第十一章 第2节

1、第2节直接证明与间接证明最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.知 识 梳 理1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法

2、.(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，

3、再用综合法展现解决问题的过程.()解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)应假设“ab”.(3)反证法只否定结论.答案(1)×(2)×(3)×(4)2.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()A.ac2<bc2 B.a2>ab>b2C.< D.>解析a2aba(ab)，a<b<0，ab<0，a2ab>0，a2>ab.又abb2b(ab)>0，ab>b2，由得a2>ab>b2.答案B3.要证a2b21a2b20，只要证明(

4、)A.2ab1a2b20 B.a2b210C.1a2b20 D.(a21)(b21)0解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D4.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c至多有一个偶数D.假设a，b，c至多有两个偶数解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确.答案B5.(选修12P37例3改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为

5、_.解析由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形.答案等边三角形考点一综合法的应用【例1】 数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)(一题多解)求数列的前n项和Sn，并证明>.(1)证明an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)解由(1)知2n1，Snn2.法一>1.法二>1，又1>，>.规律方法1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题

6、设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.【训练1】 (2019·东北三省三校调研)已知a，b，c>0，abc1.求证：(1)；(2).证明(1)()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，.(2)a0，3a10，(3a1)24，当且仅当3a1，即a时取“”.33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，当且仅当abc时取“”.考点二分析法的应用【例2】 已知ab>0，求证：2a3b32ab2a2b.证明要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证

7、2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab>0，ab0，ab>0，2ab>0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.规律方法1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.【训练2】 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3

8、也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60°，由余弦定理，得b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.考点三反证法的应用【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解由已知得解得d2，故an2n1，Snn(n).(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等

9、比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r).(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，q2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.规律方法1.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.2.用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的.【训练3】 (2019·郑州一中月考)已知a1a2a3a4>100，求证：a1，a

10、2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4>100矛盾，故假设错误.所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°解析“至少有一个”的否定是“一个都没有”，故

11、可以理解为都大于60°.答案B2.已知m>1，a，b，则以下结论正确的是()A.a>b B.a<bC.ab D.a，b大小不定解析a，b.而>0(m1)，<，即a<b.答案B3.若a，bR，则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1a2)>0 B.a2b22(ab1)C.a23ab>2b2 D.<解析在B中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立.答案B4.分析法又称“执果索因法”，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()A.ab0 B.ac0C.(

12、ab)(ac)0 D.(ab)(ac)0解析由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C5.已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|<1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1.以下正确的是()A.与的假设都错误B.与的假设都正确C.的假设正确；的假设错误D.的假设错误；的假设正确解析反证法的实质是否定结论，对于，其结论的反面是pq2，所以不正确；对于，其假设正确.答

13、案D二、填空题6.与2的大小关系为_.解析要比较与2的大小，只需比较()2与(2)2的大小，只需比较672与854的大小，只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，42>40，>2.答案>27.用反证法证明命题“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_.解析“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.答案“a，b都不能被5整除”8.下列条件：ab>0，ab<0，a>0，b>0，a<0，b<0，其中能使2成立的条件的序号是_.解析要使2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使

14、2成立.答案三、解答题9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立.··abc成立.上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1·a1·(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn

15、不是等比数列.(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾.综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不是等差数列.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·上饶开学考试)设x，y，z>0，则三个数，()A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2解析因为6，当且仅当xyz时等号成立.所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.答案C12.(2019·全国卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.

16、甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.解析根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.答案1和313.设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若ab>cd，则>；(2)>是|ab|<|cd|的充要条件.证明(1)因为