参量根轨迹和基于根轨迹法的系统性能分析

1、参量根轨迹 上一节讨论了开环根轨迹增益上一节讨论了开环根轨迹增益 变化时系统的闭环根变化时系统的闭环根轨迹。在实际系统设计中，还常常碰到其它参数变化时对轨迹。在实际系统设计中，还常常碰到其它参数变化时对闭环特征方程的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正闭环特征方程的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正环节的参数等。环节的参数等。gK 需要绘制除需要绘制除Kg以外的其它参数变化时闭环系统特征方以外的其它参数变化时闭环系统特征方程根的轨迹，就是程根的轨迹，就是参量根轨迹参量根轨迹。)(pssKg-)(sR)(sC 解解 ：闭环传递函数为：闭环传递函数为：44)(22pssKpssKsgg例：如下图

2、绘制开环极点例：如下图绘制开环极点 p 变化时的参量根轨迹（设变化时的参量根轨迹（设Kg= 4= 4）特征方程为：特征方程为：140422ssppss1)()(11njjmiigpszsK此式与前述的根轨迹方程形式此式与前述的根轨迹方程形式 完全相同。完全相同。4.4.实轴上根轨迹为负实轴；实轴上根轨迹为负实轴；2.2.根轨迹的根轨迹的起点和起点和终点：终点：起点为起点为2j2j，终点一为，终点一为0 0的零点，另一为无穷远零点。的零点，另一为无穷远零点。 相当于开环传递函数，称为等效开环传递函数。参数相当于开环传递函数，称为等效开环传递函数。参数 p p 称为称为42ssp等效根轨迹增益。画

3、出等效根轨迹增益。画出 p 从从0时的根轨迹如下：时的根轨迹如下：1.1.根轨迹分支数：根轨迹分支数： 两条根轨迹。两条根轨迹。2,n 3.3.渐近线渐近线1 1条条: :与实轴交点为与实轴交点为0 0，夹角，夹角180180O O。ssDssDsNssN2)(4)(1)()(2，；，2121 (4)20sssss ，解得：2,2(舍去)会合角为：会合角为： 。2d对应对应 p = 4。由二阶系统特征方程可见：由二阶系统特征方程可见： ，解得，解得即即 时时 ，这对应于欠阻尼情况。，这对应于欠阻尼情况。np242ppn1040 p5. 分离点和会合点：分离点和会合点：0)()()()(sDsN

4、sDsN根据6. 出射角：出射角：)2()22(1极点j)2()22(2极点j（2( )( )4sN sppD ss由根轨迹可见在复平面上的根轨迹是半个圆，对应由根轨迹可见在复平面上的根轨迹是半个圆，对应0 p 11时，表示实极点远离虚轴，共轭复极点离虚轴近，系统的瞬态特时，表示实极点远离虚轴，共轭复极点离虚轴近，系统的瞬态特性主要由共轭复极点决定，呈二阶系统的特性，即系统的特性由二阶系统性主要由共轭复极点决定，呈二阶系统的特性，即系统的特性由二阶系统的特征参数的特征参数 和和 n n 决定。决定。当当11时，表示实极点离虚轴近，共轭复极点离虚轴远，系统的瞬态特时，表示实极点离虚轴近，共轭复极

5、点离虚轴远，系统的瞬态特性主要由实极点决定，呈一阶系统的特性。性主要由实极点决定，呈一阶系统的特性。一般情况下三阶系统的阶跃响应与实极点和共轭复极点的相对位置有关。一般情况下三阶系统的阶跃响应与实极点和共轭复极点的相对位置有关。表示实极点和共轭复极点的相对位置。表示实极点和共轭复极点的相对位置。np32p1p3p021n21nn) 1)(2()(222Tssssnnn讨论讨论 *=0，此时闭环极点为等效开环极点，此时闭环极点为等效开环极点，即即5.4、0.3j1.292，此时，此时=5.4/0.3=18，可看作二阶系统。，可看作二阶系统。=0.226，%=48.2%，ts=10s *=5.37

6、5，此时闭环极点为，此时闭环极点为4、1j1.17，此时，此时=4/1=4，若看，若看作二阶系统则：作二阶系统则：=0.65，%=6.8%，ts=3s *=7.75，此时闭环极点为，此时闭环极点为2、2j0.866，此时，此时=2/2=1，已不能看作，已不能看作二阶系统。二阶系统。 *=9.5，此时闭环极点为，此时闭环极点为1、2.5j1.8，此时可看作一阶系统。，此时可看作一阶系统。-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1012345)1 (5 . 9)5)(1(5 . 9)(sssssnp3当系统有两个参数变化时，所绘出的根轨迹称为当系统有两个参数变化时，所绘出的根轨迹称为根轨迹簇根轨迹簇

