圆形磁场中的几个典型问题

1、精品文档圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错 常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明一、最值问题的解题关键抓弦长1求最长时间的问题-2m 的圆形区域内，有一磁感应强例 1 真空中半径为 R=3× 10度为 B=0.2T 的匀强磁场，方向如图1 所示一带正电的粒子以初速度 v0=106m / s从磁场边界上直径ab 一端 a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大， 其

2、入射时粒子初速度的方向应如何？ （以 v 0与Oa 的夹角表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化， 同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化， 因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大2 求最小面积的问题例 2 一带电质点的质量为 m，电量为 q，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射人如图 3 所示第一象限的区域为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 x 轴的速度 v 射出，可在适当的地方加一个垂直于 x

3、oy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计小结：这是一个需要逆向思维的问题， 而且同时考查了空间想象能力， 即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置 解决此类问题时， 要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长二、汇聚发散问题的解题关键抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一： 带电粒子从圆形有界磁场

4、边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等， 则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二： 平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。1欢迎下载精品文档例 3 如图 5 所示， x 轴正方向水平向右， y 轴正方向竖直向上在半径为 R 的圆形区域内加一与 xoy 平面垂直的匀强磁场 在坐标原点 O 处放置一带电微粒发射装置， 它可以连续不断地发射具有相同质量m 、电荷量 q ( q > 0）且初速为v0 的带电粒子，不计重力 调节坐

5、标原点O 处的带电微粒发射装置，使其在 xoy 平面内不断地以相同速率v0 沿不同方向将这种带电微粒射入x 轴上方，现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向射出， 则带电微粒的速度必须满足什么条件？小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时， 要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径， 建立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题3. 如图甲所示， x 轴正方向水平向右， y 轴正方向竖直向上。在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆形区域内加有与xoy 平面垂直的匀强磁场。在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量 q（）和初速为的带电粒

6、子。已知重力加速度大小为g。（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y 轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场， 并继续沿 x 轴正方向运动。 求电场强度和磁感应强度的大小和方向。（2）调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在 xoy 平面内不断地以相同速率v0 沿不同方向将这种带电微粒射入第1 象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动， 则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域?并求出符合条件的磁场区域的最小面积。答案。2欢迎下载精品文档三、边界交点问题的解题关键 抓轨迹方程例 4 如图 7

7、所示，在 xoy 平面内 x 0 区域中，有一半圆形匀强磁场区域，圆心为O ，半径为R =0.10m ，磁感应强度大小为B=0.5T ，磁场方向垂直xoy 平面向里 有一线状粒子源放在y轴左侧（图中未画出） ，并不断沿平行于x 轴正方向释放出电荷量为q=+1.6×10-19 C ，初速度 v 0= 1.6 × 106m/ s 的粒子，粒子的质量为m =1.0×10- 26kg ，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：从y轴任意位置（ 0， y）入射的粒子离开磁场时的坐标点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法。3欢迎下载精品文档相结合的物理模型，

8、本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点， 是对初等数学的抽象运用，能较好的提高学生思维四、周期性问题的解题关键寻找圆心角1 粒子周期性运动的问题例 5如图 9所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R 的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B 现有一质量为m 、电荷量为 q的带正电粒子 （不计重力） 从 A 点沿 aA 方向射出求：（ 1）若方向向外的磁场范围足够大， 离子自 A 点射出后在两个磁场不断地飞进飞出，最后又返回 A 点，求返回 A 点的最短时间及对应的速度（ 2）若向外的磁场是有界的，分布在以O 点为圆心、半径为 R 和 2R 的两半圆环之间的区域，上述

9、粒子仍从A点沿 QA 方向射出且粒子仍能返回A点，求其返回A点的最短时间2磁场发生周期性变化例 6 如图 12 所示，在地面上方的真空室内，两块正对的平行金属板水平放置在两板之间有一匀强电场，场强按如图13所示规律变化（沿y轴方向为正方向）在两板正中间有一圆形匀强磁场区域，磁感应强度按图14所示规律变化，如果建立如图12所示的坐标系，在t=0时刻有一质量m=9.0 × 10-9 kg 、电荷量 q =9.0× 10-6 C 的带正电的小球，以 v0=1m / s 的初速度沿 y 轴方向从 O 点射入，分析小球在磁场中的运动并确定小球在匀强磁场中的运动时间及离开时的位置坐标小

10、结：对于周期性问题， 因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆， 所以要充分利用圆的对称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性五、磁场问题的规律前面分析的六个典型例题， 其物理情景各异， 繁简不同， 但解题思路和方法却有以下四个共同点（ 1）物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动（ 2）物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学规律列方程求解（ 3）数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量（ 4）解题关键相同：一是由题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应圆心角关系； 三是确定半径和周期， 构建合适的三角形或平行四边形， 再运用解析几何知识

11、求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题【同步练习】1 如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场， MN是一竖直放置的感光板从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大。4欢迎下载精品文档量的带正电，电荷量为q，质量为 m，速度为 v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（） DA只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D只要速度满足 vqBR ，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2 如图所示，长方形

