递减,.'. h (t卜0,即当t在a的附近从小到大经过 a时， '一一.' 一h(t)先正后负，且h (t )连续变化，于是h/ (a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：(1)函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系(2)函数y=f(x)在a.b.点的导数 值是多少？(3)在a.b点附近，y=f(x)的导数 的

23、符号分别是什么，并且有什么关系 呢？2、极值的定义：点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数 极大值点与极小值点称为极值点我们把点a叫做函数y=f(x)的极小 值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小 值；极大值与极小值称为极值y=f(x)的极大值。3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点xo取得极值的充要条件吗？充要条件：f(x o)=O且点xo的左右附近的导数值符号要相反4、引导学生观察图1.3.11 ,回答以下问题：(1)找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？(2)极大值一定大于极小值吗？5、随堂练习：1如图是函数 y=f(x)的函数，试找出函数 y=f

24、(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些 > 一 . ， ,一 .是极小值点.如果把函数图象改为导函数y= f (x )的图象？ <三>、讲解例题1 Q例4求函数f(x)= - x 4x+4的极值3教师分析：求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点；由函数单调性确定在极点Xo附近f/(x)的符号，从而确定哪一点是极大值点，哪一点为极小值点，从而求出函数的极值.学生动手做，教师引导一 一 1 。一， 2斛：f(X ) = - X 4x +4 f (x )=x -4=(x-2)(x+2)令 f (x)=0,解得 x=2,或 x=-2.下面分两种情况讨论： 当 f (x)&g

25、t;0,即 x>2,或 xv-2 时;f (x)2(2)当 f (x )v 0,即-2 vxv 2 时.x(-00 ,-2)-2(-2,2)2(2,+ 8)f (x)+00+f(x)单调递增28单调递减4单调递增33.当x变化时，f (x ),f(x)的变化情况如下表：因此，当x=-2时,f(x)有极大值，且极大值为f(-2)="；当x=2时,f(x)有极3-x3 - 4x 4 3，一一一 一，4小值，且极小值为f(2)=-31 Q函数f (x ) = - x -4x +4的图象如： 3归纳：求函数y=f(x)极值的方法是：1 求 f (x ),解方程 f (x )=0,当 f

26、 (x )=0 时:(1)如果在x。附近的左边f (x)>0,右边f (x)<0,那么f(x。)是极大之-(2)如果在x。附近的左边f (x)<0,右边f (x)>0,那么f(x o)是极小值<四、课堂练习1、求函数f(x)=3x-x 3的极值2、思考：已知函数 f (x) =ax3+bx2-2x在x=-2 , x=1处取得极值， 求函数f (x)的解析式及单调区间。五、课后思考题：1、 若函数f(x)=x 3-3bx+3b在(。，1)内有极小值，求实数 b的范围。2、 已知f(x)=x 3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数 a的范围。<六、

27、课堂小结：1、 函数极值的定义2、 函数极值求解步骤3、 一个点为函数的极值点的充要条件。七>、作业P 84 3。4教学反思：本节的教学内容是导数的极值，有了上节课导数的单调性作铺垫，借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义，利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题 为了统一要求主张用列表的方式表示，刚开始学生都不愿接受这种格式，但随着几道例题与练习题的展示，学生体会到列表方式的简便，同时为能够快速判断导数的正负，我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函

28、数的求导的准确率 比较底，以及求函数的极值的过程板书仍不规范，看样子这些方面还要不断加强训练.4. 1. 2 函数的极值与导数(2)、教学目标：理解函数的极大值、极小值、 步体验导数的作用.、教学重点：求函数的极值 .教学难点：严格套用求极值的步骤、教学过程：极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进(一)函数的极值与导数的关系1、观察下图中的曲线a点的函数值f (a)比它临近点的函数值都大.b点的函数值f (b)比它临近点的函数值都小.2、观察函数 f(x) =2x36x2+7的图象，思考：函数y=f(x)在点x = 0, x= 2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点？(1

29、)函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；(2)函数在x= 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小， 则f (2)是函数的一个极小值.函数y= 2x36x2+7的一个极大值：f (0);一个极小值：f (2).函数y= 2x36x2+7的一个极大值点：(0, f (0);一个极小值点：(2, f (2).3、极值的概念：一般地，设函数f (x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，者B有f(x)v f(x0)我们就说f(X0)是函数f (x)的一个极大值，记作,如果对X0附近的所有的点，都有 f (x) >f(Xo) 我们就说f(xo)

30、是函数f(x)的一个极小值，记作 极大值与极小值统称为极值.4、观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况.y极大值=f(x0);y极小值=f (xo).f'(a) = 0；(x)< 0'(x)>0上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0,极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正.函数的极值点Xi是区间a, b内部的点，区间的端点不能成为极值点.函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值.函数在a, b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极 小值点.5、利用导

31、数判别函数的极大(小)值：一般地，当函数f(x)在点X0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法是: 如果在X0附近的左侧f ' (X) >0,右侧f ' (X) <0,那么，f(X0)是极大值; 如果在X0附近的左侧f ' (x)<0,右侧f ' (x) >0,那么，f(X0)是极小值; 思考：导数为0的点是否一定是极值点？导数为0的点不一定是极值点.如函数f (x) = X3, x=0点处的导数是 0,但它不是极值点.函数f(x)的定义域为开区间(a, b),导函数f (x)在(a, b)内的函数 图像如图，则函数f(x)在开区间(a, b)内存在极小值点个.1 3例1求函数y =x3 -4x+4的极值.3解：y X2 4= (x + 2)( x 2).令 y '= 0,解得 xi = -2, X2= 2.x(一 00 , 一 2)2(-2, 2)2(2, +00)F y+r 0一0+y/极大值 283、极小值4-3当x变化时，yy的变化情况如下表.因此，当x=