第二型曲线积分

1、§2 第二型曲线积分教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式.教学重点：第二型曲线积分的定义和计算.教学难点：第二型曲线积分的计算公式.教学过程一、第二型曲线积分的定义:（一）、力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线运动,当质点从之一端点A移动到另一端B时,求力F(x,y)所做功W.大家知道,如果质点受常力 F的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=|F|s|cos, 其中|F|.|s|分别表示向量(矢量)的长度,为F与S的夹角.现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和

2、局部一常代变的方法来解决它(微分分析法).为此,我们对有向曲线作分割,即在AB内插入n-1个分点与A=一起把曲线分成n个有向小曲线段(i=1,2,n),以记为小曲线段的弧长.设力F(x,y)在x轴和y轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y),即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,由于 记和=()从而力F(x,y)在小曲线段上所作的功=P()+Q (),其中()为小曲线段上任一点,于是力F沿C(AB)所作的功可近似=当时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得 , 即 .（二）、稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一

3、侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.（三）、第二型曲线积分的定义:设P,Q为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C上的函数,对任一分割T,它把C分成n个小弧段,I=1,2,3,n;记,弧长为, ,I=1,2,3,n.又设 (),若极限lim+lim存在且与分割T与界点()的取法无关,则称此极限为函数P,Q有线段C上的第二类曲线积分,记为或,也可以记为或.注:(1)若记f(x,y)=(P(x,y),Q(x,y) ,ds=(dx,dy)则上述记号可写成向量形式:(2)倘若C为光滑或分

4、段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R为定义在C上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C的第二类曲线积分,并记为.按这一定义 , 有力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为.流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有,因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分.（四）、第二型曲线积分的性质: 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的,

5、 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.(1)线性性 设C为有向曲线,存在, 则则存在,且.(2)可加性:设存在,存在,且.注: (1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?此时无所谓”起点”终点”,若为封闭有向线段,则记为(2) 设C是C的反向曲线(即C和C方向相反),则=-即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数f与弧

6、长的乘机,它与曲线C的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差别.二、第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线 , L : .A, B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有. (证略)注：起点参数值作下限，终点参数值作上限例1计算,其中分别沿以下路线从点到点,）直线；）抛物线：；）三角形周界解 ）直线:，故=）抛物线：，=）三角形周界：=+=+=注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为0例2计算，这里：）沿抛物线从到：I） 沿抛物线；）沿直线段：；）沿封闭曲线解）沿抛物线从到：=）沿直线段：，=注：这里不同路径积分值相同）沿封闭曲线：=+=注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为0。空间曲线时有：设有空间光滑曲线：起点为，终点为则有：=注：仍为起点参数作下