工程力学第十一章 组合变形

1、第第1111章章 组合变形组合变形11.1 组合变形的概念组合变形的概念11.2 斜弯曲斜弯曲11.3 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合与弯曲的组合11.4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第十一章第十一章 组合变形组合变形第第1111章章 组合变形组合变形 在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种基本在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种基本变形，当几种基本变形所对应的应力属同一量级时，不变形，当几种基本变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略，这类构件的变形称为能忽略，这类构件的变形称为组合变形组合变形(combined deformation)。一、组合变形基本概念一、组合变形基本概念11.

2、1 组合变形的概念组合变形的概念第第1111章章 组合变形组合变形大桥桥墩大桥桥墩qg ghP压弯组合变形压弯组合变形:同时发生轴向压缩与弯曲同时发生轴向压缩与弯曲二、组合变形工程实例二、组合变形工程实例第第1111章章 组合变形组合变形HhDG1 烟囱烟囱压弯组合变形压弯组合变形:同时发生轴向压缩与弯曲同时发生轴向压缩与弯曲第第1111章章 组合变形组合变形拉弯组合变形拉弯组合变形: :同时发生轴向拉伸与弯曲同时发生轴向拉伸与弯曲第第1111章章 组合变形组合变形PP辘轳从深井中提水辘轳从深井中提水弯扭组合变形弯扭组合变形: :同时发生弯曲与扭转同时发生弯曲与扭转第第1111章章 组合变形组

3、合变形屋架传屋架传来的压来的压力力吊车传来吊车传来的压力的压力风力风力拉弯组合变形拉弯组合变形: :同时发生轴向压缩与弯曲同时发生轴向压缩与弯曲第第1111章章 组合变形组合变形三、组合变形的研究方法三、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理 对于组合变形下的构件，对于组合变形下的构件，在线弹性范围内、小变形在线弹性范围内、小变形条件下，可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件条件下，可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形下的内力、的外力系，分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形。然后利用应力或变形。然后利用叠加原理叠加原理，综合考虑各基本变形，

4、综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。危险点的应力状态，并据此进行强度计算。第第1111章章 组合变形组合变形组合变形分析步骤：组合变形分析步骤： 外力分析：外力分析：外力向形心外力向形心( (或弯心或弯心) )简化并沿主惯性轴简化并沿主惯性轴分解，确定各基本变形；分解，确定各基本变形； 内力分析：内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面；图，确定危险面； 应力分析：应力分析：画危险面应力分布图，确定危险点，画危险面应力分布图，确

5、定危险点，叠加求危险点应力；叠加求危险点应力； 强度计算：强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度计算。建立危险点的强度条件，进行强度计算。第第1111章章 组合变形组合变形 具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。移，然后叠加。 具有双对称截具有双对称截面的梁，它在任何面的梁，它在任何一个纵向对称面内一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯弯曲时均为

6、平面弯曲。曲。11.2 斜弯曲斜弯曲第第1111章章 组合变形组合变形悬臂梁悬臂梁m-mm-m截面上的弯矩和任意点截面上的弯矩和任意点C C处的正应力为：处的正应力为： 水平力水平力F1 竖直力竖直力F2弯矩弯矩 xFxMy1)( )()(2axFxMz 弯曲正弯曲正应力应力 zIMyy yIMzz yIMzIMzzyy C处的正应力处的正应力第第1111章章 组合变形组合变形 利用上式固然可以求算利用上式固然可以求算 m-m 截面上任意点处的弯曲截面上任意点处的弯曲正应力，但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由正应力，但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于于 My单独作用下最大正应

7、力的作用点和单独作用下最大正应力的作用点和 Mz 单独作用下最单独作用下最大正应力的作用点不相重合，所以还不好判定在大正应力的作用点不相重合，所以还不好判定在 My 和和 Mz 共同作用下最大正应力的作用点及其值。共同作用下最大正应力的作用点及其值。yIMzIMzzyy 第第1111章章 组合变形组合变形 在在 F1 作用下作用下 m-m 截面绕中性轴截面绕中性轴 y 转动，在转动，在 F2 作用下作用下m-m 截面绕中性轴截面绕中性轴 z 转动，可见在转动，可见在 F1 和和 F2 共同作用下，共同作用下，m-m 截面必定绕通过截面必定绕通过 y 轴与轴与 z 轴交点的另一个轴转动，这轴交点

