SXJM第五部分_微分与差分方程

1、 在数学的应用中，需处理的往往不是在数学的应用中，需处理的往往不是“纯粹的纯粹的”数，而是反映事物某一特性的度数，而是反映事物某一特性的度量量.用数加单位来表示特性的具体度量用数加单位来表示特性的具体度量.用量纲的概念来表示被度量的特性用量纲的概念来表示被度量的特性. 量纲分析法是一种有效的物理建模方法量纲分析法是一种有效的物理建模方法 一一. 量纲量纲基本物理量基本物理量基本物理量基本物理量量纲符号量纲符号国际单位国际单位长度长度L米米(m)质量质量M千克千克(kg)时间时间T秒秒(s)温度温度Q Q开尔文开尔文(K)电流强度电流强度I安培安培(A)发光强度发光强度J坎德拉坎德拉(cd)物质

2、的量物质的量N摩尔摩尔(mol)*其他物理量其他物理量均基本物理量均基本物理量经运算导出的经运算导出的 .*物理量的量物理量的量纲常记为纲常记为Dim(物理量物理量)或或物理量物理量 .时间时间（T） 基本物理量基本物理量质量质量（M）长度长度（L） 其它力学物理量都其它力学物理量都可以表示为其组合形式，可以表示为其组合形式，称这种组合形式为称这种组合形式为量纲量纲. 称为称为基本量纲基本量纲例如例如, 在动力学中在动力学中 加速度加速度 = a =dv/dt=LT2 ;因为力因为力 F=ma, 故故 F = m a =MLT2;例：例： 速度速度 = v = = LT1 ;dtds部分物理常

3、数也有量纲。部分物理常数也有量纲。中的引力常数中的引力常数K的量纲为的量纲为 212212mmrfmmfrK 213222 TMLMLLMT221rmmKf 如万有引力定律如万有引力定律部分物理量是无量纲的部分物理量是无量纲的, 称之为纯数字称之为纯数字,如如 角度角度=LL1=L0尽管角度是无量纲量尽管角度是无量纲量, 但它有单位但它有单位(弧度弧度).).二二. 单位单位SI 国际单位制（米国际单位制（米千克千克秒）；秒）； fps 英制单位制（英尺英制单位制（英尺磅磅秒）秒） 量量 纲纲 独独 立立 于于 单单 位位一个模型中单位必须统一一个模型中单位必须统一 三三. 量纲齐次性（量纲齐

4、次性（Dimensional Homogeneity）量纲齐次原则量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定任一有意义的物理方程必定是量纲一致的是量纲一致的, 即有即有 左边左边 = 右边右边1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验。检验。 2. 无量纲化方法减少参数个数无量纲化方法减少参数个数. 例例1： 一个学生建立了从扔下石头到听到声一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间音的时间 t和洞深和洞深 h 的关系模型的关系模型：, 0,)exp(1(2 tkgktktkgh检查模型的检查模型的量纲是否正确量纲是否正确? 根据比例系数根据比例系数 k 的定义

5、有的定义有 LT -2=kLT -1 k=T -1 注意到注意到exp(-kt)是无量纲量，是无量纲量，所以满足齐次性。所以满足齐次性。例例2 机械震荡运动方程机械震荡运动方程 .,FCvKxdtdvmvdtdx模型中有参数模型中有参数：m、K、C 00000,),0(wxvmKwxx 令令根据量纲齐次性根据量纲齐次性, 有有 w0 =T1 , F =MLT2 , K =MT2, C = MT1. 引进无量纲量：引进无量纲量：T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0vdTdXvdTdXxwwTdXxddtdx 00000)()(得得VvvdTdX 0特点？特点？dTdVvmwdVvdmd

6、tdvmwT000)()(0 将将代入原方程，有代入原方程，有 000000vmwFvvmwCxvmwKdTdV 0000020)()(vmwFvvmwCxxmwK =XAV+F0 其中，因其中，因v0=x0w0 , w0= mK原方程变形为原方程变形为 XFAVdTdV 0优点：优点：1. 1. 减少了参数的个数；减少了参数的个数；2. 2. 方程中的变量方程中的变量X、V、T都是无量纲量都是无量纲量. 四四. 量纲分析建模量纲分析建模 量纲分析是量纲分析是2020世纪初提出的在物理领域世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法中建立数学模型的一种方法, ,是对所设问题是对所设问题有一定

