机械动力学 习题复习

1、单自由度系统有阻尼自由振动系统 例1摩托车的质量为200 kg，为其设计了一个弱阻尼吸振器。当吸振器受到一个由于路面冲击而引起的竖直方向的速度时，相应的位移-时间曲线如图(b)所示。如果阻尼振动的周期为2 s，经过个周期后振幅衰减为原来的14(即x1.5=x1/4)。求弹簧的刚度以及阻尼器的阻尼系数n【解】由于x1.5=x1/4, 因而x2=x1/161211sin( 1)ntnxAet 2222sin( 1)ntnxAet 1216xx22ln(16)2.772610.4037不同时刻解的表达式不同时刻解的表达式对应振动的幅值比对应振动的幅值比获得阻尼比获得阻尼比221dndT 根据根据所以

2、所以223.4338(/ )2 1nrad s2cncm2 200 3.43381373.54(/)ccN s m2nkm2200 3.43382358.2652(/)kN m0.4037 1373.54554.4981(/)cccN s mn 【例3】图示为一大型火炮的示意图。发射时，高压气体使子弹在炮筒内获得一个很高的速度。后坐力使炮筒沿与子弹射出相反的方向移动。由于希望火炮不会由此产生振动并能以最短时间停下，所以设计了一个具有临界阻尼的弹簧一阻尼器系统，称为反冲机构。设炮筒和反冲机构的总质量为500 kg，反冲弹簧的刚度为10 000 N/m，发射时后坐的距离为0.4 m。求：(1)阻尼

3、器的临界阻尼系数；(2)初始后坐速度【解】系统的固有频率为/10000/5004.4721/nk mrad s24472.1/cncmN s m临界阻尼的大小为系统的响应为12( )()ntx tecc t00201,xVcxcn令0( )0V t 可以确定x(t)到达最大值的时间212( )()0nnttnx tc eecc t212()0nccc t100cx11/nt1100max12 1( )ntnnVVxx tc t eee0max0.4 4.4721 2.71834.8626/nVxem s【例】如图所示为汽车通过粗糙路面引起竖向振动的简单模型，设汽车的质量为1200 kg，悬架系

4、统的弹簧常数为400 kN/m，阻尼比为=0.5。若汽车的行驶速度为20 km/h，求汽车的位移幅值。已知路面的起伏按正弦规律变化，幅值为Y=0.05 m，波长为6 m【解】基础运动激励的频率可以通过汽车速度v(km/h)除以路面起伏的循环长度求得21000 1220.290889 (/ )36006vfv rad sTv=20km/h时，5.81778(/ )rad s3400 1018.2574(/ )1200nkrad sm因而频率比/0.318653n 22 22121.46923712XY（）（） （）振幅比为汽车竖向振动幅值为1.4692370.073462XY这表明：幅值为5 c

5、m的路面起伏引起汽车底盘与乘客的竖向振动的振幅是7.3 cm。因此在当前状态下，乘客感觉到的上下颠簸比路面的实际起伏要大。n如图所示，一个质量为m的薄板挂在弹簧下端，在空气和液体中上下振动的周期分别为T1和T2，不计空气阻尼，而液体的阻尼力为n（2A为薄板上下两端面积之和）。试求液体的粘度系数m 2A xm多自由度系统【例】一台电动机发电机组，如图所示，设计运行速度为20004000 rmin。但由于转子存在微小不平衡，该机械在运转速度为3000 rmin时发生剧烈振动。为此计划安装一个悬臂式集中质量吸振器来消除振动。当一个带有2kg实验载荷的悬臂安装到机器上之后，所得系统的固有频率为2500

6、 rmin和3500 rmin。设计吸振器质量和刚度，使得整个系统固有频率在电动机发电机组转速范围之外。无阻尼动力吸振器(6)n问题分析无阻尼动力吸振器(7)测试共振转速测试共振转速2500 rmin和和3500 rmin4运行转速运行转速20004000 rmin共振转速共振转速3000 rmin2测试载荷测试载荷2kg31主系统固有频率主系统固有频率 n11安装吸振器之后的安装吸振器之后的新共振点的确定新共振点的确定2主系统质量主系统质量3测试时的两个共振频测试时的两个共振频率和对应的频率比率和对应的频率比42211/ 2/ 4mmm 111/0.8333n 221/1.1667n 质量比

