高等数学格林公式

1、1、连通区域、连通区域是是连连通通区区域域：D全全内任意两点都可以用完内任意两点都可以用完D的的折折线线连连接接起起来来。属属于于 D域域：单单连连通通区区域域和和复复连连通通区区所所围围成成的的区区域域内内的的任任一一条条封封闭闭曲曲线线若若包包含含于于CDDDDD为为单单连连通通区区域域，否否则则称称，则则称称都都包包含含于于 为为复复连连通通区区域域。DD.D的的方方向向、连连通通区区域域的的边边界界D 2由由一一条条封封闭闭曲曲线线构构成成；单单连连通通区区域域的的边边界界D 由由两两条条或或两两条条以以上上封封闭闭复复连连通通区区域域的的边边界界D 曲曲线线构构成成。的的正正方方向向

2、的的规规定定：连连通通域域 D 的的方方向向行行当当观观察察着着沿沿 D 的的走走时时，观观察察者者附附近近的的D。内内部部总总在在观观察察者者的的左左侧侧D定理定理1 1)()(,),(21xyxbxayxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐标轴的直线和坐标轴的直线和L至至多交于两点多交于两点.)()(,),(21yxydycyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(

3、),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx BA=)()(, 12yyyxQdydc dcdyyyQyyQ),(),(12 ,),(:1yyyxEAC 曲线曲线 ,),(:2yyyxCBE 曲曲线线 若若区区域域D由由按按段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线围围成成. .如如图图, ,证明证明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1D, ,2D, ,3D. .

4、321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLLGD3L2LFCE1LAB证明证明(3)(3) 若区域不止由一条闭曲若区域不止由一条闭曲线所围成线所围成. .添加直线段添加直线段ABAB, ,CECE. .则则D的边界曲线由的边界曲线由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA构成构成. .由由(2)知知 Ddx

5、dyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLL便便于于记记忆忆形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.注：注：导数连续，公式都成立导数连续，公式都成立域，只要偏域，只要偏是单连通域还是复连通是单连通域还是复连通不管不管D)1(为反向，则为反向，则为闭曲线且取正向，若为闭曲线且取正向，若必须是闭区域，必须是闭区域，LLD)2(格格林林公公式式的的实实质

6、质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系., 9)4()1(,)3()(122取取逆逆时时针针方方向向是是圆圆周周其其中中：求求例例 yxLdyyxdxxyLxyo ,3,yxQxyP 解解：由由格格林林公公式式， DDdxdydxdy2131. 1. 简化曲线积分的计算（常用）简化曲线积分的计算（常用）Green公式的简单应用 DdxdyyPxQdyyxdxxyL)3()( .218322的的面面积积倍倍D xyoL解解 引引入入辅辅助助曲曲线线L, ABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有 LDxdydxdy,

7、 BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于.412rdxdyxdyDAB .,2的的圆圆在在第第一一象象限限部部分分为为是是半半径径其其中中曲曲线线：计计算算例例rABxdyAB 则则当当022 yx时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解.,322方方向向为为逆逆时时针针方方向向的的的的连连续续闭闭曲曲线线，分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点为为一一条条无无重重点点，其其中中：计计算算例例LLyxydxxdyL L(1) (1) 当当D )0, 0(时时, ,(2) 当当D )0 , 0(时时,1D

8、rlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy22作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和l所所围围成成,应应用用格格林林公公式式,得得yxo DdxdyyPxQ0 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) drrr22222sincos 20 lLyxydxxdy22即即222 ryxl 的方程：的方程： ,sin,cos ryrx参参数数方方程程： 20d0 DdxdyyPxQ .(0

9、,0),0)(,3cos3sin422一段一段到到的上半圆周自的上半圆周自为为其中其中：计算：计算例例OaAaxyxAnOdyyedxyyexAnOx xoy)0 ,(aAn,83221322aa DDxxdxdydxdyyeye33coscos DAnOOAAnOAdxdyyPxQOA ,，组组成成闭闭曲曲线线解解：补补上上线线段段 axOAAnOAAnOaedxea0228303083 解解 令令2, 0yxeQP , 2. 2. 简化二重积分（不常用）简化二重积分（不常用）xyoAB11D则则 2yeyPxQ ,应应用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22

