信号的描述方法

1、第第3 3章章 信号的描述方法信号的描述方法3.1 信号的分类信号的分类3.2 信号的时域描述信号的时域描述3.3信号的频信号的频域描述域描述3.4 随机信号的随机信号的描述描述 在工程和科学研究中，经常要对许多客观存在的物体或物理过程进行观测，就是为了获取有关研究对象状态与运动等特征方面的信息。被研究对象的信息量往往是非常丰富的，测试工作是按一定的目的和要求，获取信号中感兴趣的、有限的某些特定信息，而不是全部信息。为了达到测试目的，需要研究信号的各种描述方式，本章介绍信号基本的时域和频域描述方法。 3.1 3.1 信号的分类信号的分类 信号按数学关系、取值特征、能量功率等，可以分为确定性信号

2、和非确定性信号、连续信号和离散信号、能量信号和功率信号等。 3.1.1 3.1.1 分类方法一：确定性信号和随机信号分类方法一：确定性信号和随机信号1.1.确定性信号确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。的信号称为确定性信号。 )cos()(0tmkAtxmx(t)0 x(t) 0 0Atku周期信号周期信号：经过一段时间间隔重复出现的信号，无：经过一段时间间隔重复出现的信号，无始无终（时域无穷）。典型的如正（余）弦信号。始无终（时域无穷）。典型的如正（余）弦信号。)/(0mk周期周期：满足上式的满足上式的最小最小T 值。值。频率频率：周

3、期的倒数，周期的倒数，f = 1/T，单位：（，单位：（Hz 赫兹）赫兹）圆频率圆频率/角频率角频率：频率乘以频率乘以2 f, 即即 =2 f =2 /T 实际应用中，实际应用中，n 通常取为正整数。通常取为正整数。数学表达：数学表达：信号的分类信号的分类), 2, 1()()(0nnTtxtxT0 = 2 / 0 =1/ f0(a) 周期信号之周期信号之-正弦信号正弦信号：tT0Ax(t)00( )sin(2)x tAft 这种频率单一的正弦或余弦信号称为这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号谐波信号。 （如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无穷多个频（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至

4、无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。共周期。x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 tx(t)t0(b) 周期周期信号信号之之-复杂周期信号复杂周期信号(a)非周期信号之非周期信号之-准周期信号准周期信号u非周期信号非周期信号 能用明确的数学关系进行描述，但又能用明确的数学关系进行描述，但又不具有周期重复性的信号，称为非周期信号。它分不具有周期重复性的信号，称为非周期信号。它分为准周期信号和瞬态信号两类。为准周期信号和瞬态信号两类。 也由多个频率成分叠加而成，但也由多个频率成分叠加而成，但

5、不存在公共周期不存在公共周期（本质上不属于周期信号）（本质上不属于周期信号）。ttAtAtx31sin9sin)( 是在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至是在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。零的信号，又称为瞬变非周期信号。x(t)tttxtsine)(b)非周期信号之非周期信号之-瞬态信号瞬态信号2.随机性信号随机性信号： 不能准确预测信号未来瞬时值，也无法用准确数学关系式来描述的信号，称为随机信号，也称不确定性信号。 特点：特点：非确定性信号。非确定性信号。具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不具有不重复性（在相同条件下，每次观测

6、的结果都不一样）、不确定性、不可预估性。一样）、不确定性、不可预估性。采用概率和统计的方法进行描述。采用概率和统计的方法进行描述。t0 x(t)模拟信号（信号的幅值与均）连续信号一般连续信号（）一般离散信号（）离散信号数字信号（信号的幅值与独立变量连续独立变量连续独立变量离散独立变量离）散均 3.1.2 3.1.2 分类法二：连续信号和离散信号分类法二：连续信号和离散信号 若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为连续信号。若独立变量取离散值，则称为离散信号。 t0连续信号连续信号t0离散信号离散信号.3分类法三：能量信号和功率信号分类法三：能量信号和功率信号 如周期信号

