直线与平面的夹角

1、3.2.3直线与平面的夹角学习目标：1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角(重点、难点)自 主 预 习·探 新 知1直线和平面所成的角思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？提示不是直线和平面的夹角为.2最小角定理基础自测1思考辨析(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角()(2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角()(3)直线与平面的夹角的范围是0°，90°()提示(1) ×角的度数还可以是零度(2)(3)2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，

2、n，则直线l与平面所成的角为()A30° B60°C120° D150°A由cosm，n，得m，n120°直线l与平面所成的角为|90°120°|30°.3如图3­2­19所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为()【导学号：33242296】图3­2­19A B C DB以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E

3、，所以(1,1,0)，易得平面BDE的法向量n(1，1,2)，而(0，1,1)，cosn，n，.直线A1B与平面BDE所成角为.合 作 探 究·攻 重 难用向量求直线与平面所成的角已知三棱锥P­ABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别是PB，BC的中点图3­2­20(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成的角的大小思路探究建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算，的数量积，证明(1)；求出平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求得线面角解如图，设PA1，以A为原点，直线AB，AC，AP

4、分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.(1)证明：，因为·00，所以CMSN.(2)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量由a·0，a·0，得令x2，得a(2,1，2)，|cosa，|，SN与平面CMN所成角为45°.规律方法用向量法求线面角的步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为，则sin .跟踪训练1如图3­2­21所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的

5、一点，CPm，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.图3­2­21解建立如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，所以(1，1,0)，(0,0,1)，(1,1，m)，(1,1,0)，又由·0，·0，知为平面BB1D1D的一个法向量，设AP与平面BB1D1D所成的角为.则sin .cos ，依题意3，解得m，故当m时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.用定义法解决直线与平面的夹角问题探究问题1用定义法求直线与平面

6、夹角的关键是什么？提示寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影2定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？提示若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小如图3­2­22所示，在三棱锥P­ABC中，PA平面ABC，PAAB，ABC60°，BCA90°.图3­2

7、3;22(1)求证：BC平面PAC；(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值【导学号：33242297】思路探究(1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直(2)作出AD在平面PAC内的射影后，构造三角形求解解(1)因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.又BCA90°，所以ACBC，又AC平面PAC，PA平面PAC，PAACA，所以BC平面PAC.(2)取PC的中点E，连接DE.因D为PB的中点，所以DEBC，所以DE平面PAC.连接AE，AD，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以DAE是直线AD与平面PAC的夹角设PAABa，在直角三角形ABC中因为

8、ABC60°，BCA90°，所以BC，DE，在直角三角形ABP中，ADa，所以sinDAE.母题探究：1.(改变问法)若典例条件不变，问题(2)改为：D为PB上的一点，且BDPB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值解由已知BCAC，BCPA，ACPAA，所以BC平面PAC，BCPC，过PB的三等分点D作DEBC，则DE平面PAC，连接AE，AD，则DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PAAB1，因为ABC60°，所以BC，DE×，PB，BD.在ABD中AD2AB2BD22AB·BD·cos 45°，AD，所以sinDAE.即

9、AD与平面PAC夹角的正弦值为.2(改变问法)若典例的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值，结果如何？解由(1)知BC平面PAC，所以平面PAC平面PBC.过A作AEPC.所以AE平面PBC.连接ED，则ADE为AD与平面PBC的夹角设PA2a，AB2a，所以PB2a.故ADa.在APC中AP2a，ACAB·sin 60°2a×a，所以PCa，设ACP，则AEAC·sin AC×a×aa，所以sinADE.即AD与平面PBC夹角的正弦值为.规律方法作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确

10、定射影，找到要求的角.其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”.运用公式cos cos 1·cos 2求直线与平面所成的角BOC在平面内，OA是平面的一条斜线，若AOBAOC60°，OAOBOCa，BCa，求OA与平面所成的角. 【导学号：33242298】思路探究根据定义或cos cos 1·cos 2求解解法一：OAOBOCa，AOBAOC60°，ABACa.又BCa，AB2AC2BC2.ABC为等腰直角三角形同理BOC也为等腰直角三角形取BC中点为H，连接AH，OH，AHa，OHa，AOa，AH2OH2AO2.AHO为等腰直角三角

11、形AHOH.又AHBC，OHBCH，AH平面.OH为AO在平面内的射影，AOH为OA与平面所成的角在RtAOH中，sinAOH.AOH45°.OA与平面所成的角为45°.法二：AOBAOC60°，OA在内的射影为BOC的平分线，作BOC的平分线OH交BC于H.又OBOCa，BCa，BOC90°.故BOH45°，由公式cos cos 1·cos 2，得cosAOH，OA与平面所成的角为45°.规律方法求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角在本例中，也可以直接作AHBC于H，进而证明A

12、H平面，从而证明H是点A在平面内的射影解法二则灵活应用公式cos cos 1·cos 2求线面角，也是常用的方法跟踪训练2如图3­2­23所示，四棱锥P­ABCD中，ABCD是正方形，PD平面ABCD.若PBC60°，求直线PB与平面ABCD所成的角.图3­2­23解由题意得CBD45°，PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角.cosPBCcos ·cosCBD，PBC60°.即cos 60°cos ·cos 45°，cos ，45°.当 堂 达 标&#

13、183;固 双 基1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面所成的角等于()【导学号：33242299】A120°B60°C30°D以上均错C设直线l与平面所成的角为，则sin |cos 120°|，又0<90°，30°.2若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()AB C DD由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l、a为异面直线，则所成角的最大值为. 3正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A B C DC取BC中点M，连接AM，OM，易知OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sinOAM.4若平面的一个法向量n(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a(1,2,3)，则l与所成角的正弦值为_. 【导学号：33242300】cosa，n，所以l与平面所成角的正弦值为.5如图3­2­24所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1