8、的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，个轴就是梁在两个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为其上坐标为 y, z 的任意点处弯曲正应力为零。的任意点处弯曲正应力为零。第第1111章章 组合变形组合变形中性轴位置：中性轴位置：0 令令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标代表中性轴上任一点的坐标000 zzyyIyMIzM00yztg zyyzIIMM zyIItgtg yIMzIMzzyy 第第1111章章 组合变形组合变形zyIItgtg 这表明，这表明，只要只要 ，中性轴的方向，中性轴的方向就不与合成弯矩就不与合成弯矩 M 的矢量重合，即合成弯矩的矢量重合，

9、即合成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直，所在的纵向面不与中性轴垂直，或者说，或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩梁的弯曲方向不与合成弯矩 M 所在的纵向面所在的纵向面重合。重合。说的更清楚些，说的更清楚些，梁的挠曲线不在合成梁的挠曲线不在合成弯矩所在的平面内。弯矩所在的平面内。正因为这样，通常把这正因为这样，通常把这类弯曲成为类弯曲成为斜弯曲（斜弯曲（oblique bending）。zIIy第第1111章章 组合变形组合变形 确定中性轴的方向后，作平行于中性轴确定中性轴的方向后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点（图中的个切点（图中

10、的 D1 ，D2 ）就是该截面上拉）就是该截面上拉应力和压应力最大的点。从而可分别计算水应力和压应力最大的点。从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。叠加。第第1111章章 组合变形组合变形 对于横截面具有外棱角的梁，求任何横截面上最大拉应对于横截面具有外棱角的梁，求任何横截面上最大拉应力和最大压应力时，可直接按两个平面弯曲判断这些应力力和最大压应力时，可直接按两个平面弯曲判断这些应力所在点的位置，而无需定出中性轴的方向角所在点的位置，而无需定出中性轴的方向角。zy 工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不工程计算中对于实体截面

11、的梁在斜弯曲情况下，通常不考虑剪力引起的切应力。考虑剪力引起的切应力。AB第第1111章章 组合变形组合变形例例11-111-1 两端铰支矩形截面梁，其尺寸两端铰支矩形截面梁，其尺寸 h=80mm , b=40mm, 校核梁的强度。校核梁的强度。 ,MPa120 xABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyzyhb+ABCDxyM2kNmzM+ABCDx2kNm解解:(1):(1)内力分析内力分析: :kNm1 CyMkNm2 CzMkNm2 ByMkNm1 BzM第第1111章章 组合变形组合变形(2)(2)校核强度校核强度: :zCzyCyCWMWM )(max 6hbM6

12、bhM2Cz2Cy 92392310408061021080406101 MPa19.117 第第1111章章 组合变形组合变形zBzyByBWMWM )(max 6622hbMbhMBzBy 92392310408061011080406102 MPa75.93 C)(maxmax 安全安全第第1111章章 组合变形组合变形例例11-2 如图所示简支梁由如图所示简支梁由28a号工宇钢制成，已号工宇钢制成，已知知F=25kN，l=4m， ，材料的许用应力，材料的许用应力 =170MPa，试按正应力强度条件校核此梁。，试按正应力强度条件校核此梁。 15 解解: (1)将集中力将集中力F沿沿y轴和

13、轴和z轴方向分解轴方向分解 kN4 .2115cos25cosFF.y kN47. 615sin25sinFFz 第第1111章章 组合变形组合变形kNm1 .24441 .244lFMymaxz kNm47. 64447. 64lFMzmaxy 28a号工宇钢的抗弯截面模量号工宇钢的抗弯截面模量 .cm6 .56W,cm508W3y3Z 7 .16110)3 .1144 .47( )10(6 .561047. 6)10(508101 .246323323maxmaxmax MPaWMWMyyZz此梁满足强度要求。此梁满足强度要求。 第第1111章章 组合变形组合变形一、横向力与轴向力共同作用

14、一、横向力与轴向力共同作用qlABFF 轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于拉横向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于拉弯弯组合变形的构件组合变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原理来计算杆中的应力。用叠加原理来计算杆中的应力。11.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合第第1111章章 组合变形组合变形 至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附加弯矩与横向力产生

15、的弯矩为同向，故引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有只有杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。工作时才可应用叠加原理。第第1111章章 组合变形组合变形qlABFFNFzzMAFNN ZMIyMmax zNWMAFmaxminmax ql2/8+MFN+F第第1111章章 组合变形组合变形例例11-311-3 两根无缝钢管焊接两根无缝钢管焊接而 成 的 折 杆 。 钢 管 外 径而 成 的 折 杆 。 钢 管 外 径D=140mmD=140mm，壁厚，壁厚t=10mmt=10mm。求。求危险截面上的最大拉应

