时间序列分析讲义第10章 协方差平稳向量过程

1、时间序列分析方法讲义 第10章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型第十章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。10.1 向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论向量之间的动态交互作用。假设一个阶向量自回归模型可以表示为： (10.1)其中是阶系数矩阵，是白噪声向量，满足：其中是阶正定矩阵。可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为： (10.2)由此可见，在模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的阶自回归

2、的形式。此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。利用滞后算子形式，可以将模型表示成为： (10.3)其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：其中，定义10.1 如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下述变量与初始时间无关：和命题10.1 如果一个向量过程满足模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有：(1) 该过程的均值向量可以表示成为： (10.4)(2) 模型可以表示成为中心化形式： (10.5)10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR (p)模型

3、表示成为VAR (1) 的形式。为此，我们定义更高阶的向量为：利用上述表示，可以将VAR (p)模型表示成为紧凑形式为： (10.6)此时向量误差的协方差矩阵为：此处协方差矩阵为：对方程(10.6)进行叠代，可以得到：显然，当向量过程是平稳过程时，任何给定的误差过程的影响一定要随着时间消失，这时矩阵的所有特征根都要落在单位圆内。类似的命题有：命题10.2 矩阵的特征根满足下列方程： (10.7)与此对应，VAR (p)模型是向量协方差平稳过程的条件是下述方程的特征根全部落在单位圆外：对向量协方差平稳过程而言，我们也可以类似地定义和讨论它的协方差性质。例如，时间间隔为j的协方差矩阵为： (10.

4、8)但是需要注意的是，此时不满足等式：，正确的对应关系为：针对协方差平稳的VAR (p)模型，假设： (10.9)进一步可以得到：因此有： (10.10)上述公式建立了向量协方差之间的关系。10.3 向量自回归模型的极大似然估计和假设检验显然，在协方差平稳过程中，向量自回归模型是比较容易进行估计和预测的，由于Sims (1980) 做出了具有影响性的研究，使得VAR模型在进行经济系统的动态分析中变得十分流行。下面我们主要介绍没有限制条件的VAR模型的估计问题。1. 向量自回归的条件似然函数假设维向量满足阶高斯向量自回归模型： (10.11)其中是阶系数矩阵，是高斯噪声向量，满足：上述模型估计类

5、似于单变量AR模型。2. 似然比检验对于VAR模型而言，检验模型的自回归阶数的假设检验可以很容易和方便地通过似然比检验进行，此时模型的原假设和备选假设为：；： (10.12)此时的似然比统计量为：这里的s是原假设的限制参数个数，此时10.4 二元变量的Granger因果关系检验可以利用向量自回归模型处理的一个重要问题是判断一些变量在预期其他变量时是否有用。这时我们需要描述二元变量之间的关系。这种方法最早由Granger (1969) 提出，通过Sims (1972) 的应用使其流行起来。1. 二元变量Granger因果性的定义考虑两个单变量和，我们需要解决的问题是如何判断是否有助于预测。如果无

6、助于预测，我们则称对没有显著的Granger因果影响( does not Granger-cause )。我们可以更为正式地描述这样的关系：如果对所有的，基于预测的均方误差与使用和预测的均方误差是相同的，则称没有对产生Granger因果影响。如果我们仅仅考虑线性约束，则没有对产生Granger因果影响的条件为：对所有，有： (10.13) 上述表达式还有一个等价的说法，如果上式成立，则称在时间序列的意义上相对于是外生的。这样的关系还有第三种称呼，如果上式成立，则称对于未来的不具有线性信息性。最早Granger提出如此定义的原因是，如果一个事件是另外一个事件的原因的话，那么事件应该先于事件发生。