7、。例例4-13系统如下。试绘制系统如下。试绘制Kg和和p分别从零变化到无穷大时的根轨迹。分别从零变化到无穷大时的根轨迹。)(pssKg-)(sR)(sC解解：有两种方法：有两种方法：1. 取取 Kg 为不同值时，绘制参量为不同值时，绘制参量 p 从零变化到无穷大时的参量根轨迹。这时，从零变化到无穷大时的参量根轨迹。这时，根轨迹方程为：根轨迹方程为：12gKssp Kg 不同时的根轨迹如下页所示：不同时的根轨迹如下页所示：1gK4gK9gK16gK12gKssp2. 取取 p 为不同值时，绘制参量为不同值时，绘制参量 Kg 从零变化到无穷大时的从零变化到无穷大时的180度（常规）根轨度（常规）根

8、轨迹。这时，根轨迹方程为：迹。这时，根轨迹方程为：1)(1 pssKgp 不同时的根轨迹如不同时的根轨迹如右所示：右所示：0p2p4p6p14基于根轨迹法的系统 性能分析 利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正v 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；v 分析参数变化对系统稳定性的影响；v 分析系统的瞬态和稳态性能；v 根据性能要求确定系统的参数；v 对系统进行校正。一、一、 条件稳定系统的分析条件稳定系统的分析 例例4-14：设开环系统传递函数为：设开环系统传递函数为：) 14 . 1)(6)(4() 42()(22sssssssKsGg

9、k试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时 的取值范围。的取值范围。gK开环极点：开环极点：0,4,6,0.7j0.714；零点：；零点：1j1.7324）实轴上根轨迹区间）实轴上根轨迹区间： 0 , 4,6,(3）3条渐近线：与实轴的交点：条渐近线：与实轴的交点：()()461.423.133iipznm (21),3knm 倾角：倾角：解：根据绘制根轨迹的步骤，可得：解：根据绘制根轨迹的步骤，可得：046224241）5 条渐近线条渐近线2）起点和终点：）起点和终点：5）分离会合点：）分离会合点：22)(42)(2ssNsssN，ssssssD246 .43

10、394 .11)(2345242 .871176 .455)(234sssssD用用Matlab可算出分离点可算出分离点s=2.3557 ; 另一实根为另一实根为5.1108(舍舍)。分离角：分离角：2d 22(24)( )(4)(6)(1.41)ggkKssK N sG sD ss ssss65432( )( )( )( )330.8127.4338.4531.2348.8960N s D sN s D sssssss由图可知：当由图可知：当 和和 时，系统是时，系统是稳定的；稳定的； 6 .150gK6 .1635 .67gK画出根轨迹如图所示，该图是用画出根轨迹如图所示，该图是用Matl

11、ab工具绘制的。工具绘制的。6）出射角：）出射角： ，入射角：，入射角：55c103r7）与虚轴的交点和对应的增益值：）与虚轴的交点和对应的增益值：6 .1635 .676 .15gpk755. 3151. 2213. 15 .676 .156 .163ggKK和当当时，系统是不稳定的。时，系统是不稳定的。这种情况称为这种情况称为条件稳定系统。条件稳定系统。6 .15213. 1gK5 .67151. 2gK6 .163755. 3gK6 .155 .676 .163条件稳定系统：条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这样的系统叫做这样的系统

12、叫做条件稳定系统条件稳定系统。v 具有正反馈的环节。具有正反馈的环节。 下面的系统就是条件稳定系统的例子：下面的系统就是条件稳定系统的例子：v 开环非最小相位系统（开环非最小相位系统（P260），其闭环系统的根轨迹必然），其闭环系统的根轨迹必然有一部分在有一部分在s的右半平面；的右半平面； 条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实际上，应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳际上，应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳定问题。定问题。 适当调整系统的参数或在系统中增加合适的校正网络，可以消除条件适当调整系统的参数或在系统中增