7、了解，在有一定了解，在实验和经验实验和经验的基础上利用量的基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之间的关系纲齐次原则来确定各物理量之间的关系. . 例例3. 单摆运动量纲分析建模单摆运动量纲分析建模将质量为将质量为m的一个小球系在长度为的一个小球系在长度为l 的的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用下的作用下(g为重力加速度为重力加速度)做往复摆动做往复摆动. 忽略忽略阻力阻力, 求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式. 这是一个动力学问题这是一个动力学问题. 考虑所涉及的所考虑所涉及的所有物理量有物理量, 用量纲的齐次性考虑规律的形式用量纲的齐

8、次性考虑规律的形式. 考虑问题中出现的物理量考虑问题中出现的物理量t、m、l、g 假设它们之间有关式假设它们之间有关式 其中是其中是a a1 1, , a a2 2, , a a3 3待定常数，待定常数，l l是无量纲的是无量纲的比例常数比例常数. 321a aa aa al lglmt 从而其从而其量纲表达量纲表达式为式为 将将 t =T, m=M, l =L, g =LT2代入上代入上式式 321a aa aa aglmt 按照量纲齐次性，有按照量纲齐次性，有23312TM LTaaaa 12003321a aa aa aa a求解得求解得a a1 10, 0, a a2 21/2, 1/

9、2, a a3 3 =-1/2，代入原式得，代入原式得 gltl l Buckingham Pi定理：定理： 设有设有m 个物理量个物理量 q1，q2， qm , 而而 f (q1，q2， qm )=0 （1）是与量纲单位的选取无关的物理定律。是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2, , Xn 是基本量纲是基本量纲, 其中其中n m，q1，q2， qm 的量纲可表为的量纲可表为 矩阵矩阵A=a ai,jnm称为称为量纲矩阵量纲矩阵. 若若A的秩的秩Rank(A)=r mjXqniijij,.,2 , 1,1 a a 若齐次线性方程组若齐次线性方程组 Ay=0 ( y是是m维向量维向量)

10、的的 m-r个基本解为个基本解为： ys=(ys1, ys2, , ysm)T , s =1, 2, , m-r 为为 m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, ,且且 F(p p1, p p2, ，p pm-r)=0 （2） 与（与（1）式等价，其中）式等价，其中F 的形式未知的形式未知.rmsqmjyjssj ,.,2 , 1,1p p则则续例续例3. 单摆运动的抽象单摆运动的抽象 f (t，m，l，g) =0 设变量关系为设变量关系为各变量的量纲用基本量纲各变量的量纲用基本量纲(L,M,T)表示如下：表示如下： t =L0M0T1, m=L0M1T0, l =L1M0T0, g

11、 =L1M0T2,根据量纲齐次性，根据量纲齐次性，Buckingham Pi定理定理, 可得量可得量纲矩阵为纲矩阵为 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 Ay=0 ( y是是4维向量维向量), L 0011M 0100T 1002tmlgA 因为矩阵因为矩阵 A的秩为的秩为3, 所以方程有一个基本解所以方程有一个基本解, 可取为可取为1234()(2 01 1)TTyyyy 所以得到所以得到由由Buckingham Pi定理定理, 单摆的周期规律为单摆的周期规律为211t lgp p 211()()0FF t lgp p 从中解出从中解出t得得ltgl l 例例4. 航船阻力航船阻力 长度为

12、长度为l、 吃水深度吃水深度h的船以速度的船以速度v航行航行,若不考虑风的影响若不考虑风的影响, 那么航船受到的阻力那么航船受到的阻力f 除除依赖船的诸变量依赖船的诸变量l, h, v以外以外, 还与水的参数还与水的参数密密度度, 粘性系数粘性系数, 以及重力加速度以及重力加速度g有关有关.1. 航船问题中涉及的物理量有：阻力航船问题中涉及的物理量有：阻力f，船长，船长l，吃水深度吃水深度v，水的密度，水的密度r r，水的粘性系数，水的粘性系数m m，重，重力加速度力加速度g。要寻求的物理关系记为。要寻求的物理关系记为(f, l, h, v, r r, m m, g)=0 (1)2. 这是力学

13、问题，基本量纲选为这是力学问题，基本量纲选为L、M、T，上述各物理量的量纲表为上述各物理量的量纲表为 211312LTgMTLMLLTvLhLtLMTfm mr r3. 写出量纲矩阵写出量纲矩阵gvhl fA TML210100201100011131111 4. 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 AY=0.因因Rank (A) = r =3 ，有，有mr =73=4个基本解，可取为个基本解，可取为gvhl fyyyy )0, 0, 1, 1, 0, 2, 1()0, 1, 1, 1, 0, 1, 0()1, 0, 0, 2, 0, 1, 0()0, 0, 0, 0, 1, 1, 0(43

