正定矩阵的判定

1、泰 山 学 院毕业论文材料汇编正定矩阵的判定 所 在 学 院 专 业 名 称 申请学士学位所属学科 年 级 学生姓名、学号 指导教师姓名、职称 装 订 日 期 2021 年 6 月 30 日 材料汇编目录一、开题报告二、任务书三、论文1. 封面2. 中文摘要 3. 英文摘要 4. 目录5. 正文6. 参考文献7. 致谢 四、成绩评定书 泰山学院毕业论文开题报告 题 目 正定矩阵的判定 学 院 年 级 专 业 姓 名 学 号 指导教师签字 学生签字 2021 年 12 月 15 日题目来源指导教师推荐 自选 其它 题目类别根底研究 应用研究 其它 各位老师好，我的论文题目是“正定矩阵的判定。为了

2、到达学校对论文的要求，同时保证论文的准确性、逻辑性和严谨性，所以在写论文之前，我做了大量的准备工作。一方面我从学校图书馆借阅了一些和论文内容相关的书籍，另一方面上网搜集了大量相关的材料，经过近一个月的仔细审读、思考与完善，我一定能够按时交出一份满意的论文。我将全力以赴、克服困难，用大学四年所学得的专业知识广泛调研，去组织、完善论文，使论文的层次更加清晰、论证更加充分，更重要的是使自己各方面的能力得到提高，给大学生活交上一份满意的答卷。 一、选题依据和目的一选题依据二次齐次多项式在实际工作和理论研究中是一种重要的多项式，其中实二次型中的正定二次型占有特殊的位置，正定二次型的系数矩阵就是正定矩阵。

3、因此，对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面，还是实际应用方面都有重要的意义。因而对正定矩阵的讨论是必要的，本文给出了正定矩阵的根本概念、性质，意在给出正定矩阵的判定方法。代数学是数学中的一个重要的根底分支,而正定矩阵又是高等代数中的重中之重，特别是正定矩阵局部的应用很广泛。正定矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类,其应用引起人们极大的研究兴趣。目前对正定矩阵的研究,主要集中在理论研究与工程应用方面。最重要的是，在大学期间我们开设的主修课目?高等代数?就有关于正定矩阵的学习，所以对这个课题更容易找到切入点，并且也提高了自己的知识水平，使自己组织语言的等的能力得到很大的提

4、高。（2） 选题目的复方阵的正定性在数学理论或应用中具有重要意义和应用价值，正定矩阵的判定是矩阵论中重要的热门课题之一。本文从正定矩阵的定义出发,对正定矩阵性质进行了深刻的讨论并从这些性质出发给出了一系列关于矩阵正定的判定条件且利用这些判定条件证明了矩阵、不等式以及函数极值的相关问题。从而提高运用矩阵正定性思想解决问题证明问题的能力。希望能够通过对正定矩阵的判定的研究熟练掌握矩阵的判定性质及运用矩阵正定的思想解决问题的方法和技巧。 1、 主要研究内容及研究方法（1） 研究内容我通过老师的讲解、自己查阅资料得出以下几种正定矩阵的判定方法：方法一定义法用正定矩阵的定义进行判定。方法二标准形法实对称

5、矩阵A正定的充要条件是A与单位矩阵E合同。方法三顺序主子式法对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式全大于零。方法四特征值法对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值全大于0。方法五矩阵分解法如果矩阵有分解式：,那么 列满秩时，正定。>（2） 研究方法主要运用理论知识与举例相结合的方法、经验总结法来研究求一元函数极限的方法。3、 进度安排1. 调研、收集资料务必于2021年12月10日前完成。2. 写作初稿务必于2021年4月10日前完成。3. 修改、定稿、打印务必于2021年5月30日前完成。4、 主要参考文献1 王萼芳，石生明.高等代数M.北京：高等教育出版社，1996.2 王品超.高

6、等代数新方法M.济南：山东教育出版社，1989.3 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳M.武汉：华中理工大学出版社，1993.4 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社，2002.5 北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)M.北京：高等教育出版社，2003.6 于增海.高等代数考研选讲M.北京：国防工业出版社，2021. 7 杨子胥.高等代数习题集M.济南：山东科技出版社，2003.评委评语及其建议： 评委签字：学院盖章： 2021年12月20日泰 山 学 院毕业论文任务书 题 目 正定矩阵的判定 学 院 年 级 专 业 姓 名 学 号 指导教师签字 学生签字 20

7、21 年 12 月 20 日你的毕业论文开题报告已通过，现将毕业论文工作任务下达给你,请按照要求认真完成。主要内容如下：题 目正定矩阵的判定基本要求论文写作前必须充分收集关于“正定矩阵的判定的相关资料；在参考已有文献的根底上，矩阵作为科学研究的一项重要工具，在数学、工程技术、自然科学以及经济管理等领域发挥着重要作用，要有一定的新见解；论文的文字要通顺、书写标准、表述准确. 倡导独立思考、杜绝抄袭和尽可能减少雷同；文字数控制在6000字左右。应收集的资料及主要参考文献1 王萼芳，石生明.高等代数M.北京：高等教育出版社，1996.2 王品超.高等代数新方法M.济南：山东教育出版社，1989.3

