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文档简介

1、第四讲 泰勒级数§8.4 泰勒级数一、泰勒级数的定义 前面讨论了幂级数在其收敛域内收敛于和函数，但实际应用中，我们常遇到许多相反的问题对已知函数，是否能确定一个幂级数，在其收敛域内以为和函数我们知道，幂级数被其系数唯一确定，现在问题是在什么范围内，满足什么条件，其展开式的系数能唯一确定，并收敛于定理1设函数在区间内具有任意阶导数，且可展成幂级数，则幂级数的系数，其中 定义1 设在的某邻域内具有任意阶导数，则以为系数的幂级数称为在点处的泰勒级数当时，幂级数称为在点处的麦克劳林级数定理2 （泰勒中值定理）设在含有点的区间内，有一阶直到阶的连续导数，则当取区间内的任何值时，可以按的方幂展开

2、为其中 （在与之间）上述公式称为函数的泰勒公式，余项称为拉格朗日型余项特别地，当时，泰勒公式为其中 或令；则 上面的公式称为麦克劳林公式二、函数的泰勒展开式这里主要介绍如何把已知函数展成它的泰勒(Taylor)级数，并求其收敛区间 （一）直接展开法所谓直接展开法是指利用定理，证明，进而写出展开式并求出其收敛域例1 试在处，展开为泰勒级数解显然有各阶连续导数，且，于是 ，其中在到之间，由于对指定的来说，是非零有界变量用正项级数比值判别法可知，对任意的级数都收敛，因而 由两边夹定理有于是，对任何实数，都有例2 把展成麦克劳林级数解，于是 其中在到之间（二）间接展开法用已知函数的泰勒级数展开式，通过适当的运算，而将给定函数简捷灵便地展开例3 试展开为麦克劳林级数 解 注意到 ；那么就有例4 把在处展成泰勒级数解 因为 于是，逐项积分可得， 例5 将在处展开成泰勒级数解 因为 于是，逐项积分可得，例6 展开为的幂级数 解 因为 ；所以例7 求在处的泰勒展开式解例8 把展成的幂级数解 因为 注意

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