13、加合适的校正网络，可以消除条件稳定性问题。比如在系统的开环传递函数中增加一个零点，即增加一个比稳定性问题。比如在系统的开环传递函数中增加一个零点，即增加一个比例微分环节，通常可使根轨迹向左方弯曲。在上例中，如果增加一个零点例微分环节，通常可使根轨迹向左方弯曲。在上例中，如果增加一个零点2，则开环传递函数成为，则开环传递函数成为 ) 14 . 1)(6)(4()2)(42()(22ssssssssksGgk根轨迹为：根轨迹为： 从稳定的角度看，开环系统增加了从稳定的角度看，开环系统增加了零点后，不论根轨迹增益取何值，闭环零点后，不论根轨迹增益取何值，闭环系统都是稳定的。至于增加零点后闭环系统都是

14、稳定的。至于增加零点后闭环系统其它性能指标的变化情况，要视具系统其它性能指标的变化情况，要视具体情况而定。体情况而定。例例非最小相位系统：非最小相位系统： ，试确定使系统稳定时的，试确定使系统稳定时的增益值。增益值。)2)(1()(ssksGgk解解：根轨迹如右：根轨迹如右：有闭环极点在右半平面，有闭环极点在右半平面，系统是不稳定的。显然稳系统是不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的定临界点在原点。该点的增益临界值为增益临界值为 。gpk022gkss所以，系统稳定的条件是：所以，系统稳定的条件是：2gpk闭环特征方程为：闭环特征方程为：2gk当当s=0时，时，二、瞬态性能分析和开环系统参数的

15、确定二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。以二阶系统为例：开环传递函数为以二阶系统为例：开环传递函数为)2()(2sssGnk闭环传递函数为闭环传递函数为2222)(nnnsss共轭极点为：共轭极点为：nnjs22, 11在在s平面上的分布如右图：平面上的分布如右图：nnj21闭环极点的张角闭环极点的张角 为：为：1222cos,)()1(cosnnn所以所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线

16、。称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。 闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：闭环极点的关系如下：%100%100%21ctgee)(33为极点实部nst若闭环极点落在下图中红线包围的区域若闭环极点落在下图中红线包围的区域中，有：中，有：3%sctgte和nnj21 的关系如下图的关系如下图和%0306090020406080100%上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：例例单位反馈系统的开环传递函数为：单位反馈系统的开环传递函数

17、为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 ，试确定开环放大系数。，试确定开环放大系数。)6)(4()(sssKsGgk%18% AB当当 时，时，闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。 240gK根据计算知道：根轨迹与根据计算知道：根轨迹与虚轴的交点为虚轴的交点为 ，这时的临界增益为这时的临界增益为240gpK24解：首先画出根轨迹如图。解：首先画出根轨迹如图。下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：%,100%ctge当当 时，解得：时，解得： %18% 37.61 这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着这是一个三阶系统，从根轨迹上看

18、出，随着 的增加，主导极的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。gK60 在根轨迹图上画两条与实轴夹角为在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨迹交于的直线，与根轨迹交于A、B两点。两点。 则则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量小于小于18%。通过求。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益 ，进而求得开环放大系数进而求得开环放大系数 K 。gK046A123j设设A点坐标为：点坐标为： ，则：，则：j360 tg （1

19、）相角条件为：相角条件为：1803211806412011tgtg （2）由由(1)，(2)式解得：式解得：1 . 2, 2 . 1共轭主导极点为：共轭主导极点为： 。1 . 22 . 12 , 1jsnjjmiiksTsKsG11) 1() 1()(开环传递函数以开环传递函数以 的形式表示时，的形式表示时，K 称为开环放大系数。称为开环放大系数。显然显然 的关系为：的关系为： ，式中，式中 不计为不计为 0 极点。极点。gKK与jigpzKKjp所以，开环放大系数：所以，开环放大系数：824. 164776.43K 由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点：由于闭环极点之和等于开

20、环极点之和，所以另一个闭环极点： 。该极点是共轭复极点实部的该极点是共轭复极点实部的 6 倍多。倍多。6 . 73s解得：解得：776.43gKjsx1 . 22 . 12 . 1，0324320024208223xxKxxxg实部方程实部方程虚部方程虚部方程也可令也可令xjxs3代入特征方程代入特征方程0241023gKsss例：单位反馈系统的开环传递函数为例：单位反馈系统的开环传递函数为22)4() 1()(ssKsGgk画出根轨迹画出根轨迹能否通过选择能否通过选择 Kg 满足最大超调量满足最大超调量 %5% 的要求？的要求？能否通过选择能否通过选择 Kg 满足调节时间满足调节时间 ts2 秒的要求？秒的要求？能否通过选择能否通过选择 Kg 满足位置误差系数满足位置误差系数 Kp10 的要求？的要求？解：画根轨迹解：画根轨迹实轴无根轨