高中数学辗转相除法和更相减损术课件新人教A版必修

1、算算 法法 案案 例例第一课时 思考：思考： 小学学过的求两个数的最大公约数的方法？小学学过的求两个数的最大公约数的方法？ 先用两个数公有的质因数连续去除这两先用两个数公有的质因数连续去除这两个数，一直除到所得的商是互质数为止，然个数，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来后把所有的除数连乘起来.例：求下面两个正整数的最大公约数：例：求下面两个正整数的最大公约数：（1）求）求25和和35的最大公约数的最大公约数（2）求）求49和和63的最大公约数的最大公约数25（1） 5535749（2） 77639所以，所以，25和和35的最大公约数为的最大公约数为5所以，所以，49和和63

2、的最大公约数为的最大公约数为7思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：如何算出例：如何算出8251和和6105的最大公约数？的最大公约数？新课讲解：新课讲解：一、辗转相除法（欧几里得算法）一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义：、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两

3、个数的最大公约数。这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。 2、步骤：、步骤： （以求（以求8251和和6105的最大公约数的过程为例）的最大公约数的过程为例）第一步第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146结论：结论： 8251和和6105的公约数就是的公约数就是6105和和2146的公约数，的公约数，求求8251和和6105的最大公约数，只要求出的最大公约数，只要求出6105和和2146的公的公约数就可以了。约数就可以了。第二步第二步 对对6105和和2146重复第一步的做法重复第一步的做法6105=21462

4、+1813同理同理6105和和2146的最大公约数也是的最大公约数也是2146和和1813的最大的最大公约数。公约数。 完整的过程完整的过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例：例： 用辗转相除法求用辗转相除法求225和和135的最大公约数的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显然显然37是是148和和37的最大公约数，的最大公约数，也就是也就是8251和和6105的最大公约的最大公约数数 显然显然45是是90和和45的最大公约数，也就是的最大

5、公约数，也就是225和和135的最大公约数的最大公约数 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。是一个循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框图表示出右边的过程用程序框图表示出右边的过程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？(1)(1)、算法步骤：、算法步骤：第一步：输入两个正整数第一步：输入两

6、个正整数m ,n (mn).第二步：计算第二步：计算m除以除以n所得的余数所得的余数r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,则则m,n的最大公约数等于的最大公约数等于m； 否则转到第二步否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数第五步：输出最大公约数m.(2)(2)、程序框图：、程序框图：开始开始输入输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 输出输出m结束结束(3)(3)、程序：、程序：INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND二、更相减损术二、更相减损术 可半者半之，不可半

7、者，副置分母、子之数，以少减多，可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用若是，则用2约简；若不是则执行第二步。约简；若不是则执行第二步。第二步：第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。减数和差相等为止，则这个等数就

8、是所求的最大公约数。（1）、九章算术中的更相减损术：1、背景介绍：（2）、现代数学中的更相减损术：2、定义：、定义： 所谓更相减损术，就是对于给定的两个所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。数的最大公约数。例例: : 用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363的最大公约数的最大

9、公约数. .解：由于解：由于6363不是偶数，把不是偶数，把9898和和6363以大数减小数，以大数减小数，并辗转相减并辗转相减 989863633535636335352828353528287 728287 7212121217 7212114147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公约数等于的最大公约数等于7 7 3、方法：1、用更相减损术求两个正数、用更相减损术求两个正数84与与72的最大公约数的最大公约数 练习：练习：思路分析：先约简，再求思路分析：先约简，再求21与与18的最大公约数的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数然后乘以两次约简的质因数4。2、求、求324、2

10、43、135这三个数的最大公约数。这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。数的最大公约数即为所求。(1)、算法步骤、算法步骤第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数a,b;第二步：若第二步：若a不等于不等于b ,则执行第三步；否则转则执行第三步；否则转到第五步；到第五步；第三步：把第三步：把a-b的差赋予的差赋予r;第四步：如果第四步：如果br, 那么把那么把b赋给赋给a,把把r赋给赋给b;否否则把则把r赋给赋

11、给a；返回第二步；返回第二步；第五步：输出最大公约数第五步：输出最大公约数b.*思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？(2)(2)、程序框图、程序框图开始开始输入输入a,bab?是是否否 输出输出b结束结束 b=ra=br=a-brb?a=r否否是是(3)(3)、程序、程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND比较辗转相除法与更相减损术的区别比较辗转相除法与更相减损术的区别（1 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较