7、虽然从哲学角度这样的关系可能是对的，但是在实践中如何检验这样的关系则是艰难的。2. Granger因果性的另一种解释在描述二元变量和的VAR模型中，可以利用回归系数矩阵来说明和之间的Granger因果关系。命题10.3 如果在和的VAR模型中，对所有，系数矩阵都是下三角矩阵，即： (10.14)证明：根据整个系统的第一行可以知道，关于的最优一阶段预测仅仅依赖自身的滞后值，而不依赖的滞后值：进一步，可以得到：根据投影的叠代定律，以及数学归纳法，我们可以证明对任意超前阶段的预测都仅仅依赖。Sims(1972)给出了Granger因果关系的另外一种通俗的解释，可以归纳为下面的命题：命题10.4 考虑

8、基于的过去、现在和将来值的投影： (10.15)这里和均是母体投影系数，即满足：对所有和，则没有对产生Granger因果影响的充分必要条件为：， (10.16)这个命题说明，如果没有对产生Granger因果影响，则未来的值对解释当期的没有任何帮助。3. Granger因果性的计量检验上面我们给出了三种Granger因果关系的解释，任何一种解释都可以用来进行计量检验。其中最为简单也可能是最好的方法是在VAR模型中检验系数约束。为了进行如此检验，我们利用OLS对下述方程进行估计： (10.17)我们对下面的原假设进行F检验：这里进行F检验的一种办法是计算回归方程(10.17)的残差平方和(我们需要

9、个样本)： (10.18)在原假设成立下，我们计算下面OLS回归的残差平方和： (10.19)对应的残差平方和为： (10.20)此时定义检验统计量为： (10.21)如果该统计量大于分布的5%临界值，则我们拒绝“没有对产生Granger因果影响”的原假设；这就是说，当统计量充分大以后，我们将得“对产生Granger因果影响”的结论。显然，对于具有固定回归因子和残差高斯分布的假设下，上述统计量具有确切的F分布。但是，在自回归方程中由于解释变量具有相依性，因此这些分布性质则是渐近成立的。因此，一个等价的渐近检验统计量为： (10.22)如果该统计量大于分布的5%临界值，则我们拒绝“没有对产生Gr

10、anger因果影响”的原假设；这就是说，当统计量充分大以后，我们将得“对产生Granger因果影响”的结论。显然，还有多种Granger因果关系的检验方法，但大都不具有普遍性。4. 解释Granger因果关系检验显然，什么是“Granger因果性”与“因果关系”标准含义之间的关联，我们可以通过一些例子来加以说明。例10.1 Granger因果关系检验与前瞻性行为假设投资者在时刻t以价格购买一股股票，则在时刻该投资者可以获得红利，并以价格出售该股票。该股票的事后收益率(表示为)满足： (10.23)如果任何时期的股票预期收益率总是的话，则简单的股票价格公式可以表示为： (10.24)这个简单定价

11、公式蕴涵着有效市场假说(efficient markets hypothesis)。如果具有边界条件的话，可以得到下面公式： (10.25)按照这样的理论，则股票价格中蕴涵着未来红利现值的最优预测。如果这种预测是基于比过去红利更多的信息基础上，因为投资者试图预测红利中的变动，因此导致股票价格对红利产生Granger因果性。为了简单地说明这一点，假设： (10.26)这里和是相互独立的Gaussian白噪声，是红利的均值。假设时刻t的投资者知道的信息有和，则基于这些信息对的最优预测为： (10.27)将上述公式代入到方程(10.25)，可以得到股票价格为： (10.28)显然，在这个例子中，股票

12、价格是白噪声，因此无论以滞后股票价格或者红利价格来为基础进行预测。因此，没有任何时间序列可以对股票价格产生Granger因果影响。另一方面，我们可以从股票价格中将恢复出来：注意到中包含着中没有的关于的信息，因此股票价格将对红利产生Granger因果影响，虽然红利无法Granger影响到股票价格。股票价格和红利序列的二元VAR模型可以表示为： (10.29)很有趣的事情是，在这个例子中，变量之间的影响关系与真实关系正好相反。此时，红利变量无法对股票价格产生Granger因果性，虽然投资者对红利的察觉是股票价格的唯一确定因素；另一方面，股票价格却对红利产生了Granger因果性，虽然现实中股票的市