8、毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳M.武汉：华中理工大学出版社，1993.4 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社，2002.5北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)M.北京：高等教育出版社，2003.6 张禾瑞，郝炳新. 高等代数(第四版)M.北京：高等教育出版社，1999. 进度安排1. 调研、收集资料务必于2021年12月10日前完成。2. 写作初稿务必于2021年4月10日前完成。3. 修改、定稿、打印务必于2021年5月30日前完成。本毕业论文完成期限任务书下达于2021年12月20日。任务完成后，2021年6月5日前按照规定格式打印交至学院，由指导教师

9、评阅后提交毕业论文辩论委员会。泰 山 学 院本科毕业论文正定矩阵的判定所 在 学 院 专 业 名 称 申请学士学位所属学科 年 级 学生姓名、学号 指导教师姓名、职称 完 成 日 期 二一五年六月 摘 要矩阵理论是线性代数的核心内容，是数学中最重要的根本概念之一，是代数学研究的主要对象及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个局部。并且矩阵理论在几何学、物理学、概率论及最优化理论等诸多学科中具有广泛的应用而且一直都是重要的热门课题。矩阵作为科学研究的一项重要工具，在数学、工程技术、自然科学以及经济管理等领域发挥着重要作用，掌握好矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件 。正定矩阵作为一类特殊的矩阵在

10、矩阵理论中占有非常重要的地位，而正定矩阵的判定又是正定矩阵研究的重要内容，接下来文中文中给出了定义法、标准型法、顺序主子式法、特征值法、矩阵分解法五种判断实对称矩阵正定的方法，并举例说明如何判断一个实对称方阵是否正定。关键词：线性代数；正定矩阵；根本概念；性质；判定方法ABSTRACTMatrix theory is the core content of linear algebra, is one of the most important basic concepts in mathematics, is an important tool for the main research o

11、bject algebra and its application, it runs through every part of linear algebra. And the matrix theory in geometry, physics, probability theory and the optimization theory and other disciplines is widely used and has been a hot topic of. Matrix is an important tool of scientific research, play an im

12、portant role in the field of mathematics,engineering technology, natural science and economic management, master matrix theory is essential to learn linear algebra.Positive definite matrix as a kind of special matrix plays a very important role in matrix theory, and determine the positive definite m

13、atrix and positive definite matrix is an important content of the research. This paper gives the definition of Chinese method, standard method, sequence analysis, eigenvalue method, matrix decomposition method of five kinds of methods to judge the positive real symmetric matrix, and an example is gi

14、ven to illustrate how to judge whether a real symmetric positive definite matrix.Key words: Linear algebra , Positive definite matrix, The basic concept, Nature, Judging method目 录1 引言.12 正定矩阵的根本概念.13 正定矩阵的性质.24 正定矩阵的判定方法.3 4.1定义法. 3 4.2标准形法.4 4.3顺序主子式法.5 4.4特征值法.64.5矩阵分解法.85 参考文献106 致谢111 引 言矩阵理论是线性

15、代数的核心内容，是数学中最重要的根本概念之一，是代数学研究的主要对象及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个局部。并且矩阵理论在几何学、物理学、概率论及最优化理论等诸多学科中具有广泛的应用而且一直都是重要的热门课题。矩阵作为科学研究的一项重要工具，在数学、自然科学、工程技术以及经济管理等领域发挥着重要作用，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件 。正定矩阵作为一类特殊的矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位，而正定矩阵的判定又是正定矩阵研究的重要内容，接下来文中文中给出了定义法、标准型法、顺序主子式法、特征值法、矩阵分解法五种判断实对称矩阵正定的方法，并举例说明如何判断一个实对称方阵是否正定。2

16、 正定矩阵的根本概念定义1 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数，有定义2 假设实数域上的一个元二次型是正定二次型，那么称为正定矩阵。其中，注：1正定二次型和正定矩阵是一一对应的关系。 2经非退化的线性替换，新二次型的矩阵和原二次型的矩阵合同。3 正定矩阵的性质1、与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵。实际上由合同的传递性、正定矩阵均与单位矩阵合同可知结论成立。2、正定矩阵的主对角线上的元素全大于零。事实上当实对称矩阵是正定矩阵时，由它确定的二次型必为正定二次型。不妨假设，取，代入上式得，这与正定矛盾，所以假设不成立，即。3、正定矩阵的行列式大于零。正定矩阵与单位矩阵合同，存在可逆