7、、准周期信号、随机信号等。如周期信号、准周期信号、随机信号等。)()(2txtPdttxdttPtE)()()(2dttxtE)()(2ttxttttPttd )(1),(2121221l 信号的瞬时功率：信号的瞬时功率：l 信号能量：信号能量：l 能量（有限）信号：能量（有限）信号：l 功率（有限）信号功率（有限）信号： 信号在有限区间信号在有限区间（t1, t2）上的平均功率上的平均功率： 如各类瞬变信号。如各类瞬变信号。 信号的时域描述信号的时域描述 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征，以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征， 反映信号幅值随时间变化的关系反映信号幅值随时间变

8、化的关系。 波形图：时间为横坐标的幅值变化图。波形图：时间为横坐标的幅值变化图。 优点优点：形象、直观。：形象、直观。 缺点缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。信号的描述分时域描述与频域描述两大类方法信号的描述分时域描述与频域描述两大类方法 。 3.2 3.2 信号的时域描述信号的时域描述 信号的频域描述信号的频域描述 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解），解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。函数关系。 频谱图：

9、以频率为横坐标的幅值、相位变化图。频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。l 幅值谱：幅值幅值谱：幅值- -频率图频率图l 相位谱：相位相位谱：相位- -频率图频率图 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。小，描述更简练、深刻、方便。 信号时域与频域描述的关系信号时域与频域描述的关系 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换，时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换， 两者蕴涵的信息相同；两者蕴涵的信息相同； 时域描述与频域描述各有用武之地；时域描述与频域描述各有用武之地； 将信号从时域转换到频域称为将信号

10、从时域转换到频域称为频谱频谱(specrtrum)分析分析； 采用频谱图描述信号，需要同时给出采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱幅值谱(amplitude spectrun)和和相位谱相位谱(phase spectrum)。3.2.1 3.2.1 时域信号的合成与分解时域信号的合成与分解1.稳态分量与交变分量；稳态分量与交变分量；信号可以分解为稳态分量与交变分量之和，如图所示。即信号可以分解为稳态分量与交变分量之和，如图所示。即 )()()(txtxtxad2.偶分量与奇分量；偶分量与奇分量；信号可以分解为偶分量与奇分量之和，如图所示。即信号可以分解为偶分量与奇分量之和，如图所示。即偶分量

11、关于纵轴对称，奇分量关于原点对称。偶分量关于纵轴对称，奇分量关于原点对称。信号分解为奇、偶分量之和信号分解为奇、偶分量之和)()()(txtxtxoe3.实部分量与虚部分量；实部分量与虚部分量；对于瞬时值为复数的信号可分解为实、虚两部分之和，即对于瞬时值为复数的信号可分解为实、虚两部分之和，即4.正交函数分量正交函数分量)()()(tjxtxtxIR信号信号)(tx可以用正交函数集来表示，即可以用正交函数集来表示，即)()()()(2211txctxctxctxnn各分量正交的条件为)( )( 0)()(21jikjidttxtxttji）（21,tt）（21,ttic2121)()()(2t

12、tittiidttxdttxtxc各分量的系数各分量的系数ic 满足正交条件的函数集有：三角函数、复指数函数等。 常用统计参数：均值、均方值和方差。常用统计参数：均值、均方值和方差。 均值均值( (mean) )反映信号的静态分量，即常值分量：反映信号的静态分量，即常值分量：TTxttxT0d)(1lim均方值均方值(mean square)反映信号的能量或强度：反映信号的能量或强度： TTxttxT022d)(1lim3.2.2 3.2.2 信号的统计特征参数信号的统计特征参数方差方差(Variance)反映信号偏离均值的波动情况：反映信号偏离均值的波动情况： TxxxTxdttxT0222

13、2)(1lim222xxx 三者关系 狄里赫利（狄里赫利（Dirichet）条件：）条件： 信号（函数）在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数信号（函数）在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。目为有限个。信号（函数）在一信号（函数）在一个个周期内，极大值和极小值数目为有限个。周期内，极大值和极小值数目为有限个。信号（函数）在一信号（函数）在一个个周期内，信号绝对可积，即周期内，信号绝对可积，即 3.3.1 3.3.1 周期信号的频域描述周期信号的频域描述（1 1）三角函数展开式）三角函数展开式 （傅里叶级数法）（傅里叶级数法） Tttttx00d| )(|3.3 3.3 信号的