14、21 5. 给出给出4个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量1224132211 r rp pr rm mp pp pp pvfllvglvlh，(2)6得到得到简化表达式简化表达式，F F是未定的函数是未定的函数. 两式表达了航船问题两式表达了航船问题中各物理量之间的全部关系。中各物理量之间的全部关系。为得到阻力为得到阻力f 的表达式，由式的表达式，由式(1)及式及式(2)中中p p 4的式子可写出的式子可写出f = l2v2rY rY (p p1, p p 2, p p 3)其中其中, Y Y 表示一个未定函数表示一个未定函数.F F(p p1, p p 2, p p 3, p p 4)

15、=0(3) 五五. 相似模型与比例模型相似模型与比例模型如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征量之间的比值在所有对应点上保持常数，则这量之间的比值在所有对应点上保持常数，则这两个物理现象称为相似的，这些常数称为相似两个物理现象称为相似的，这些常数称为相似系数（比尺），它们都是无量纲的常数。系数（比尺），它们都是无量纲的常数。飞机、导弹、火箭、船舶的研制，大型水坝的飞机、导弹、火箭、船舶的研制，大型水坝的建造，建造，等问题中，等问题中，由于工程和产品尺寸庞大，由于工程和产品尺寸庞大，结构复杂，造价昂贵，实验通常是在缩小的模结构复杂，造价昂贵，实验通常是在

16、缩小的模型上进行的。型上进行的。从而要从而要解决实验条件如何安排，解决实验条件如何安排，试验数据如何整理，以及试验结果如何换算等试验数据如何整理，以及试验结果如何换算等重要问题重要问题。量纲分析与相似理论就是解决这些量纲分析与相似理论就是解决这些问题的基础。问题的基础。原理和方法：原理和方法：1）由模型和原形的相似准则，确定模型系统由模型和原形的相似准则，确定模型系统的特征量。的特征量。2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。一切物理量，并把它们整理成相似准则。3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整）将实验所得到的各

17、相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形理成关系公式（曲线），以便应用到原形中。中。续续例例4. 物理模拟中的比例模型物理模拟中的比例模型构造航船模型，以确定原型航船在海洋中构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力。受到的阻力。无量纲量在模型和原型中保持不变的性质，无量纲量在模型和原型中保持不变的性质，称为称为量纲不变性量纲不变性.模型中的各物理量模型中的各物理量: f, l, v, r r, m, m m, , g。原型中的各物理量原型中的各物理量: f, l, v, r r, m, m m, , g。),(lg22m mr rr r lvvhlvlf ),(gl22

18、m mr r r r vlvhlvlf当无量纲量当无量纲量,lvl vllvvhhl gl grrrrmmmm 成立时，可得成立时，可得r rr r 2)(lvvlff原型航船的阻力原型航船的阻力f可由模型船的阻力可由模型船的阻力f及其及其他有关量算出他有关量算出应用量纲分析法建立数学模型应注意：应用量纲分析法建立数学模型应注意： 1. 正确确定模型中所含物理量正确确定模型中所含物理量 2. 合理选择基本量纲合理选择基本量纲3. 应根据特定的建模目的应根据特定的建模目的恰当地构造基本解恰当地构造基本解. 一般，在力学中选取一般，在力学中选取L、M、T即可即可, 热学问题热学问题加上温度量纲加上

19、温度量纲，电学问题加上电流强度，电学问题加上电流强度I). 主要靠经验和背景知识主要靠经验和背景知识, 没有一般的方法可以没有一般的方法可以保证得到的结果是正确或有效保证得到的结果是正确或有效.量纲分析建模方法有如下优缺点量纲分析建模方法有如下优缺点: 2. 可将无关的物理量去掉可将无关的物理量去掉. 3. 可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量. 4. 方法有局限性，方法有局限性，PI定理中的等价方程定理中的等价方程F()=0, 仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量. 5. 物理定律中常见的函数，如三角函数物理定律

20、中常见的函数，如三角函数sin(),指数函数指数函数exp()等是无量纲的等是无量纲的, 不可能用量纲分析不可能用量纲分析法得到法得到.任何建模方法都有局限性任何建模方法都有局限性 1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法，不需要专门的物理知识和高深的数学方法，可以得到用其他复杂方法难以得到的结果可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程. 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律. 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态. 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段. 实际问题需寻求某个变量实际问题

21、需寻求某个变量y 随另一变量随另一变量 t 的的变化规律变化规律 ：y=y(t).直接求直接求很困难很困难 建立关于未知变量、未知变量的建立关于未知变量、未知变量的导数导数(或改变量或改变量)以及自变量的方程以及自变量的方程 建立变量能满足建立变量能满足的微分方程的微分方程 ？哪一类问题哪一类问题在工程实际问题中在工程实际问题中 * “改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减少减少”等关键词提示我们注意什么量在变化等关键词提示我们注意什么量在变化. 在研究实际问题时在研究实际问题时, , 我们常常不能直接我们常常不能直接得出变量之间的关系得出变量之间的关系, ,但却能容易得出包含变但却能容