7、m m=0.1345，求出主系统m1=2/0.1345=14.87kg测试共振频率1 和 2为261.8rad/s(2500r/min)和366.53rad/s (3500r/min)，从而可以求出两个共振点的频率比1,2电动机发电机组的固有频率为1、吸振器的固有频率为2。因为吸振器(质量m2=2kg可调)，令1= 2 =314.16 rads(对应转速3000 rmin)无阻尼动力吸振器(8)系统的最低运行速度1为209.44rad/s(2000r/min)获得第一处共振频率比1111/0.6667n 0.6942m210.694210.3227mmkg262221.0188 10/nkmN

8、 m系统的二阶共振频率比2221/ 2/ 42.2497mmm 21.49921.499 314.16471.24/rad s 4500r/min吸振器参数吸振器参数设计完毕设计完毕验证验证设计设计无阻尼动力吸振器(9)（4）把模态坐标响应变换成广义坐标响应，即为系统的响应多自由度系统模态分析的基本步骤（多自由度系统模态分析的基本步骤（P34） （1）求系统的固有频率与主振型，构成主振型矩阵 u YuXYuX （2）坐标变换 QYKYM00 FuQuKuKuMuMTTT00得（3）求模态方程的解。一般可由杜哈美积分杜哈美积分，或待定系数法待定系数法求微分方程的特解。将广义坐标表示的初始条件，变

9、换为用模态坐标表示，并代入模态方程，求出各积分常数。注意：此时的变量为Y！ XuY即理解：通过坐标变换后，模态方程中各参量均无任何物理含义！模态分析法实例模态分析法实例 1k1=30,k2=5,k3=0m1=10,m2=1初始条件为：x(0)=1 0，v(0)=0 0用模态分析法求二自由度系统的自由振动m1m2k1k2k3n解 系统的固有频率和主振型为(1)(1)1111.5811,2XX (2)(2)2112.4495,5XXn其中 为任意常数。通过固有振型关于质量矩阵正则化，可以求出 (2)1X(1)1X(2)1X(1)1X(2)1X(1)1Xn由2(1)(1)(1)11001112101

10、2TXMXX n求得(1)10.2673Xn同理求得(2)10.1690Xn系统的正则振型矩阵为(1)(2)0.26730.16900.53460.8450XXXn进行模态坐标变换( )( )x tXq tn得到系统的模态坐标方程2( )( )( )0q tq tQ t自由振动00( )cossiniiiiiiqq tqtt00iiqq 为模态坐标初值，需要通过广义坐标求出( )( )( )( )( )( )TTTx tXq tX Mx tX MXq tq tX Mx t(0)(0)TqX Mx0.26730.534610012.6730.16900.84500101.690 0(0)(0)0

11、TqX Mx 1( )2.673cos1.5811q tt2( )1.690cos2.4495q tt( )( )x tXq t0.26730.16902.673cos1.5811( )0.53460.84501.690cos2.4495tx ttn矩阵迭代法的基本步骤是什么？n如何求解二阶以后的模态？n连续系统的振动习题习题1lMyKx( , )My l t( , )Ky l tTsinT习题习题2A2l2lx2lA2l2l2l初始条件202( ,0)212lxxly xxlxll( ,0)0y x2n12221,3,5.8( 1)( ,0)siniiiy xxil1( ,0)sinnnny

12、 xCxl12228( 1)1,3,5inCni12221,3,58( 1)( , )sincosnnnny x txtnll习题习题2EJAlM习题习题3EJAx2l2lEIxlNNyn多刚体构件系统机械动力学xrK质量为质量为m，长度为，长度为l的匀质杆的匀质杆与质量为与质量为M的匀质圆盘中心的匀质圆盘中心用光滑铰链联结，构成一个用光滑铰链联结，构成一个物理摆。圆盘在水平导轨上物理摆。圆盘在水平导轨上无滑动地滚动，其中心用刚无滑动地滚动，其中心用刚度为度为k的弹簧与固定墙联结。的弹簧与固定墙联结。试用拉格朗日方法建立系统试用拉格朗日方法建立系统的运动微分方程的运动微分方程AB2221111

13、1 122 2xTm xm rr22212211122 12cTm vm l2222cos22cllvxx2112Vkx12cosVm gl x kOR2222113()2()cos222TMxm xRrRr x21()cos2Vkxmg Rr212ImrRrr行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。取曲柄的转角为广义坐标。222121(29)()12TmmrrMQM22121(29)()6mmrrM22121(29)()6TmmrrddTTQt22126(29)()Mmmrr半径为R的圆环在力偶矩为M的力偶作用下以角速度匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动。已知圆环对y轴的转动惯量为J，忽略摩擦力。求为使圆环匀角速