第二章2.3.2-第2课时

1、第2课时双曲线的几何性质及应用学习目标1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题知识点一直线与双曲线的位置关系思考直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案不能梳理设直线l：ykxm(m0)，双曲线C：1(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(2)当b2a2k20，即k时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个公共

2、点，此时称直线与双曲线相切；0直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离知识点二弦长公式若斜率为k(k0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|.(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切()(2)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2y21只有一个公共点，这样的直线可作2条()(3)直线l：yx与双曲线C：2x2y22有两个公共点()类型一直线与双曲线位置关系例1已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点考

3、点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解联立消去y，得(1k2)x22k2xk240.(*)当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)(1)由得k且k1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点(2)由得k，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点故当k或1时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3)由得k或k，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点反思与感悟(

4、1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论跟踪训练1已知双曲线x21，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解当直线l的斜率不存在时，l：x1与双曲线相切，符合题意当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x1)1，代入双曲线方程，得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50.当4k20时，k2，l与双曲线的渐近线平行

5、，l与双曲线只有一个公共点；当4k20时，令0，得k.综上，k或k2或k不存在类型二弦长公式及中点弦问题例2过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求|AB|的长考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积解易得双曲线的左焦点F1(2,0)，直线AB的方程为y(x2)，与双曲线方程联立，得8x24x130.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|3.反思与感悟解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围问题跟踪训练2设A，B为双曲线x21上的两点，线段AB的中点为M(1,2)求：(1)直线AB的方程；(2)OAB的面积(O为坐标

6、原点)考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积解(1)显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y2k(x1)，即ykx2k.由消去y，整理得(2k2)x22k(2k)xk24k60.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，解得k1.当k1时，满足0，直线AB的方程为yx1.(2)由(1)得x1x22，x1x23，|AB|4.又O到直线AB的距离d，SAOB|AB|d42.类型三直线与双曲线位置关系的综合问题例3直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦

7、点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题解(1)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21，整理得(k22)x22kx20，依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故解得k的取值范围为2k.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由式，得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F，则FAFB，y1y20，即(kx11)(kx21)0，(1k2)x1x2(x1x2)0，(1k2)0，化简得5k22k60，解得k或k(舍去)，可知k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点反思与感

8、悟解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解跟踪训练3已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点F到直线x的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1,0)，若1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题(1)解依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21.(2)证明设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得

9、2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，点M的横坐标为1，MAx轴，过A，B，D三点的圆与x轴相切.1双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A2 B2 C. D1考点双曲线的几何性质题点求双曲线的渐近线方程答案A解析双曲线1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为yx，点F到xy0的距离为2.2“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的()A充分不

10、必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系答案B3直线yx1被双曲线2x2y23所截得的弦的中点坐标是()A(1,2) B(2，1)C(1，2) D(2,1)考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系答案C解析将yx1代入2x2y23，得x22x40，由此可得弦的中点的横坐标为1，故选C.4过点A(3，1)且被A点平分的双曲线y21的弦所在的直线方程是_考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题答案3x4y50解析易知所求直线的斜率存在，设为k，设该直线的方程为y1k(x3)，代入y21，消去y得关于x的

11、一元二次方程(14k2)x2(24k28k)x36k224k80，6，k，所求直线方程为3x4y50.5过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则满足条件的直线l有_条考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案3解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x，由得y2，|AB|y1y2|4，满足题意当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x)，由得(2k2)x22k2x3k220.当2k20时，x1x2，x1x2，|AB| 4，解得k.故满足条件的直线l有3条双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、

12、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解. 一、选择题1双曲线C与椭圆1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x2y0，则双曲线C的标准方程为()Ay21By21或y21Cx21或y21Dy21考点由双曲线的简单几何性质求方程题点渐近线为条件求双曲线的方程答案B2已知双曲线1(a0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于()A. B. C.

13、 D.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案C解析由题意知a259, 解得a2，e.3(2019届浙江东阳中学期中)已知椭圆C1：y21，双曲线C2：1(a0，b0)若以椭圆C1的长轴为直径的圆与双曲线C2的一条渐近线交于A，B两点，且椭圆C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则双曲线C2的离心率是()A. B3 C. D5答案A解析由已知得|OA|，设OA的方程为ykx(k0，x0)，所以可设A(x0，kx0)，进一步可得x0，得A，所以AB的一个三等分点坐标为，该点在椭圆上，所以21，即113k29(1k2)，解得k22，从而有2，b22a2，解得e.4(2019嘉兴一中期末)

14、过双曲线C：1(ba0)的右顶点A作斜率为1的直线l，分别与两渐近线交于B，C两点，若2，则双曲线C的离心率为()A2 B. C. D.答案B5已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 B.x21C.1 D.1考点双曲线的几何性质题点求双曲线的标准方程答案A解析由题意得c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21.6斜率为2的直线l过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A2，) B(1，)C(1，) D(，)考点双曲线的离心率与渐近线题点双曲线离心率的取值范围答案D

15、7设P为双曲线C：x2y21上一点，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，若cosF1PF2，则PF1F2的外接圆半径为()A. B9 C. D3考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案C解析由题意知双曲线中a1，b1，c，所以|F1F2|2.因为cosF1PF2，所以sinF1PF2.在PF1F2中，2R(R为PF1F2的外接圆半径)，即2R，解得R，即PF1F2的外接圆半径为 ，故选C.二、填空题8两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是，且ab，则双曲线1的离心率e_.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案解析由解得或又ab，a3，b2，c，e.9已知双曲线C

16、：1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是_考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案(4，)解析等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，双曲线C：1的离心率e，即2，m4.10已知双曲线C的离心率为，焦点为F1，F2，点A在双曲线C上，若|F1A|3|F2A|，则cosAF2F1_.考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案解析设双曲线的方程为1(a0，b0)设A为右支上一点，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，且|F2A|m，由题意可得|F1A|3m，由双曲线的定义可得|F1A|F2A|2a，解得ma，又e，可得ca.在AF

17、1F2中，|F1A|3a，|F2A|a，|F1F2|2a，可得cosAF2F1.11已知直线l与双曲线C：x21交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,1)，则直线l的方程是_考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题答案8xy150解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1，x1，两式相减可得，(x1x2)(x1x2)0，由M(2,1)为AB的中点，得x1x24，y1y22，可得直线AB的斜率为k8，即直线AB的方程为y18(x2)，即8xy150.将y8x15代入双曲线的方程x21，可得60x2240x2290，即有2402460229240110，故直线l的方程为8x

18、y150.三、解答题12已知双曲线的渐近线方程为y2x，且过点(3，4)(1)求双曲线的方程；(2)若直线4xy60与双曲线相交于A，B两点，求|AB|的值考点由双曲线的几何性质求方程题点渐近线为条件求双曲线方程解(1)设所求双曲线的方程为x2(0)，把(3,4)代入方程，得9，所以1，所以所求双曲线的方程为x21.(2)直线方程4xy60可变形为y4x6，把y4x6代入x21，得3x212x100，则x1x24，x1x2，所以|AB| .13设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解(1)由题意，知a2，所以一条渐近线为yx，即bx2y0，所以，所以b23，所以双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程，消去y得x216x840，则x1x216，y1y212，所以所以由t，得(16，12)(4t,3t)，所以t4，点D的坐标为(4，3)四、探究与拓展14已知椭圆C1：1(a1b10)与双曲线C2：1(a20，b20