4年级-15-图形计数-难版

1、第15讲图形计数几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。在几何图形的计数问题中， 各种图形的基本概念及其相关性质是计数过程中寻找规律的基础。掌握图形的规律和方法多种多样，常用的有按顺序数和分类数两种。分类方法如：按点分类，按边分类，按块分类等等还要注意分类的合理性，只有当所分的类型包含所有情况并且相互不重叠，这样才有可能做到不重复、不遗漏。典型例题【例1】数一数图1中有多少条线段？A E C D E FK1【解析】第一种可以按端点进行分类，如图 1中，线段最左边的端点是 A,即以A为左端点 的线段有 AB AC AR AE AF共五条；以B为左端点的线段

2、有 BG BD BE、BF共四条；以 C为左端点的线段有 CD CE CF,共三条；以 D为左端点的线段有 DE DF共二条；以E为 左端点的线段有EF, 一条。这些线段的和就是图形中线段的条数。第二种可以按含基本线段多少的顺序去数。在此题中最长的线段AF上有四个分点，将AF分成了 5条小线段，这每条小线段就是基本线段。首先有5条基本线段，其次是包含有两条基本线段的有4条，然后是包含有三条基本线段的有3条，包含有四条基本线段的有2条，包含有五条基本线段的有1条。则线段AF上的线段条数可求。5+4+3+2+1=15 （条）【例2】数一数，右图中共有多少个角？12【解析】我们规定：把相邻两条射线构

3、成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：由1个基本角构成的角有：/ AOB / BOC / COD / DOE / EOF共5个.由2个基本角构成的角有：/ AOC / BOD / COE / DO映 4个.由3个基本角构成的角有：/ AOD / BOE / CO映 3个.由4个基本角构成的角有：/ AOE / BOF共2个.由5个基本角构成的角有：/ AOF共1个.角总数 5+4+3+2+1=15（个）.【小试牛刀】数出图 2中总共有多少个角？【解析】10个【例3】数一数，右图中共有多少个三角形【解析】1个三角形组成的： AOB BOC COD DOE EOF共5个;2个三角形组成的:AOC

4、BOD COE DO映 4 个;3个三角形组成的:AOD BOEi 川。!3共 3 个;4个三角形组成的:AOE BOF共 2 个;5个三角形组成的:AOF共1个;共有 5+4+3+2+1=15 (个)【例4】数一数：下面三个图中长方形分别有多少个?DB【解析】先数一数 AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一数AD上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长方形，这样就容易得出一共有多少个长方形了.AD先来看图（1） , AB边上包含着的10条线段中的每一条（想一想为什么），都可与线段对应，惟一确定一个长方形，所以图 （1）中共

5、有10X1=1。个长方形.再来看图（2）,与图（1）不同的是在AD上增加了一个分点，这样就有 3条线段时，这lit启条线段分别与 AB边上不同的线段构成长方形，所以图（2）中共有10X3=30个长方形.最后看图（3）,与上面的思路相同，由于AD边上有3+2+1=6条线段，所以图（3） *10X6=60个长方形.即：(1)(4+3+2+1) X 1=10(个)；(2)(4+3+2+1) X (2+1)=30(个)；(3)(4+3+2+1) X(3+2+1)=60(个).【小试牛刀】数一数图 4中长方形的个数。【解析】图中AB边上有线段：4+3+2+1=10 （条）BC边上有线段：5+4+3+2+

6、1=15 （条）所以共有长方形：10X15=150 （个）答：图4中长方形的个数为150个。【例5】数一数：右图中有几个正方形？共 20 个.即 4X3+3X 2+2X1=20【小试牛刀】数一数图5中有多少个正方形（其中每一个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）？AD出5【解析】由于正方形是长与宽相等的矩形，数正方形与数长方形相类似。由于长=宽，那么只需考虑一边的长，按一边的长进行分类，由于图中BC边长大于AB边，因此从AB边开始分类，AB边长为8个单位长度，那么图 5中有八类正方形。边长为1的正方形个数：14X8=112 （个）边长为2的正方形个数：13X7=91 （个）边长为3的正方形个

7、数：12X6=72（个）边长为4的正方形个数：11 X 5=55 （个）边长为5的正方形个数：10X4=40（个）边长为6的正方形个数：9X3=27 （个）边长为7的正方形个数：8X2=16 （个）边长为8的正方形个数：7X 1=7 （个）那么图5中正方形个数和可求。正方形总数为：14X8+13X7+12X6+11X5+10X4+9X 3+8X2+7X 1=112+91+72+55+40+27+16+7二420 （个）【例6】数一数，右图中三角形共有几个?【解析】27个.【小试牛刀】数一数图 6中三角形的个数（图中每一个小三角形是边长为1的正三角形）【解析】第一种方法：从图 6中易将三角形分为