22、易得出包含变量导数在内的关系式量导数在内的关系式, ,这就是微分方程这就是微分方程. . 在现实社会中在现实社会中, ,又有许多变量是离散变化又有许多变量是离散变化的的, ,如人口数、生产周期与商品价格等如人口数、生产周期与商品价格等, , 而且而且离散的运算具有可操作性离散的运算具有可操作性, , 差分正是联系连差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁续与离散变量的一座桥梁. .一一. 微分方程微分方程凡含有自变量、未知函数及其导数凡含有自变量、未知函数及其导数( (或微或微分分) )的方程的方程, ,称为称为微分方程微分方程. . 未知函数是一元函数的微分方程称为未知函数是一元函数的微分方程称

23、为常微分常微分方程方程, ,否则称为否则称为偏微分方程偏微分方程. . 这里只讨论常微分方程，以后所说的微分方这里只讨论常微分方程，以后所说的微分方程都是指常微分方程程都是指常微分方程. . 微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微微分方程的阶分方程的阶. 未知函数及其各阶导数都是线性的微分方未知函数及其各阶导数都是线性的微分方程称为程称为线性微分方程线性微分方程. . 其一般形式为其一般形式为0),., , ,( )( nyyyyxFn为为阶阶微微分分方方程程的的一一般般形形式式),., , ,( )1()()( nnnyyyyxfyy解解出出的的形形式式：

24、很很多多地地方方也也常常用用)()()(.)(11) 1(1)(xfyxayxayxaynn 阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程。时时，称称为为当当阶阶齐齐次次线线性性方方程程。时时，称称为为当当nxfnxf0)(0)( 微分方程的微分方程的解解是指是指能使微分方程成为恒等式能使微分方程成为恒等式的已知的已知函数函数. . 微分方程的微分方程的通解通解：含有：含有 n 个相互独立的任意个相互独立的任意常数的解常数的解, ,其中其中 n 是微分方程的阶数是微分方程的阶数. . 初值条件初值条件：微分方程在：微分方程在t = t 0时，未知函数及时，未知函数及其其n-1阶导数的值。阶导数的值。 微分

25、方程的微分方程的特解特解：满足初值条件的解：满足初值条件的解. 二二. 微分方程常用求解方法微分方程常用求解方法 在微分方程经典理论中，常常用初等积分法在微分方程经典理论中，常常用初等积分法求解微分方程。常见的有求解微分方程。常见的有 变量分离法变量分离法 全微分法全微分法 换元法换元法 常数变易法常数变易法 参数法参数法 积分变换法。积分变换法。 降阶法。降阶法。 三三. 常系数线性微分方程求解方法常系数线性微分方程求解方法n 阶线性微分方程一般形式：阶线性微分方程一般形式：) 1 . 3( )()()()(1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn 其中其中), 2 ,

26、 1)(nitai )(tf及及是区间是区间bta 上的连续函数。当上的连续函数。当f(t)=0时有时有 )2 . 3( 0)()()(1111 xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn称方程称方程(3.1)(3.1)为为 n 阶非齐次线性微分方程阶非齐次线性微分方程，方程方程(3.2)(3.2)为为 n 阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程。齐次线性方程齐次线性方程(3.2)(3.2)解的性质与结构解的性质与结构 定理定理 （叠加原理）（叠加原理）如果如果)(,),(),(21txtxtxk)()()(2211txctxctxckk kccc,21是任意常数。是任意常数。是方程是方

27、程(3.2)(3.2)的的k个解，则它们的线性组合个解，则它们的线性组合也是方程也是方程(3.2)(3.2)的的解，这里解，这里函数线性无关和相关函数线性无关和相关称这些函数是称这些函数是线性相关线性相关的，否则称是的，否则称是线性无线性无关关的。的。定义在定义在bta )(,),(),(21txtxtxk上的函数上的函数如果存在如果存在不全为零的常数不全为零的常数kccc,21等式等式0)()()(2211 txctxctxckk对所有对所有 bat, 成立，成立，使得恒使得恒定理定理 n 阶齐线性方程阶齐线性方程(3.2)一定存在一定存在 n 个线性个线性无关的解，且任意无关的解，且任意