12、abcd 的长 ad=0.6m，宽 ab=0.3m，O、 e分别是 ad、bc 的中点，以 e为圆心 eb 为半径的四分之一圆弧和以O为圆心 Od 为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场( 边界上无磁场 ) 磁感应强度0.25T 。一群不计重力、质量m=3×10-7 kg、B=电荷量 q=+2×10-3 C的带正电粒子以速度v=5×102m/s 沿垂直 ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）CDA从 Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B从 aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边C从 Od边射入的粒子，出射点分布在ab

13、 边D从 ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点3、一质量为、带电量为的粒子以速度从 O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1 所示（粒子重力忽略不计）。试求：（ 1）圆形磁场区的最小面积；（ 2）粒子从 O点进入磁场区到达点所经历的时间；（ 3） 点的坐标。解：（ 1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径由图可知，。5欢迎下载精品文档磁场区域最小半径磁场区域最小面积（ 2）粒子从O至 a 做匀速圆周运动的时间，从 a 飞出磁场后做匀速直线运动（ 3）故 b 点的坐标为（， 0）4、在

14、xoy 平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于平面向内、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。6欢迎下载精品文档5如图所示，在坐标系xoy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O1（ a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a 的上方和直线 x=2a 的左侧区域内，有一沿 x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为 m、电荷量为 +q（ q>0）的粒子以速度v 从 O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从1 点正上方的A

15、 点射出磁O场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度 B的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v 从 O点垂直于磁场方向、并与 x 轴正方向夹角=300 射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间 t 。解：（ 1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R，牛顿第二定律有粒子自 A 点射出，由几何知识解得（ 2）粒子从 A 点向上在电场中做匀减运动，设在电场中减速的距离为y1得。7欢迎下载精品文档所以在电场中最高点的坐标为（a，）（ 3）粒子在磁场中做圆运动的周期粒子从磁场中的P 点射出，因磁场圆和粒

16、子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2 构成菱形，故粒子从P 点的出射方向与 y 轴平行，粒子由O到 P 所对应的圆心角为1=60°由几何知识可知，粒子由P 点到 x 轴的距离S=acos粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间粒子由 P 点第 2 次进入磁场，由 Q点射出， PO1QO3构成菱形，由几何知识可知 Q点在 x 轴上，粒子由 P到 Q 的偏向角为 2=120°则粒子先后在磁场中运动的总时间粒子在场区之间做匀速运动的时间解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间【答案】。8欢迎下载精品文档（ 1）；（ 2）；（ 3）；（4）轨迹如图。【解析】（ 1）由题意可得粒子在

17、磁场中的轨迹半径为r=a（1 分）（ 2 分）（ 1 分）（ 2）所有粒子在电场中做类平抛运动（1 分）从 O点射出的沿 x 轴正向的粒子打在屏上最低点（ 1 分）（ 1 分）从 O点沿 y 轴正向射出的粒子打在屏上最高点（ 1 分）。9欢迎下载精品文档（1 分）所以粒子打在荧光屏上的范围为（1 分）（ 3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场时：（ 2 分）粒子进电场后做匀减速运动，在上升阶段有：（ 2 分）（ 1 分）所以在电场中最远坐标为） （1分）。10欢迎下载精品文档因为粒子的轨迹半径与磁场的边界半径相等，粒子返回磁场后射入点和射出点与轨迹圆心及磁场的边界圆心的连线构成棱形。所以最后射

18、出磁场的坐标为 （ 2a,0 ） （2分）(4) 可以加一个匀强磁场或者两个方向不同的匀强电场方向如图，大小与已知条件相同（ 2分 ）轨迹如图所示（ 2 分）6 如图所示的直角坐标系中，从直线x=- 2l 0 到 y 轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中 x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向， x 轴下方的电场方向沿 y 轴正方向。在电场左边界从A（ - 2l 0，- l 0 ）点到 C（ - 2l 0， 0）点区域内，连续分布着电量为+q、质量为 m的粒子。从某时刻起， A点到 C点间的粒子依次连续以相同速度v沿 x 轴正方向射入电场。 从 A点射入的粒子恰好从y 轴上的 A0

19、（ 0，- l 0）点沿沿 x 轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。（1）求从 AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t 和匀强电场的电场强度E 的大小。（2）求在 A、 C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动？（3）为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线=2l上的某点为圆心的圆x0。11欢迎下载精品文档形磁场区域内， 设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿 x 轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后， 都能通过 x=2l 0 与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？解析：（ 1）从 A 点射

20、出的粒子， 由 A 到 A的运动时间为T，根据运动轨迹和对称性可得：x 轴方向(2 分)y 轴方向(2 分)解得：（2 分） 设到 C 点距离为 y 处射出的粒子通过电场后也沿x 轴正方向，粒子第一次达x轴用时 t ，水平位移为 x，则（1分）粒子从电场射出时的速度方向也将沿x 轴正方向，则（2 分）解之得：（2 分）即 AC间 y 坐标为（n = 1 ，2，3， ） （1 分）7如图所示， 在 xoy 坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r =0.1m 的圆形磁场区域， 磁感应强度1=1 ，方向垂直纸面向里，该区域同时与BTx 轴、 y 轴相切，切点分别为A、 C；第四象限中，由