10、0 102200dxxedyxexOAy).1(211 e.)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(,52角角形形闭闭区区域域为为顶顶点点的的三三是是以以其其中中：计计算算例例BAODdxdyeDy 格格林林公公式式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21. 取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 计算平面面积计算平面面积曲曲线线AMO由由函函数数, 0,axxaxy 表表示示,解解ONA为直线为直线0 y. LydxxdyA21 AMOONAyd

11、xxdyydxxdy2121)0 ,(aANM.)0()(62区区域域的的面面积积轴轴所所围围与与：计计算算抛抛物物线线例例xaaxyx AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM的的面面积积。计计算算椭椭圆圆例例1:),(72222 byaxyxDxyO 20:,sin,cos:21 ttbytaxLydxxdyAL，解解：dttatbtbtaA 20)sin(sincoscos21 2022sincos21dtttab.2120abdtab 例例).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 ,

12、 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变变到到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 1LQdyPdx 2LQdyPdxGyxo1L2LBA 否否则则称称为为积积分分与与路路径径有有关关. . 如果对区域如果对区域G内任意两条起终内任意两条起终点相同的曲线点相同

13、的曲线 有有21, LL.),(),(),(点点所所作作的的功功与与路路径径无无关关点点到到平平面面上上从从在在变变力力BAxOyjyxQiyxPyxF dyyxQdxyxPsdFWLL ),(),(保守力保守力题题等等价价：内内连连续续，则则下下述述四四个个命命一一阶阶偏偏导导数数在在及及其其是是平平面面单单连连通通区区域域，设设定定理理DyxQyxPD),(),(2)3()4(2)1(）（证证明明：.),(,)4(DyxyPxQ ;),(,),(3DyxQdyPdxduyxu 使使得得存存在在二二阶阶连连续续可可导导函函数数）（内与积分路径无关；内与积分路径无关；在在DQdyPdxL )2

14、(; 0,1 LQdyPdxLD内内任任意意一一条条闭闭路路径径对对）（xQyPjyxQiyxPyxF ),(),(),(的的充充分分必必要要条条件件：为为保保守守力力注注：变变力力xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解.1523 )1 , 1(Boxy)0 , 1(A0, 1:0;d0, dxxAByyOA方程方程方程：方程：曲线积分与路径无关，曲线积分与路径无关，,xQyP 101042)1(dyydxx ABOA故故原原式式 104221022d)1(0)21(0)0()02(yyyxdxxx.)()2(422 Ldyyxdxxyx例：计算例：计算.2 sin)1 , 1

15、()0 , 0(xyBOL 的曲线弧的曲线弧到点到点为由点为由点其中其中 )0,3()2, 1(324.)4()162(:dyxyxdxyxyI求求例例,4242:33曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关解解yxxQyxyP DCADI 31023d16d)41(xyy.4621614d16)(31024 xyy)2 , 1(A)0 , 3(C xyOD . 0, 0. 0, 1 dyyDCdxxAD的的方方程程：的的方方程程：）的的一一段段有有向向弧弧，）到到（，上上从从（是是圆圆其其中中计计算算曲曲线线积积分分例例11002,)()21(12222yyxLdyyxdxyxyL Oxy)0

16、, 1(A) 1 , 1 (B,)(),(,21),(22yxyxQyxyyxP 解解：,)(yPyxxQ dyyxdxyxydyyxdxyxyOAABL2222)()21( )()()21( .34371)1 (110210 dyydx例例 2 2 设曲线积分设曲线积分 Ldyxydxxy)(2与路径无与路径无关关, 其中其中 具有连续的导数具有连续的导数, 且且0)0( ,计算计算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy.积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由xyxy2)(