28、n+1个解都线性相关。个解都线性相关。通解结构通解结构)(,),(),(21txtxtxn)()()()(2211txctxctxctxnn 其中其中nccc,21是任意常数，且通解是任意常数，且通解(3.3)是方程是方程(3.2）的）的n个线个线性性无关的解，则方程无关的解，则方程(3.2)的通解可表为的通解可表为(3.3)包括方程包括方程(3.2)的所有解。的所有解。如果如果定理定理 ( (齐次线性方程齐次线性方程) )定理定理 ( (非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程) )是任意常数，且通解是任意常数，且通解(3.4)(3.4)(,),(),(21txtxtxn为方程为方程(3.2)(

29、3.2)的的n个线个线)(tx是方程是方程(3.1)(3.1)的某一解，的某一解，)()()()()(2211txtxctxctxctxnn 其中其中nccc,21(3.4)(3.4)设设包括包括方程（方程（3.13.1）的所有解。）的所有解。性无关的解，性无关的解，则方程（则方程（3.13.1）的通解为）的通解为常系数齐次线性方程的求解常系数齐次线性方程的求解01111 xadtdxadtxdadtxdnnnnnn(3.5)naaa,.,21为常数。为常数。其中其中n 阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程方程方程(3.5)的特征方程为的特征方程为0111 nnnnaaal ll ll l

30、(3.6)结论：结论：tex l l 是方程是方程(4.19)的解的充要条件是的解的充要条件是满足满足l l0)( l lF特征根为单根的情况特征根为单根的情况nl ll ll l,21是特征方程是特征方程(3.6)的的n个互不个互不tttneeel ll ll l,21 设设相等的根，相等的根，则相应的方程则相应的方程(3.5)有如下有如下n个解个解这这n个解在区间个解在区间 t上线性无关上线性无关.如果特征方程如果特征方程(3.6)(3.6)有复根，则因方程有复根，则因方程(3.5)(3.5)的系数是实常数。复根将成对共轭的出现的系数是实常数。复根将成对共轭的出现. . a al li 1

31、设设是方程的一对共轭特征根是方程的一对共轭特征根则方程则方程(3.5)(3.5)有两个复值解有两个复值解)sin(cos )(titeetti a a a a 对应两个实值解为对应两个实值解为tetett a aa asin ,cos 2)特征根为虚根的情况特征根为虚根的情况3)特征根有重根的情况特征根有重根的情况1l l是特征方程是特征方程(3.6)(3.6)的的m重特征根。重特征根。设设则方程则方程(3.5)恰有恰有m个相个相l l1对应的线性无关的解对应的线性无关的解tmtttetettee111112,l ll ll ll l 当特征方程当特征方程(3.6)(3.6)出现多个不同重根时

32、，出现多个不同重根时，每一个根对应的方程每一个根对应的方程(3.5)(3.5)的线性无关解按上的线性无关解按上述方法求得。述方法求得。例例1 1. . 求下面齐次线性微分方程的通解。求下面齐次线性微分方程的通解。045111104481122334455 xdtdxdtxddtxddtxddtxd解：解：该方程的特征方程为该方程的特征方程为0)3)(54)(1(41111044811)(222345 l ll ll ll ll ll ll ll ll ll lF该方程的特征根为该方程的特征根为1(单根单根), 2+i, 2-i(共轭共轭), 3(二二重根重根)特征根特征根1对应的基本解为对应的

33、基本解为特征根为特征根为2+i, 2-i(共轭共轭)对应的基本解为对应的基本解为特征根特征根3(二重根二重根)对应的基本解为对应的基本解为ttee 1l ltetettsin ,cos 2 2tttee33,所以该齐次线性微分方程的通解为所以该齐次线性微分方程的通解为ttttttecectectecectx3534 23 221sin cos)( 常系数非齐次线性方程的求解常系数非齐次线性方程的求解n 阶常系数线性微分方程一般形式：阶常系数线性微分方程一般形式：)7 . 3( )(1111tfxadtdxadtxdadtxdnnnnnn 当当 f(t)=0时，有时，有 ) 8 . 3( 011

34、11 xadtdxadtxdadtxdnnnnnn称方程（称方程（3.83.8）为与非齐次方程（）为与非齐次方程（3.73.7）相）相对应的齐次线性方程。对应的齐次线性方程。常系数非齐次线性方程的求解常系数非齐次线性方程的求解由于由于方程方程(3.7)的通解是由其对应的齐次的通解是由其对应的齐次线性方程线性方程(3.8)的通解与方程的通解与方程(3.7)的一个特解相的一个特解相加构成的。加构成的。所以对应的齐次线性方程所以对应的齐次线性方程(3.8)的通解可的通解可以由前面的方法求出，再求出方程以由前面的方法求出，再求出方程(3.7)的一的一个特解即可。个特解即可。方程方程(3.7)的特解求法