13、场变化对红利过程没有作用效应。一般来说，象股票和利率这些反映出前瞻性行为的时间序列，经常可以作为一些重要经济时间序列的优秀和判断或预期因子。显然，这并不意味着这些时间序列导致GNP或者通货膨胀率上升或下降。与此相反，这些序列的值反映了判断GNP或通货膨胀率变化方向的最好的市场信息。对这些时间序列的Granger因果性的检验有助于评价有效市场观点或者探讨是否市场关注或者能够预测GNP或通货膨胀，而不是用于推断因果关系的方向。例10.2 检验强经济计量外生性(Testing for Strict Econometric Exogeneity)二次世界大战后美国经济衰退大都以原油价格的急剧上涨为开始

14、的，这是不是意味着石油危机或者石油冲击是衰退的原因呢？一种可能性是这种相关性是巧合。即使生成这些时间序列的机制是互不相关的，也可能出现石油冲击与衰退在类似的时间上同时出现。为了检验这种可能性，我们检验“石油价格对GNP没有Granger因果性”，但是，数据检验拒绝了这个原假设，这意味着“石油价格有助于推断GNP的变化”。为了对这个因果关系给出真正意义上的因果关系的解释，我们需要建立这样的判断：石油价格的提高并不反映其他宏观经济因素的影响，而这些因素确实是经济衰退的真正原因。主要石油价格的提高大都伴随着显著的历史事件，例如Suez crisis (1956-1957)、Iraqs invasio

15、n of Kuwait(1990)等，显然这些事件完全有美国经济以外的因素造成的，而且是完全不可推断的。如果这个观点正确的话，那么石油价格和GNP之间的历史相关性就具有因果关系上的解释。这个观点具有一个值得批驳的启示，那就是没有时间序列能够Granger影响到石油价格，事实上，在经验研究上，很少能够找到宏观时间序列能够有助于推断石油冲击发生的时点。例10.3 缺损信息的作用(Role of Omitted Information)考虑到下面一个含有三个变量的系统方程(暂时略)。10.5 具有限制的向量自回归模型的极大似然估计我们在前面已经介绍没有限制的向量自回归模型的极大似然估计和假设检验问题

16、。在没有限制的模型中，每个方程的具有相同的解释变量，即常数项、系统中所有变量的滞后变量。虽然我们介绍了线性约束条件下如何计算Wald统计量，但是我们没有介绍如何估计具有限制性条件的VAR模型估计。下面，我们就开始介绍限制VAR模型的估计。1. 多维情形下的Granger因果性作为估计中感兴趣的限制性系统的一个例子，我们前面分析的Granger因果性的向量推广。假设向量VAR模型中的变量可以分为两组，一组是一个维向量，另一组是一个维向量，这时VAR模型可以表示为： (10.30) (10.31)这里是维向量，包含的滞后值；是维向量，包含的滞后值；具体表示为：，模型中的其余符号表示系数矩阵。模型中

17、利用变量表示的一组变量在时间序列意义上相对于利用变量表示的另外一组变量是“块外生”的(block e-exogenous)是指，中的所有元素在改进对基于所有自身滞后值进行预测方面没有任何帮助。命题10.5 如果在模型系统(10.30)-(10.31)中，矩阵，则变量相对于变量是块外生的。2. 具有限制性约束的极大似然估计此时的极大似然估计是通过限制性条件对极大似然函数的影响，通过矩阵分块运算实现的，具体内容和过程参见教科书。10.6 VAR模型的冲击反应函数 The Impulse-Response Function 与一元情形类似，协方差平稳过程可以表示为向量无限移动平均过程。因此，VAR模