17、cxx 2)( 10100ydydx.21 ) 1 , 1 (Boxy) 0 , 1 (A )1 , 1()0 , 0(22dyyxdxxy ABOA. 0d xxAB常常数数，的的方方程程：. 0d0 yyOA，的方程：的方程：，若若xQyP ACCByxByxAQdyPdxyxu),(),(00),(则则CdyyxQdxyxPyyxx ),(),(000),(0yxC ),(yxB xyo),(00yxA CdxyxPdyyxQyxuxxyy ),(),(),( 000或或CdyyxQdxyxPyxuyxyx ),(),(00),(),(),(则则QdyPdxdu . 0d:. 0,0 x

18、xCBdyyyACCBAC常常数数，的的方方程程的的方方程程：、关关，选选取取积积分分路路径径因因为为曲曲线线积积分分与与路路径径无无.dd,),(:2222的原函数的原函数求求是保守力场是保守力场证明证明例例yyxxxyj yxixyyxF .),(2:是是保保守守力力场场解解yxFxQxyyP ABOAyxyyxxxyyxu),()0 , 0(22dd),( yxyyxx020dd0.2022222Cyxyyx )0 ,(xAO),(yxBxy . 0d xxAB常常数数，的的方方程程：.2),(22Cyxyxu . 0d0 yyOA，的方程：的方程：例6).,(,dd22yxuyxxyy

19、x求求全全微微分分在在右右半半平平面面是是某某函函数数的的验验证证 ,),(,),(:2222yxxyxQyxyyxP 解解,)()(2)(2222222222xQyxxyyxyyxyyP CBACyxyxxyyxyxu ),()0, 1(22dd),(曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.oyx.)0 , 1(A.)0 ,(xC),(yxB.arctanCxy 0arctanyxy oyx.)0 , 1(A.)0 ,(xC),(yxB yxyyxxxx02212dd00CBAC . 0,. 0, 0 dxxCBdyyAC常常数数的的方方程程：的的方方程程：.arctan),(Cxyyxu 则

20、则称称其其为为内内处处处处成成立立，在在单单连连通通区区域域如如果果设设有有微微分分方方程程DyPxQdyyxQdxyxP 0),(),(:全微分方程全微分方程，或者，或者恰当微分方程恰当微分方程。全微分方程的解法全微分方程的解法：dyyxQdxyxPduyxuyPxQ),(),(),( 使使得得的的通通解解。即即为为方方程程的的隐隐函函数数形形式式Cyxu ),(得得则则由由隐隐函函数数求求导导公公式式可可确确定定的的隐隐函函数数，为为由由方方程程事事实实上上，设设Cyxuxyy ),()(满满足足方方程程。)(xyy ),(),(yxQyxPyuxudxdy 2.2.解法解法: :0),(

21、),( dyyxQdxyxP应用曲线积分法应用曲线积分法.xQyP 通解为通解为;),(Cyxu 用偏积分用偏积分法法.全微分方程全微分方程CdyyxQdxyxPyxuyxyx ),(),(00),(),(),( 用凑微分用凑微分法法. 0)3()3( 2323的的通通解解求求方方程程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程,Cxdxyxdyyxy 02303)3(.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224Cyyxx 例例1 1), 0(yAO),(yxBxy ABOAyxdyyxydxxyxyxu),()0 , 0(2323)3(

22、)3(),(. 0d yyAB常常数数，的的方方程程：. 0d0 xxOA，的的方方程程：通解为通解为;),(Cyxu .,0d)12(d)12(:22并并求求通通解解是是全全微微分分方方程程验验证证方方程程例例 yxyxxyxy,2222:yxxQyxyP 解解.),(.Cyxu 通通解解为为故故原原方方程程是是全全微微分分方方程程 ABOAyxyQxPyxu),()0,0(dd),( yxyxyxx020d)12(d)1(yyxyyxx022 Cyxyxx 22.oyx)0 ,(xA),(yxBCyxxyx 22通通解解为为.0324223的的通通解解求求方方程程 dyyxydxyx解解,