35、常用比较系数法的特解求法常用比较系数法类型类型Itmmmmebtbtbtbtf 0111)()(l l mbbb,10l l其中其中为确定的实常数。为确定的实常数。方程方程 (3.7) 有特解为以下形式有特解为以下形式tmmmmkeBtBtBtBttx 0111)()(l l 其中其中mBBB,10为待定系数，为待定系数，k为对应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程F(l l)=0的特的特征根征根l l的重数。如果的重数。如果l l不是不是特征方程特征方程F(l l)=0的的特征根，则特征根，则k=0。解解0322 l ll l1, 3 l ll l通解通解ttecec321 2用比

36、较系数法求一特解用比较系数法求一特解0 0不是特征根，不是特征根， 则方程有形如则方程有形如 的特解的特解BAtx13)(32tBAtA13233BAA31, 1BA通解通解31321 tececxtt例例2 2 133222txdtdxdtxd求方程求方程的通解的通解.1先求对应齐次方程的通解先求对应齐次方程的通解3类型类型tettBttAtf sin)(cos)()(a a mtBtA )(,)(max(的次数的次数的次数的次数 a a,)(),(tBtAt其中其中为实数，为实数，是是的多项式的多项式方程方程(3.7)有特解如下形式有特解如下形式tkettQttPttxa a sin)(c

37、os)()( )(),(tQtP都是次数不高于的多项式，系数待定都是次数不高于的多项式，系数待定k为对应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程F(l l)=0的特的特征根征根l l a a i的重数。如果的重数。如果l l a a i不是不是特征特征方程方程F(l l)=0的特征根，则的特征根，则k=0。例例3 3 求方程求方程 的通解的通解 txdtdxdtxd2cos4422 0442 l ll l22, 1 l ltetcc221)( tBtAx2sin2cos 04841484BABABA81 , 0 BAtx2sin81 设方程的特解形如：设方程的特解形如：解解齐次方程的通解

38、齐次方程的通解为为tetcctxt2sin81)()(221 原方程的通解为原方程的通解为四四. 差分方程差分方程定义：设定义：设(x0, x1, , xn, )是一个序列，把该序是一个序列，把该序列中列中 xn 与它前面几个与它前面几个xi(0in)关联起来的方程关联起来的方程称为差分方程。其中称为差分方程。其中k是与是与xn有关的以前的项有关的以前的项的个数，称为差分方程的阶数。的个数，称为差分方程的阶数。F( n, xn, xn-1, , xn-k ) = 0 差分方程也常表示成差分方程也常表示成xn解出的形式：解出的形式：xn =f( n, xn-1, , xn-k ) xn = x

39、(n)是差分方程的是差分方程的解解, 包含包含k个任意常个任意常数的解称为数的解称为差分方程差分方程的的通解。通解。 x0, x1, , xk-1为已知时称为差分方程的为已知时称为差分方程的初始初始条件条件, 通解中的任意常数都由初始条件确定后的通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为差分方程的解称为差分方程的特解特解. 若若x0, x1, , xk-1已知已知, 则形如则形如xn+k = f (n, xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现.五五. 差分方程的常用解法差分方程的常用解法 在实际中，我们希望能求出在实际中，我们希

40、望能求出xn = x (n)，即时，即时刻刻n的函数表达式。常见的方法有的函数表达式。常见的方法有 递推迭代法，递推迭代法， 母函数法母函数法 Z Z变换法变换法六六. 线性常系数差分方程的解法线性常系数差分方程的解法n阶线性常系数差分方程的一般形式为阶线性常系数差分方程的一般形式为.)(, 0,.,(6.1) )(. 212211为为已已知知函函数数且且为为常常数数其其中中nfbbbbnfxbxbxbxkkknknnn 若若 f (n) = 0 则称序列则称序列xn为方程为方程(6.1)相对应的相对应的k阶常系数线性齐次差分方程，即阶常系数线性齐次差分方程，即 称：称： F(l l)=l l

41、k+b1l lk-1+.+bk-1l l+bk = 0为为k阶常系数线性递推关系的特征方程。阶常系数线性递推关系的特征方程。(6.2) )(.2211nfxbxbxbxknknnn 常系数线性差分方程与常系数线性常微方程常系数线性差分方程与常系数线性常微方程有相似的解的结构有相似的解的结构)(,),(),(21nxnxnxk)()()()(2211nxcnxcnxcnxkk 其中其中kccc,21是任意常数，且通解是任意常数，且通解(6.3)是方程是方程(6.2）的）的k个线个线性性无关的解，则方程无关的解，则方程(6.2)的通解可表为的通解可表为(6.3)包括方程包括方程(6.2)的所有解。