18、型可以表示为向量形式： (10.32)因此，系数矩阵具有如下解释： (10.33)这个公式表明，当所有时期其余扰动都保持常数不变时，t时刻第j个变量扰动的一个单位的增加对时刻变量的影响结果可以由的第i行、第j列元素给出。如果我们同时使得的第一个元素改变、第二个元素改变、第n个元素改变，则这些变化对的综合作用效果为： (10.34)这里。我们在前面已经给出了矩阵的一些解析特征。获得这些动态反应乘数的一个简便方法是通过模拟进行计算。为了实现这种模拟，我们假设，然后假设，的其余元素都是零，然后我们在系统： (10.1)中对时期，等进行计算，其中选取，都为零。此时模拟得到的向量对应着矩阵的第j列。以此

19、类推，矩阵的所有各列都可以得到。将矩阵的第i行、第j列元素：相对于时间间隔s作图，这个函数和这个图形被称为冲击反应函数 (impulse-response function)，它表示当时刻t或之前所有变量保持不变的情形下，对于出现在中的一次性冲击(one-time)冲击的反应。那么，是否在某种意义上这种反应乘数度量了相对于的作用原因呢？上面关于Granger因果关系的讨论告诉我们要对此推断保持警觉。一种重要的改进是获得正交冲击反应函数，此时的冲击反应更为合理一些。注意到简化式误差的方差矩阵是正定矩阵，因为任何正定矩阵均可以唯一分解为： (10.35)其中是主对角线元素均为1的下三角矩阵，是主对

20、角线元素均是正值元素的对角矩阵。利用上述分解的矩阵，我们可以构造一个新的向量： (10.36)如此向量的各个分量之间是互不相关的，也可以作为结构式冲击，也就是该冲击仅仅作用在单独的变量上： (10.37)我们可以通过样本估计和模拟获得上述分解矩阵的估计。命题10.6 下述冲击反应公式成立： (10.38)其中是矩阵的第j列。上述冲击反应相对于冲击间隔s作图，则称之为正交冲击反应函数，它表示预测相对于新信息的反应。10.7 VAR模型的方差分解 Variance Decomposition 利用VAR模型的预测公式，我们可以知道预测误差为： (10.39)因此，这个s阶段超前的预测的均方误差为：

21、 (10.40)这里：假设我们具有正交误差向量，我们考虑这个正交扰动对上述方差的贡献。这里正交误差向量满足： (10.41)这里表示矩阵的第j列。注意到之间是不相关的，则有： (10.42)因此，预测的均方误差为： (10.43)具有这个表达式以后，我们可以计算第个正交扰动对这个预测误差方差的贡献为： (10.44)10.7 向量自回归和结构经济计量模型 Vector Autoregressions and Structural Econometric Models 1. 估计动态结构模型中的缺欠我们上面介绍的向量自回归模型表示n个经济变量之间的动态相关性。此时，任何关于这些变量之间可能存在的

22、理论关联都没有被使用到，因此也无法利用它检验一些经济理论关系。因此，在本节中我们考虑VAR模型与结构经济计量模型之间的联系。假设我们考虑货币需求函数，此时货币需求是收入和利率的函数，以前使用的结构模型为： (10.45)这里是公众持有的名义货币余额的对数，是累积价格水平的对数，是实际GNP的对数，是名义利率。参数和表示收入和利率对货币持有的影响效果。收入变化时，部分货币持有对此产生立即反应，部分反应发生在下一个阶段。参数体现了这种部分调整。扰动表示除了收入和利率以外影响货币需求的因素的作用。一般情形下，此时方程的估计需要假设误差具有一阶自相关性，这意味着： (10.46)这里是白噪声序列。利用

23、这个方程对方程(10.45)进行调整，可以得到： (10.47)参数之间的对应关系可以通过滞后算子运算获得。显然这个方程比原来的方程的参数多出了一个参数，现在的参数向量为。根据定义，扰动代表了研究者没有确定理论基础的影响货币需求的因素，因此，对于该扰动指定的动态结构，例如方程(10.46)，人们也没有充分的信心。例如，似乎没有清楚的理论来支持排除下面关于该扰动的假设： (10.48)还有其他一些假设，例如也可以假设与收入和利率的滞后项是相关的。利用方程(10.45)，我们可以获得货币需求相对于收入的动态乘数与货币需求相对于名义利率的动态乘数之间是成正比的： (10.49) (10.50)显然，

