公开课垂径定理

1、公开课垂径定理课件第一页，共23页。问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 第二页，共23页。 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任

2、意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴对称轴第三页，共23页。如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二

3、二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的直所在的直线是它的对称轴线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，第四页，共23页。垂径定理：垂径定理：垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧. .OABCDECDAB, CD是直径是直径,AE=BE, AC =BC, AD=BD.符号语言符号语言图形语言图形语言第五页，共23页。（1 1）如何证明？）如何证明？OABCDE已知：已知：如图，如图，CDCD是是O O的直径，的直径，ABAB为弦为弦，且，且AE=BE.AE=BE.证明：证明：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=

4、OBOA=OB AE=BE AE=BE CDAB CDAB AD=BD, AD=BD, 求证：求证：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC第六页，共23页。垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直的直径垂直于弦于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直径，是直径， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE第七页，共23页。（2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？如果这个条件能去掉吗？

5、如果不能，请举出反例。不能，请举出反例。 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。OABCD第八页，共23页。1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEAB2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 第九页，共23页。2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODAB于于D，OEA

6、C于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是是正方形正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEAC ADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.第十页，共23页。课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的

7、垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个就可以推出其余三个.第十一页，共23页。试一试试一试1.判断：判断：( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对

8、的另一条弧.( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 第十二页，共23页。1.已知已知P为为 O内一点，且内一点，且OP2cm，如，如果果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的点的最短的最短的弦弦等于等于.EDCBAPO2 5cm2.过过 O内一点内一点M的最长弦长为的最长弦长为4厘米，最短弦厘米，最短弦长为长为2厘米，则厘米，则OM的长是多少？的长是多少？OMA第十三页，共23页。2 2、如图，点、如图，点P P是半径为是半径为5cm5cm的的O O内一点，且内一点

9、，且OP=3cm, OP=3cm, 则过则过P P点的弦中，点的弦中，（1 1）最长的弦）最长的弦= = cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦= = cmcm（3 3）弦的长度为整数的共有（）弦的长度为整数的共有（ ） A A、2 2条条 b b、3 3条条 C C、4 4条条 D D、5 5条条AOCD54P3B第十四页，共23页。3 3、如图，点、如图，点A A、B B是是O O上两点，上两点，AB=8,AB=8,点点P P是是O O上的动点（上的动点（P P与与A A、B B不重合）不重合）, ,连接连接APAP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,

10、OFBP于于F,F,EFEF= = 。4第十五页，共23页。OABOAB 已知已知 O的半径为的半径为5厘米，弦厘米，弦AB的长为的长为8厘米，厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。 EEDD练习练习第十六页，共23页。1.1.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8, ,那那么么o o的半径是的半径是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么C C到到ABAB的距离等于的距离等于3.3.已知已知O O的弦的弦A

11、B=4AB=4, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1, ,那那么么O O的半径为的半径为4.4.如图如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或956413Cm第十七页，共23页。 归纳：归纳： 已知：直径，弦长，弦心距，已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据勾股定拱高四者知其二，即可根据勾股定理求出另外的两个量。理求出另外的两个量。第十八页，共23页

12、。问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 第十九页，共23页。解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求

13、赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半，半径为径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高第二十页

14、，共23页。某圆直径是某圆直径是10,内有两条平行弦内有两条平行弦,长度分别为长度分别为6和和8求这两条平行弦间的距离求这两条平行弦间的距离.第二十一页，共23页。船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ?例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶米、船舱顶部为长方形并高出水面部为长方形并高出水面2 2米的货船要经过这里米的货船要经过这里, ,此此货船能顺利通过这座拱桥吗？货船能顺利通过这座拱桥吗？第二十二页，共23页。船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由题设得由题设得. 5 . 121, 4 .