42、的所有解。如果如果定理定理 ( (齐次线性差分方程）齐次线性差分方程）定理定理 ( (非齐次线性差分方程非齐次线性差分方程) )是任意常数，且通解是任意常数，且通解(6.4)(6.4)(,),(),(21nxnxnxn为方程为方程(6.2)(6.2)的的k个线个线)(nx是方程是方程(6.1)(6.1)的某一解，的某一解，)()()()()(2211nxnxcnxcnxcnxkk 其中其中nccc,21(6.4)(6.4)设设包括包括方程（方程（6.16.1）的所有解。）的所有解。性无关的解，性无关的解，则方程（则方程（6.16.1）的通解为）的通解为若差分方程（若差分方程（6.2）的特征多项

43、式有）的特征多项式有k个相异实个相异实根根l l1, l l2, l lk，则差分方程（，则差分方程（6.2）的通解为：）的通解为：nkknnncccxl ll ll l . 2211其中其中c1, c2, ck为任意常数。为任意常数。若对差分方程（若对差分方程（6.2）再给出一组）再给出一组k个初始值，个初始值，还可以由通解求出满足初始条件的唯一解。还可以由通解求出满足初始条件的唯一解。常系数齐次线性差分方程的求解常系数齐次线性差分方程的求解例例4 求解：求解： 12121FFFFFnnn解：此差分方程的特征方程为解：此差分方程的特征方程为012 xx其特征根为其特征根为251,25121

44、xx故其通解为故其通解为nnnnnccxcxcF 251251212211由初始条件可得由初始条件可得 F0 = 0，将，将F0 = 0， F1 = 1代入得代入得51,5121 cc解得解得所以所以 nnnF25125151 125125102121cccc 若特征根出现一对共轭复根若特征根出现一对共轭复根l l1=a+bi , l l2= a-bi 时，则差分方程（时，则差分方程（6.2）的通解可表示为：）的通解可表示为：nkknnnnxcxcncnca .sincos 3321 r r r r若对差分方程（若对差分方程（6.2）再给出一组）再给出一组k个初始值，个初始值，还可以由通解求出

45、满足初始条件的唯一解。还可以由通解求出满足初始条件的唯一解。其中其中abbaarctan ,22 r r例例5 求下列求下列n阶行列式阶行列式dn的值。的值。10011100011100011 nd解：根据行列式性质，有解：根据行列式性质，有 0,12121dddddnnn此差分方程的特征方程为此差分方程的特征方程为012 xx其特征根为其特征根为2321,232121ixix 故其通解为故其通解为3sin3cos21p pp pncncdn 32/12/3arctan, 12321 22p p r r 由初始条件由初始条件 d1 = 1，d2 = 0得得31, 121 cc解得解得所以所以3

46、sin313cosp pp pnndn 032sin32cos13sin3cos2121p pp pp pp pcccc 若特征根出现若特征根出现k重根。不妨设重根。不妨设l l1是是k的重根。的重根。则差分方程（则差分方程（6.2）的解对应于）的解对应于l l1的项为的项为 其中其中A0, A1, . , Ak 是是k个待定常数个待定常数nkknAnAA11110).(l l 例例6 求下列求下列n阶行列式阶行列式dn的值。的值。20012100012100012 nd解：解：根据行列式性质，有根据行列式性质，有 3,222121dddddnnn此差分方程的特征方程为此差分方程的特征方程为0

47、122 xx其特征根为其特征根为121 xx故其通解为故其通解为BnABnAdnn 1)(由初始条件由初始条件 d1 = 2，d2 = 3得得1, 1 BA解得解得所以所以1 ndn 322BABA常系数非齐次线性差分方程的求解常系数非齐次线性差分方程的求解由于由于方程方程(6.1)的通解是由其对应的齐次的通解是由其对应的齐次线性方程线性方程(6.2)的通解与方程的通解与方程(6.1)的一个特解相的一个特解相加构成的。加构成的。所以对应的齐次线性方程所以对应的齐次线性方程(6.2)的通解可的通解可以由前面的方法求出，再求出方程以由前面的方法求出，再求出方程(6.1)的一的一个特解即可。个特解即

48、可。方程方程(6.1)的特解求法常用比较系数法的特解求法常用比较系数法类型类型nmmmmbnbnbnbnfl l )()(0111mbbb,10l l其中其中为确定的实常数。为确定的实常数。方程方程 (6.1) 有特解为以下形式有特解为以下形式nmmmmtBnBnBnBnnxl l )()(0111其中其中mBBB,10为待定系数，为待定系数，t为对应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程F(l l)=0的特征的特征根根l l的重数。如果的重数。如果l l不是不是特征方程特征方程F(l l)=0的特的特征根，则征根，则t=0。例例7 求和式求和式 nkk13解：设解：设 nknka13