16、力和危险截面上的最大拉应力和最大压应力。最大压应力。10kN1.2m1.6m1.6mACBAXAYAR10kNBR解解(1)(1)求约束反力，确定求约束反力，确定杆的受力：杆的受力：kN5 BARRkN4,kN3 AAYX第第1111章章 组合变形组合变形(2)(2)确定危险截面：确定危险截面：(3)(3)求最大应力求最大应力WMAFNmaxmax 2322N)Dd(132DM)dD(4F kNm8M,kN3FN m-m截面：截面：65.2MPaMPa8 .63maxmax 其中其中 d=D-2td=D-2tkN4,kN3 AAYX88CABM(kNm)10kNBXBYAXAYABC_3kN3

17、kNCAB(kN)FNmmgf第第1111章章 组合变形组合变形例例11-411-4 设图示简易吊车在设图示简易吊车在当小车运行到距离梁端当小车运行到距离梁端D还还有有0.4m处时，吊车横梁处处时，吊车横梁处于最不利位置。已知小车于最不利位置。已知小车和重物的总重量和重物的总重量F20kN，钢材的许用应力钢材的许用应力160MPa，暂不考虑梁的自，暂不考虑梁的自重。按强度条件选择横梁重。按强度条件选择横梁工字钢的型号。工字钢的型号。AxFAyFBFBxFByFFkN7 .49kNm30解：解：（1）外力分析）外力分析（2）内力分析）内力分析第第1111章章 组合变形组合变形B B左截面压应力最

18、大左截面压应力最大zzNWMAF max zzWM35 .187 cmWz 查表并考虑轴力的影响：查表并考虑轴力的影响：a203237cmWz 25 .35 cmA MPa6 .140102371030105 .35107 .493623max kN7 .49kNm30（3）应力分析）应力分析第第1111章章 组合变形组合变形二、偏心拉伸（压缩）二、偏心拉伸（压缩）FFe 偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用线与直杆的轴线平行但不重合的情况。线与直杆的轴线平行但不重合的情况。第第1111章章 组合变形组合变形单向偏心拉伸（压缩）单向偏心拉伸（压缩）FFeFFeMe

19、FFeMe FFeMe NFFeM ABAByzeZNIMyAF 单向偏心压缩时单向偏心压缩时, ,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力, ,而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧, ,其值可能是拉其值可能是拉应力应力, ,也可能是压应力。也可能是压应力。第第1111章章 组合变形组合变形双向偏心拉伸（压缩）双向偏心拉伸（压缩）yzFzeyeyzFyzFeM zyFeM 1.1.外力分析外力分析2.2.内力分析内力分析FFN zyFeM yzFeM 3.3.应力计算应力计算zyE,zzyyNIyMIzMAF zz

20、yyNAWMWMAF zzyyNBWMWMAF zzyyNCWMWMAF zzyyNDWMWMAF 第第1111章章 组合变形组合变形2、中性轴方程、中性轴方程yzFzeyezzyyNIyMIzMAF yzFyzFeM zyFeM zyE,zyyzIyFeIzFeAF 令令y y0 0，z z0 0代表中性轴上任一点的坐标代表中性轴上任一点的坐标000 zyyzIyFeIzFeAF AIiyy 02020 AiyFeAizFeAFzyyz012020 zyyziyeizeAF012020 zyyziyeizeAiIyy2 第第1111章章 组合变形组合变形012020 zyyziyeize中性

21、轴是一条不通过截面形心的直线中性轴是一条不通过截面形心的直线zyzyee ,yaza中性轴中性轴中心轴方程中心轴方程设中性轴在设中性轴在 y、z 两轴上的截距为（两轴上的截距为（ ay， az ）zyzyzyeiaeia22 , 由于由于 ey， ez 为正号，所以为正号，所以 ay， az 为负号；所以说为负号；所以说中性轴中性轴与外力处于截面形心的相对两侧。与外力处于截面形心的相对两侧。第第1111章章 组合变形组合变形3. 危险点危险点（距中性轴最远的点）（距中性轴最远的点）yyzztWMWMAP max yyzzcWMWMAP max 对于外轮廓为矩形的截面，最大正应力出现在外角点上。

22、对于外轮廓为矩形的截面，最大正应力出现在外角点上。max 校核强度校核强度求许可荷载求许可荷载设计截面设计截面4. 强度条件强度条件zyzyee ,yaza第第1111章章 组合变形组合变形MPa75. 8 |2 . 02 . 0350000|max2 AFN |11max1zNWMAF MPa7 .11|3 . 02 . 06503503 . 02 . 0350000|2 解：解：两柱均为两柱均为压应力压应力例例11-511-5 图示不等截面与等截面柱，图示不等截面与等截面柱，P=350kNP=350kN，试分别，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。求出两柱内的绝对值最大正应力。图（图（1）