21、y 轴、抛物线 （2，单位： ）和直线（，FGy10 x x0.025y x 0.425mDH单位： m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5 N/ C的匀强电场；以及直线右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场DH。12欢迎下载精品文档B2=0.5 T。现有大量质量m=1×10-6kg（重力不计），电量大小为q=2×10-4C，速率均为 20m/s的带负电的粒子从 A 处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y 轴夹角在0 至 1800 之间。（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证明这些粒子经过x 轴时速度方向均与 x 轴垂直；（3）通过计算说明这些粒子会经

22、过y 轴上的同一点，并求出该点坐标。设其从 K 点离开磁场， O1 和O2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此 O1AO2K为菱形，离开磁场时速度垂直于O2K，即垂直于x 轴，得证。（ 6 分）（ 3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x,y1 ）, 离开电场时的坐标为（x,y2 ）, 离开电场时速度为v2，在 B2 磁场区域做圆周运动的半径为R2. 有因 v2 的方向与 DH成 45o，且半径刚好为 x 坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在 y 轴上，在此磁场中恰好经过四分之一圆周，并且刚好到达 H 处，H 点坐标为（ 0， -0.425 ）。（ 3 分8

23、如图所示， 半圆有界匀强磁场的圆心1在x轴上，1 距离等于半圆磁场的半径，磁感应OOO强度大小为 B1。虚线 MN平行 x 轴且与半圆相切于P 点。在 MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿 x 轴负向，磁场磁感应强度大小为 B2。B1，B2 方向均垂直纸面， 方向如图所示。 有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第 I 象限，其中沿 x 轴正方向进入磁场的粒子经过 P 点射入 MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为 m，电荷量为 q（粒子重力不计） 。求：（ 1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。（ 2）若撤去磁场 B2，则经过 P 点射入

24、电场的粒子从 y 轴出电场时的坐标。（ 3）试证明：题中所有从原点O进入第 I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。（ 1）(2)（ 3）见解析24.（ 1）（2 分）。13欢迎下载精品文档（2 分）由题意知粒子在磁场B1 中圆周运动半径与该磁场半径相同，（2 分）得（2 分）（ 2）在电场中粒子做类平抛运动：（ 2 分）（ 3 分）（2 分）（ 3）证明：设从O点入射的任一粒子进入B1 磁场时，速度方向与x 轴成角，粒子出B1 磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2 Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与 OO1平行。所以从Q点出磁场速度与O2

25、Q垂直，即与x 轴垂直，所以垂直进入MN边界。进入正交电磁场 E、B2 中都有故做直线运动。（5 分）9 如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy 内，存在着两个边长为 L 的正方形匀强电场区域 、 和两个直径为L 的圆形磁场区域 、 。电场的场强大小均为E，区域 的场强方向沿 x 轴正方向， 其下边界在x 轴上， 右边界刚好与区域 的边界相切； 区域 的场强方向沿y 轴正方向， 其上边界在x 轴上， 左边界刚好与刚好。14欢迎下载精品文档与区域 的边界相切。 磁场的磁感应强度大小均为22mE ，区域 的圆心坐标为 （ 0， L ）、qL2磁场方向垂直于xOy平面向外；区域 的圆心坐标为（0，L

26、xOy平面）、磁场方向垂直于2向里。两个质量均为m、电荷量均为 q 的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为（3 L ，2L ）、（3 L ，23 L ）的两点。在x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感224光板，板面垂直于xOy平面。将粒子M、 N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：（ 1）粒子离开电场 时的速度大小。（ 2）粒子 M击中感光板的位置坐标。（ 3）粒子 N在磁场中运动的时间。15欢迎下载精品文档10一质量为m、电荷量为 +q 的粒子以速度，从 O点沿 y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出

27、磁场区域后，从b 处穿过 x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x 轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b 点正下方的c 点，如图所示，粒子的重力不计，试求：（ 1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（ 2）c 点到 b 点的距离。(1)(2)11 如图甲所示 , 质量=8.0 ×10- 25kg，电荷量=1.6 ×10- 15Cmq的带正电粒子从坐标原点O处沿 xOy平面射入第一象限内，且在与 x 方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0=2.0 ×107m/s。现

28、在某一区域内加一垂直于 xOy平面向里的匀强磁场, 磁感应强度大小B=0.1T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏MN上 , 并且当把荧光屏 MN向左移动时， 屏上光斑长度和位置保持不变。( =3.14)求：（ 1）粒子从 y 轴穿过的范围。（ 2）荧光屏上光斑的长度。（ 3）从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差。（ 4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。(1) 0-R (2)=(1+)R (3) t=（+0. 5 ）×10-8 S(4)。16欢迎下载精品文档解析 : 设磁场中运动的半径为R，牛顿第二定律得：解得 R=0.1m(2 分)当把荧光屏 MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变, 说明电子出射方向平行，都沿 -x 方向，所加磁场为圆形，半径为R=0.1。(1 分)(1) 电子从 y 轴穿过的范围 :初速度沿 y 轴正方向的粒子直接过y 轴(1 分)速度方向在与 x 方向成300的