49、从则可得从则可得 1131anaann其对应的齐次差分方程为其对应的齐次差分方程为01 nnaa其特征方程为其特征方程为01 x其对应的齐次差分方程的通解为其对应的齐次差分方程的通解为Can 因为因为1 是特征方程的是特征方程的1 重根，重根，f(n)是是n的三次的三次多项式。所以非齐次差分方程有下列形式的多项式。所以非齐次差分方程有下列形式的特解：特解：1322130)(nAnAnAnAan 代入题上的非齐次差分方程得代入题上的非齐次差分方程得33021021032104)36()234()(nnAnAAnAAAAAAA 于是可得方程组于是可得方程组 14036023400102103210

50、AAAAAAAAAA从而解得从而解得0,41,21,413210 AAAA所以原差分方程的通解为所以原差分方程的通解为234412141nnnCan 代入初始条件代入初始条件a1=1得得4121411 C解得解得 C = 0 ,故有故有2223413)1(41412141 nnnnnknk七七. 用用MatlabMatlab求微分方程的解析解求微分方程的解析解命令：命令：dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 定解条件定解条件1, 定解条件定解条件m, 自变量自变量)在表达微分方程时，用字母在表达微分方程时，用字母D表示求微分，表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分等表示求高阶微

51、分. 任何任何D后所跟的后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为默认变量则选定为默认变量t.定解条件可以为初始条件或边界条件。定解条件可以为初始条件或边界条件。例例7 求下列微分方程的特解求下列微分方程的特解 15)0( , 0)0(2cos29422xxtxdtdxdtxd 解解: 输入命令输入命令:yy=dsolve(D2x+4*Dx+29*x=cos(2*t),x(0)=0,Dx(0)=15,t)输出结果为输出结果为)5sin(10269)5cos(125(3445689)2sin(8)2cos(25)(2ttetttxt l引言引言l

52、简单的数值方法简单的数值方法lRunge-Kutta方法方法l一阶常微分方程组一阶常微分方程组l高阶方程高阶方程l微分方程边值问题数值解微分方程边值问题数值解在高等数学中我们见过以下常微分方程：在高等数学中我们见过以下常微分方程： 0)(),()1(yaybxayxfy a a)(,)(),()2(0ayyaybxayyxfy nybyyaybxayyxfy)(,)(),()3(0(1)，(2)式称为初值问题，式称为初值问题，(3)式称为边值问题。式称为边值问题。一一. 引言引言在实际应用中还经常需要求解常微分在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：方程组： 2002212210012111)

53、(),()(),()4(yxyyyxfyyxyyyxfy本节主要研究本节主要研究问题问题(1)的数值解法，对的数值解法，对(2)(4)只作简单介绍。只作简单介绍。 00)(),()1(yxyyxfy考虑一阶常微分方程初值问题考虑一阶常微分方程初值问题其中，其中，y = y(x) 是未知函数，是未知函数，y(x0) = y0 是初值是初值条件，而条件，而f (x, y) 是给定的二元函数是给定的二元函数. 二二. 数值解的提法数值解的提法（其中（其中L为为Lipschitz常数）则初值问常数）则初值问题（题（1）存在唯一的连续解。）存在唯一的连续解。 2121),(),(yyLyxfyxf 若若

54、f(x)在在x a,b连续且连续且 f 满足对满足对 y 的的Lipschitz条件：条件：求问题（求问题（1）的数值解，就是）的数值解，就是要寻找解函数要寻找解函数在一系列离散节点在一系列离散节点x1 x2 xn 0 同时同时 y=0 的情形的情形,即即X方获胜的情形方获胜的情形. abxayyx/ )(, 02020 得得令令即即Y方获胜时的幸存士兵数方获胜时的幸存士兵数.3） 测算失败一方开始应投入兵力测算失败一方开始应投入兵力.测算失败一方开始应投入兵力测算失败一方开始应投入兵力矛盾矛盾 4） 战斗的持续时间战斗的持续时间战斗的持续时间战斗的持续时间 上世纪初上世纪初, , 意大利生物学家意大利生物学家U.DA ncona在在研究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕研究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕获的鱼中，获的鱼中，鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上升了升了。他认为这一现象决非偶然，应是由战争。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期间捕鱼量减少所致期间捕鱼量减少所致. .食用鱼食用鱼人类人类捕捞捕捞食肉鱼食肉鱼捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？ 数学家数学家V.Volterra建立了一个数学模型给予解释。建立了一个数学模型给予解释。 模型建立模型建立： x(t) t 时刻食用鱼时刻食用鱼（prey）的