17、矩阵，使得，由此还可看出：正定矩阵一定是可逆矩阵。4、正定矩阵的元素的绝对值的最大者一定是主对角线上的元素。设是正定矩阵，其中为绝对值最大者，那么，又知道所有主子式都大于零，与假设矛盾，正定矩阵中元素的绝对值的最大者一定是主对角线上的元素。注：这个结论常用于判定某些实对称矩阵不是正定的矩阵。这是因为只要有一个非主对角线上的元素的绝对值不小于主对角线上元素的绝对值的最大者，那么这个实对称矩阵必定不是正定矩阵。5、正定矩阵乘积的特征根都大于零。设均为正定矩阵，那么有可逆矩阵，使得，可逆，又是正定矩阵，从而与正定矩阵相似，而相似矩阵的特征根相同，所以的特征根都大于零。注：不一定是对称矩阵。6、假设是

18、一个阶正定矩阵，那么其中是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵。事实上有可逆矩阵,使得(其中是正交矩阵， 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素均为正数)。7、正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。正定矩阵与单位矩阵合同，存在可逆矩阵，使得，取逆矩阵，即有，那么与单位矩阵合同， 是正定矩阵。4 正定矩阵的判定方法正定矩阵是一类特殊重要的矩阵，正定矩阵的判定又是正定矩阵讨论的重要内容，以下给出了五种正定矩阵的判定方法。4.1 定义法阶实对称矩阵称为正定矩阵，如果对于任意的维实非零列向量，都有.正定的实对称矩阵简称为正定矩阵，记作：。例1 设是正定矩阵，是非奇异实方阵，那么也是正定矩阵。证明 是实对称矩阵，

19、也是实对称矩阵，又对任何实的非零列向量，由于，即是正定矩阵 例2 设都是阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。证明 显然矩阵是实对称矩阵，任取 知，由，知存在阶可逆矩阵，使得,即，所以对任意的，因为，所以总存在一个，使得，又有：对以上的成立。所以，即。注：用定义证明矩阵正定需证明两点：1为实对称矩阵。2对任何的非零实列向量，4.2标准形法合同变换法 下面五个陈述是等价的： 1阶实对称矩阵是正定的； 2正惯性指数等于； 3合同于单位矩阵； 4存在可逆矩阵，使得； 5的特征值全大于零。推论 与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵。例2 证明：假设是正定矩阵，那么也是正定矩阵。证明 是正定矩阵，是实对称矩

20、阵，可逆，且，即也是实对称矩阵。例3 设是阶实对称矩阵，证明：为正定矩阵的充要条件为对所有的正定矩阵恒有证明 必要性 由正定，那么存在实可逆矩阵，使得，于是充分性 设不是正定的，由，必有负特征值，设为由实对称,那么存在正交矩阵,使得,这里令那么正定.令,那么正定,但是,矛盾.4.3 顺序主子式法1的所有顺序主子式全大于零。2的所有主子式全大于零。注：类似的我们可以得到半正定矩阵的7个等价命题：a阶实对称矩阵是半正定的；b)负惯性指数为零；c)合同于；d)存在阶矩阵,使得；e)的特征值全非负。例4 判断二次型是否正定。解 二次型的矩阵为三角矩阵的任意的阶顺序主子式=，所以矩阵为正定矩阵，原二次型

21、为正定二次型。例5 取何值时，二次型是正定二次型。解 二次型对应的矩阵为要使二次型正定，那么的各阶顺序主子式全大于零，即满足： 得到， 时，二次型为正定二次型。4.4 特征值法 的特征值全大于零，于是存在正交矩阵，使得，即存在正交线性替换，使得，例6 证明：二次型为正定二次型。证 设的矩阵为，那么由，可知的特征值，由于特征值全为正数，所以是正定矩阵，从而为正定二次型。例7 设,问满足什么条件正定。解 1当变元的个数为偶数时，的矩阵为，于是，故的特征值为均为重，故正定2当变元的个数为奇数时，故的特征值为正定综上所述，4.5矩阵分解法如果矩阵有分解式:，那么列满秩时，正定；行满秩时，半正定。一般地

22、，如果矩阵能分解成假设干个简单矩阵的和、积等，那么可能将问题化难为易，矩阵分解也是一种解决问题的方法。例8 证明：是半正定矩阵。证明：因为，其中是行满秩的，所以是半正定矩阵。例9 设阶实对称矩阵，而且正定，求证：存在正定矩阵，使，且是唯一的。证明 由正定，那么存在正交矩阵，使得 ，这里令 ，那么是正定矩阵，且下证唯一性。设存在正定矩阵使得,那么是反对称矩阵，于是的特征值为零和纯虚数。假设能证明的特征值全为零，那么。由正定，那么存在正定矩阵，使得，于是由实对称，那么其特征值皆为实数，又知的特征值皆为实数，于是的特征值皆为实数。由的特征值为和纯虚数，那么的特征值全为，故，注意到可逆，所以可得，故，唯一性得证。 参考文献1 王萼芳，石生明.高等代数M.北京：高等教育出版社，1996.2 王品超.高