24、在附加这样的假设之前，一个好的主意是先检验这个假设，然后发现正确后再加以应用。这说明理论假设即使正确，也应该从数据和模型的检验中发现和确认。简而言之，形如方程(10.45) 和(10.46)的形式，人们利用经济理论对模型形式给出了一些限制，但是这些限制并没有令人满足的经济理论或者基础，因此，在使用这里简化或者限制的模型之前，最好的方法是检验更为一般的模型，看看是否从一般的模型可以推导出这样简单的形式。例如一般形式的模型可以指定为： (10.51)类似于方程(10.45)，这里的方程的指定被称为结构式方程。和表示当前收入和当前利率对预期货币持有的影响。表示除了通货膨胀、名义收入和利率以外因素对货

25、币需求的影响因素。这个方程显然多方面地推广了前面的“简化式方程”。显然，由于联立方程偏差的存在(simultaneous equations bias)，我们无法利用普通最小二乘估计估计这个方程。这个方程的OLS估计归纳了货币需求、价格水平、收入和利率之间的关联性。公众货币需求的调整是这些变量相关的一个原因，但并不是唯一原因。例如，每个阶段中央银行都会将利率调整到与政策目标相容的水平，而政策目标依赖当前和滞后的收入、利率、价格水平和货币供给： (10.52)例如，这里描述了当前价格水平对利率的作用，而利率则是重要银行试图达到的政策目标。扰动描述了除了解释变量以外的政策变化的因素。如果货币需求扰

26、动异乎寻常地大，则导致也异乎寻常地大，如果，则导致也异乎寻常地大，在这种情形下，将出现与方程中的解释变量正相关的现象，这意味着无法使用OLS估计方程。显然，无论是中央银行政策还是的内生性，并不是导致联立方程偏差的唯一原因。货币需求扰动和中央银行的政策变化也对累积产出和价格水平产生影响，因此方程中的产出和价格也是内生的。例如，产出方程可以表示为： (10.53)这里代表影响累积需求的其他因素。上述解释的最终结论是，在结构式方程中，所有当期解释变量都应该被当作是内生的。2. 动态结构方程与VAR模型之间的联系上述解释的例子可以表示成为下面的向量形式： (10.54)这里：，在这样的假设下，我们可以

27、假设滞后阶数足够大，以至于误差满足白噪声过程。如果不是这样，假设误差过程服从自回归形式： (10.55)这样在原来方程两段乘以上述滞后算子多项式，就可以得到一个残差过程服从白噪声的阶的自回归过程。对结构式方程两端乘以，可以得到： (10.56)这里：，如果假设结构式方程充分参数化以后，则误差向量是向量白噪声过程，因此对应地，也是向量白噪声过程。结论：VAR模型可以被认为是一般动态结构结构模型的简化式方程。3. 解释冲击反应函数我们前面已经计算出冲击反应函数为：，这个冲击反应函数度量了发生在一个变量上的扰动对系统中其他变量未来取值的影响。按照模型结构式与简化式之间的关系，VAR模型中的扰动是结构式扰动的线性组合。例如，它可能是如下形式：在这种情况下，如果公众持有的现金大于使用VAR模型预测的水平(是正的)，这可能是因为公众对现金需求比通常情形下高，其原因是它与当前的收入和利率水平相关(也即是正的)；还有其他一些原因导致误差之间的线性关联。与此对应，如果我们能够计算：，这个函数数值将具有更为明确的意义。如果中央银行开始比正常情形紧缩信贷，则这个数值度量了经济的动态反应结果，这个函数也是度量货币政策对经济运行影响的重要指标。前面我们已经讨论过正交冲击反应函数。对于，我们能够找