14、频域描述信号的频域描述 )sincos()(0010tnbtnaatxnnn其中其中则可以展开为则可以展开为ttxTaTTd)(12/2/0000ttntxTaTTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/000傅里叶系数)3sin()2sin()sin()sin()(032021010010nnnntAtAtAAtnAAtx式中式中进一步，可以改写为进一步，可以改写为0022arctannnnnnnAaAabab nA 信号的幅值谱信号的幅值谱n 信号的相位谱信号的相位谱u两者合称信号的频谱两者合称信号的频谱 例：求方波信号的频域描述（傅里叶级数法）例：求方

15、波信号的频域描述（傅里叶级数法）)02()20()(, 3, 2, 1),()(000tTATtAtxnnTtxtxT0T0T02T020tx(t)解：信号解：信号x(t)为奇函数，在一个周期内对奇函数积分为奇函数，在一个周期内对奇函数积分结果为结果为0，故有：，故有：0020021( )d0TTax ttT 0na 00000020020200020020000002000000002( )sind2()sindsindcoscos221coscos12241cos2TTnTTTTbx tnt tTAnt tAnt tTntntATnnnTnTAnTnTAnT 4(1,3,5,)0(2,4,

16、6,)Annn 00000411( )sinsin3sin53541sin(21)21nAx ttttAntn 002T ，4A 4A34A50A()03050003050 ()/2幅值谱幅值谱相位谱相位谱x(t)0tT0周期方波信号的合成周期方波信号的合成周期方波信号的时、频域描述周期方波信号的时、频域描述 （2）复指数展开式复指数展开式)ee(2jsin)ee(21cossinjcos00000jj0jj000jtntntntntntntntntnee )j(21e )j(21)(00jj10tnnntnnnnbabaatx所以：所以：)sincos()(0010tnbtnaatxnnn欧

17、拉公式欧拉公式令：令：)ee()(00jj10tnntnnnCCCtxtnnnC0je00/200/201( )TTCax t dtT0( )jntnnx tC e(n=0,1,2,）信号的描述信号的描述其中：其中：000/2/201( )2TjntnnnTajbCx t edtT000/2/201( )2TjntnnnTajbCx t edtT000/2/201( )TjntnTCx t edtT故用统一的公式描述傅里叶级数的复数形式为：故用统一的公式描述傅里叶级数的复数形式为：nnnnnCCCCjeImjRe按实频谱和虚频谱形式按实频谱和虚频谱形式 幅频谱和相频谱形式幅频谱和相频谱形式 2

18、2)(Im)(RennnCCCnnnCCReImarctan幅频谱图：幅频谱图：| Cn | - 实频谱图：实频谱图： CnR - 虚频谱图：虚频谱图： CnI - 相频谱图：相频谱图： n - nnnnCC,信号的描述信号的描述例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。 解：解：)ee(21cos00jj0ttt)ee(2jsin00jj0tttC-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, 2, 3, ）C-1 = j/2，C1 = -j /2，Cn = 0（n = 0, 2, 3, ）1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0

19、CnR00-01/21/2CnR00-000-01/2-1/2CnICnI00-0|Cn|00-01/21/2|Cn|00-01/21/2An001An001单边幅频谱单边幅频谱双边幅频谱双边幅频谱 几点结论几点结论 l 复指数函数形式的频谱为复指数函数形式的频谱为双边谱双边谱（ 从从 - 到到 + ），三角函数形式的频谱为三角函数形式的频谱为单边谱单边谱（ 从从 0 到到 + ）。）。l 两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系： 00, 2/aCACnnl 双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数 nnnnCC,l 一般周期

20、函数的复指数傅里叶展开式的实频谱一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱 总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。 综上所述，综上所述，周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点如下：如下： 周期信号的频谱是周期信号的频谱是离散谱离散谱； 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的诸分量频率的公约数公约数； 复杂周期信号复杂周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小数的增高而减