23、图（图（2）xyzeFN第第1111章章 组合变形组合变形 图示正方形截面直柱，受纵向力图示正方形截面直柱，受纵向力P的压缩作用。则当的压缩作用。则当P力作力作用点由用点由A点移至点移至B点时柱内最大压力的比值有四种答案：点时柱内最大压力的比值有四种答案： （）（）: （）（）: （）（）: （）（）: BzAaayPPC选择题选择题第第1111章章 组合变形组合变形zy zyee ,yaza中性轴中性轴中性轴与偏心力的作用点总是位于形中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对两侧心的相对两侧. .且偏心力作用点离形心越且偏心力作用点离形心越近近, ,中性轴就离形心越远。中性轴就离形心越远。当偏

24、心距为零时当偏心距为零时, ,中性轴位于无穷远处。中性轴位于无穷远处。当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上时当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上时, ,可使可使得中性轴恰好与周边相切得中性轴恰好与周边相切, ,这时横截面上只出现压应力。这时横截面上只出现压应力。 该限界所围成的区域该限界所围成的区域-截面核心（截面核心（core of section）三、截面核心三、截面核心zyzyzyeiaeia22 , 第第1111章章 组合变形组合变形 土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作允许横截

25、面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的截面核心内。用在横截面形心附近的截面核心内。 要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时偏心压力作用点的位置来确定的。偏心压力作用点的位置来确定的。第第1111章章 组合变形组合变形1、截面核心

26、的求法：、截面核心的求法：（1）作一切线）作一切线(中性轴），中性轴）， 121121zyzyzyaiai ),(zy 设截面核心的边界点设截面核心的边界点（2）作一切线）作一切线(中性轴），中性轴）， 222222zyzyzyaiai yz1234(n) 连接连接1，2，3，得到一，得到一条封闭曲线，即为截面核心条封闭曲线，即为截面核心的边界。的边界。第第1111章章 组合变形组合变形yzdA8d8dO12 2、圆截面的截面核心。、圆截面的截面核心。21day 1za22zyii AIy 46424dd 162d yzyai2 zyzai2 y 8d 0 z 第第1111章章 组合变形组合变

27、形yzbADCBh21hay 1za 2yiAIybhhb 123122b 2ziAIz122h 121yzyai 6h 121zyzai 0 16h26b6h346b 3 矩形截面的截面核心。矩形截面的截面核心。第第1111章章 组合变形组合变形yzADCB1234通过截面角点通过截面角点B的中性的中性轴方程，满足：轴方程，满足：0122 yzBzyBeiyeiz 由于由于yB、zB 为定值，该方程是一条关于力作用点为定值，该方程是一条关于力作用点（ ey，ez）的直线。）的直线。 012020 zyyziyeize中中性性轴轴1、2点直线连接。点直线连接。第第1111章章 组合变形组合变形

28、BAFaFFLaBAPWT max WMmaxmax FLFa11.4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第第1111章章 组合变形组合变形313 r224 213232221421 r223 WTM22max WTM22max75. 0 PWT max WMmaxmax K1K2第第1111章章 组合变形组合变形 注意，以上所述对于传动轴的强度计算是静力强度计注意，以上所述对于传动轴的强度计算是静力强度计算，只能用于传动轴的初步设计，此时算，只能用于传动轴的初步设计，此时的值取得也比较的值取得也比较低。事实上，传动轴由于转动，危险截面任何一点处的弯低。事实上，传动轴由于转动，危险截面任何一点处

29、的弯曲正应力是随轴的转动交替变化的。这种应力称为曲正应力是随轴的转动交替变化的。这种应力称为交变应交变应力（力（alternating stress）,工程设计中对于在交变应力下工工程设计中对于在交变应力下工作的构件另有计算准则。作的构件另有计算准则。第第1111章章 组合变形组合变形例例11-611-6 图示圆轴图示圆轴. .已知已知,F=8kN,Me=3kNm,F=8kN,Me=3kNm,=100MPa,=100MPa,试用第三强度理论求轴的最小直径试用第三强度理论求轴的最小直径. .FeMm5 . 0FLM maxkNm4 kNmT3 WTMr223 22TMW 35105m 332 zWd mm8 .79 解：解：(1) 内力分析内力分析T3kNm4kNmM(2)应力分析应力分析第第1111章章 组合变形组合变形MPa7 .351 . 07000163 pWTMPa37. 6101 . 050432 AP解：解：拉扭组合拉扭组合: :PTPTAA A 例例11-711-7 直径为直径为d=0.1=0.1m的圆杆受力如图，的圆杆受力如图，T= =7kNm，P=50kN， =100=100MPaPa，试按，试按第三强度理论校核此杆的强度第三强度理论校核此杆的强度。安全安全22r34 MPa