23、64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合0)32(14232 dyyxdxyxdyy0)()1( 32 yxdyd.132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为, 0)1( 32 yxyd例例2通解为通解为;),(Cyxu ),1()( 32yxyx,yu , 0).( yxud看看作作2.积分因子法定义定义: : 0),( yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. .问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积

24、分因子?2.2.观察法观察法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用的积分因子有可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 0)()()2(0dd)1(:8 dyyxdxyxxyyx求求方方程程组组例例)ddd()(1,)1(:22xxyyxxyxxQyP 积分因子积分因子方程两边同乘以方程两边同乘以解解0d,

25、 0dd2 xyxxyyxCxyCxy ,0d)(d)()2(重重新新组组合合 yyxxyx0)dd()dd( xyyxyyxx)0arctand)ln(21d,dd1ddarctand,d2d221)ln(21d(2222222222 xyyxyxxyyxxyxxyyxxyyxyyxxyx注意注意0ddd2d2211222222 yxxyyxyxyyxxyx得得两边乘以两边乘以.arctan)ln(2122Cxyyx 通通解解的的值值。时时，求求当当无无关关；与与路路径径证证明明曲曲线线积积分分记记）终终点点为为（）为为（分分段段光光滑滑曲曲线线，其其起起点点）内内的的是是上上半半平平面面（

26、数数内内具具有有一一阶阶连连续续的的偏偏导导）在在（分分）设设函函数数年年数数学学一一考考研研题题，（例例IcdabLIdyxyfyyxdxxyfyyIdcbayLxfL )2()1(,1)()(11.,0,)(8023222,1)(),(),(1 1),() 1 (222 xyfyyxyxQxyfyyyxP解解：)()(1)(12xyfxyxyfyxyyfyyyP xQ 在上半平面内处处成立，所以积分在上半平面内处处成立，所以积分I在上半平面内与路径无关。在上半平面内与路径无关。),(),(1)()(11)2(222cdabdcbadyxyfyyxdxxyfyyIL Oxy),(ba),(d

27、cL),(bcdycyfyycdxbxfbbdbca1)()(11222 bcdcdycycfdxbxbfbacdbca )()( cdbcbcabdttfdttfbadc)()( cdabdttfbadc)(.badc 小 结1.1.连通区域的概念连通区域的概念; ;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3. 3. 格林公式的应用格林公式的应用. .格林公式格林公式; ; LDQdyPdxdxdyyPxQ)(计算平面图形的面积；简化曲线积分的计算计算平面图形的面积；简化曲线积分的计算; ;推出曲线积分与路径无关的等价条件；全微推出曲线积分与路径无关的等价条件；全微分方程求解

28、。分方程求解。与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxuD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题 若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFGD 思考题思考

29、题思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成L外外边界：边界：内内边界：边界：BCDABEGFED 一、一、 填空题填空题: :1 1、 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成, , 函数函数),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数, ,则则有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 设设D为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , , 函 数函 数),(,),(yxQyxP在在D内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数, ,则则 LQdyPdx在在D内与路径无关的充要条件是内与路径无关的充要条

30、件是_在在D内处处成立；内处处成立；3 3、 设设D为由分段光滑的曲线为由分段光滑的曲线L所围成的闭区域所围成的闭区域, ,其面其面积为积为 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一阶连续偏上有一阶连续偏导数导数, ,且且1 xQ, ,1 yP, ,则则 LQdyPdx_. .练 习 题二、二、 计算计算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由抛物线是由抛物线2xy 和和xy 2所围成的区域的正向边界曲线所围成的区域的正向边界曲线, ,并并验证格林公式的正确性验证格林公式的正确性 . .三、三、 利用曲线积分利用曲线积分, ,求星形线求星形线taytax33sin,cos 所所围成的图形的面积围成的图形的面积 . .四、证明曲线积分四、证明曲线积分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整个在整个xoy面面内与路径无