第五节解三角形及应用举例

1、5.5 解三角形及应用举例一 知识要点归纳：掌握三角形有关的定理：正余弦定理：a2=b2+c2-2bccos,；利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= -cosC,cos=sin,sin=cos面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS=pr= (其中p=,r为内切圆半

2、径)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。二例题讲解：例1在ABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及边c解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45

3、6;<90°且b<a,所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°，c=思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论例2：ABC的三个内角A、B、C的对边分别是，如果，求证：A2B证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2Asin2B=si

4、nBsinC=sinBsin（A+B）（cos2Bcos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（AB）=sinBsin（A+B），因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）0.所以sin（AB）=sinB.所以只能有AB=B，即A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.（1） 该题若用余弦定理如何解决? 解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA=，cos2B=2cos2B1=2（）21=1=。所以cosA=cos2B.因为A、B是ABC的内角，所以A=2B.（2） 该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角

5、形，利用几何知识解决?解：由题设a2=b（b+c），得=，作出ABC，延长CA到D，使AD=AB=c，连结BD.式表示的即是=，所以BCDABC.所以1=D.又AB=AD，可知2=D，所以1=2.，因为BAC=2+D=22=21，所以A=2B.评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷。例3已知锐角ABC中，（1）求证：；（2）设AB3，求AB边上的高。剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：sin（A+B）=，sin（AB）=，=2.tanA=2tanB.（2）解：

6、A+B，sin（A+B）=.tan（A+B）=，即=.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B4tanB1=0，解得tanB=（负值舍去）.得tanB=，tanA=2tanB=2+.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.例4：在ABC中，分别是角A、B、C的对边长，已知成等比数列，且，求角A的大小及的值。剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.解法一：a、b、c成

7、等比数列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60°.在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60°，=sin60°=.解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.b2=ac，A=60°，bcsinA=b2sinB.=sinA=.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.例5在ABC中，已知，求ABC的面积.解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，.故所求面积解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得故所求面积例6

8、如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设ÐMGAa（）（1） 试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG，ÐMAG，由正弦定理得则S1GM·GA·sina，同理可求得S2（2） y72（3cot2a），因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin216三、小结：1利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的