8、两类，一类是顶角朝上的，一类是顶角朝下的三角形。先来考虑顶角朝上的三角形，再将它们分成5种，在 AB1C1 中有1个三角形；在AB2C2 中有2+1=3个三角形；在 AB3C3中有3+2+1=6 （个）三角形；在AB4c4中有4+3+2+1=10 （个）三角形；在 ABC中有5+4+3+2+1=15 （个）三角形。再来考虑顶角朝下的三角形。在CBB4C4中有4个三角形；在CBb3c3中有3+2=5 （个）三角形；在 CBB2c2有2+1=3 （个）；在CBB1C1 中有1个三角形。综合以上的 各种情况，图中三角形的个数可求。第二种方法：类似于正方形的分类方法。将三角形分成五类。边长为1的三角形

9、有：25个；边长为2的三角形有10+3=13 （个），其中10个顶角朝上，3个顶角朝下；边长 为3的三角形有6个，都是顶角朝上的；边长为4的三角形有3个，都是顶角朝上的；边长为5的三角形有1个，是 ABG那么图中三角形个数为此五类三角形的和。解答过程：按第一种方法划分三角形的总数为：1+3+6+10+15+4+5+3+1=48 （个）按第二种方法划分三角形的总数为：25+13+6+3+1=48 （个）【例7】数一数：右图中有几个正方形?【解析】形如 ABED勺正方形有12个；形如AHIC的正方形有5个；形如EPOQ勺正方形有12个；形如BDOF的正方形有5个；形如BGKJ的正方形有12个；【例

10、8】如图，其中同时包括两个的长方形有 个.【解析】先找出同时包括两个的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形.根据乘法原理2X2X 2X3=24 （种）不同的长方形.【小试牛刀】在下图中，不包含的长方形有 个.【例9】如图AB, CD EF, MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少【解析】图中共有三角形（1+2+3+4） X 4=40个.梯形（1+2+3+4） X （2+4） =60;所以梯 形比三角形多60-40=20个.【例10】如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？【解析】把相邻的两点连接起来可以得到下面

11、图形，从图中可以看出:(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个；(3)中间还可围成 2个正方形。所以共有6+2+2=10个。【例11】(选做题)如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3X 1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍？,上课后作业1 .数一数图7中共有多少条线段？共有多少个三角形?【解析】先找出图中线段的基本图形，即一条线段上有几个分点。这样的线段有：AR ADAE AF、AG GH KL、MN BC点共8条线段，而且每条线段上有三个分点，说明在这样的 每条线段上有4+3+2+I = 10 （条）线段，那么图形中总共有线段：10X 8=80 （条

12、）。三角形求法，同上，先找出基本三角形 4个，每个基本三角形中有三角形为4+3+2+1=10（个），故，图中共有三角形：10X4=40 （个）。答：在图形中共有 80条线段，40个三角形。2 .数一数图8中有多少个三角形？CD阳8【解析】由于五边形ABCD牖一个正五边形，是对称的图形，在这个图形中有很多大小形状 都相等的三角形，因此分类时按三角形大小进行分类。与AD1C1大小相等的三角形有 5个；与 AEC1大小相等的三角形有 5个；与 AED1 大小相等的三角形有 10个；与 ACD大小相等的三角形有 5个；与BEA1 大小相等的三角形有 5个；与 AC仅小相 等的三角形有5个。图中三角形的

13、个数：5X 5+10=35 （个）。3 .数一数图9中有多少个正方形包含阴影方格？（图中每一个小格是边长为1的正方形。）图9【解析】由于图中的阴影方格是长为2,宽为1的长方形。那么包含它的正方形的边长至少是2。那么包含阴影方格的：边长为2的正方形有2个；边长为3的正方形有4个；边长为4的正方形有1个。总共有：2+4+1 =7（个）。答：总共有7个正方形包含阴影方格。4 .数一数图10中有多少个三角形？【解析】 如图1,将此图形按大三角形进行分类4ADE AAD（C 4ABC EDC BDC& DEDC BC边上各有四个分点，则在 ADE AD（C ABC中各有5+4+3+2+1=15 （个）三

14、角形。在 EDC与 BDC中各有5个三角形。因此共有：15X3+5X2=55 （个）5 .数一数图11中共有多少个长方形?图11【解析】如图2,在大矩形 ABCD小矢I形 ABCQ1中各有长方形：（4+3+2+1 ） X （2+1）=30 （个），在图形的中间部分矩形EHJG中含有的未被数到的长方形：含有1个基本长方形的有 4个，含有2个基本长方形的有 2个，含有3个基本长方形的有 4个，含有6个基本长方形的有 2个，总共有：30X 2+4+2+4+2= 72 （个）。答：图2中共有72个长方形。h弓 f g金1|西I 6 H JC6 .数一数图12中正方形的个数。图中每个小格都是边长为1的正方形。图11【解析】图形中边长为1的正方形有6X6=36 （个）边长为2的正方形有5X5=25 （个）边长为3的正方形有4X4=16 （个）边长为4的正方形有3X3=9 （个）边长为5的正方形有2X2=4 （个）边长为6的正方形有l X l=1 （个）图形中正方形总数：36+25+16+9+4+1=91 （个）答：图中共有91个正方形