21、小 在频谱分析中没有必要取次数过高在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。的谐波分量。信号的描述信号的描述3.3.2 3.3.2 非周期信号的频域描述非周期信号的频域描述 瞬变信号例瞬变信号例参见下页参见下页 频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，是公共周期，是周期信号周期信号。 当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号（属非周期信号）准周期信号（属非周期信号）。 一般非周期信号是指瞬变信号。一般非周期信号是指瞬变信号。非周期信号 准周期信号 信号中各简谐成分 的频率

22、比为无理数 具有离散频谱 瞬变信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零准周期信号x(t)0tx(t)0t瞬变信号I0tx(t)瞬变信号IItAtAtx31sin9sin)(ttxtsine)(（1）傅里叶变换）傅里叶变换 （非傅里叶级数非傅里叶级数）非周期信号可以看成是周期非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号。趋于无穷大的周期信号。 02000 TT谱线无限靠近，变为连续谱谱线无限靠近，变为连续谱 。谱线长度：谱线长度：0nC22j0000e )(1TTtnndttxTC 此时根据傅里叶级数展开所表示的谱线失去意义。此时根据傅里叶级数展开所表示的谱线失去意义。 信号存

23、在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其信号存在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其所含总能量应当不变。所含总能量应当不变。 无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征总存在，即非周期信号的频谱依然存在总存在，即非周期信号的频谱依然存在。 设周期信号设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为在一周期内的傅里叶级数表示为ntnnCtx0je)(其中：其中： 22j0000e )(1TTtnndttxTCT0时，时， = 0 0，n 0 ，Cn0。但但 Cn T0 存在：存在：ttxttxTCtTTtTnTde )(de )(

24、limlimj22j00000dttxCTCXtnTnTj00e )(2limlim)(00信号的描述信号的描述Cn表示表示n 0（即（即 ）处的频谱值，而）处的频谱值，而 反映了单位频反映了单位频带的频谱值（带的频谱值（ 0为谱线间隔），称为非周期信号的为谱线间隔），称为非周期信号的频谱密频谱密度度(spectrum density)函数函数，简称，简称频谱函数频谱函数，它反映了信号，它反映了信号能量沿频域的分布状况。能量沿频域的分布状况。若以若以 的值为高、以间隔的值为高、以间隔 0为宽画一个小矩形，为宽画一个小矩形，则该小矩形的面积等于则该小矩形的面积等于 = n 0频率处的频谱值频率处

25、的频谱值Cn(n 0)。0nC0nC信号的描述信号的描述de)de)(21e)d)(2de )de)(1limelim)(limjjjjjj2/2/0j00000000tttttnntnTTTtnnnTTttxtetxttxTCtx Cn信号的描述信号的描述00Tn ，ttxXtde)()(jd)(21)(j teXtx傅里叶变换（傅里叶变换（FT） 傅里叶逆变换（傅里叶逆变换（IFT） f 2以以代入得代入得ttxfXftde )()(2jffXtxftde )()(2j记为：记为：x(t)X()FTIFT用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为 )()()(

26、Imj)(Re)(fjefXfXfXfX22)(Im)(Re)(fXfXfX)(Re)(Imarctan)(fXfXf非周期信号的幅频谱非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱和周期信号的幅频谱 很相很相似，但是两者量纲不同。似，但是两者量纲不同。 为为信号幅值的量纲。信号幅值的量纲。 为为信号单位频宽上的幅值信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。工程测试，是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。中为方便，仍称为频谱。 )( fXnCnC)( fX)2(0)2(1)(TtTttw例：矩形窗函数的频谱（例：矩形窗函数的频谱（属非周期、瞬态信号，区别方波属非周期、瞬态信号，区别方波） 222j

27、2jdede)()(TTftfttttwfWfTfTTeeffTfTsin2 j1jj)(sincfTTW(f)中中 T 称为窗宽，称为窗宽， sinsinc1-T/2T/2tw(t)0森克函数，通常称窗函数W(f )T01T1Tf3T3T (f ) 01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函数只有实部，没有虚部。函数只有实部，没有虚部。 sinc 以以2 为周期并随为周期并随 的的增加作衰减振荡。增加作衰减振荡。sinc 是偶函数，在是偶函数，在n （n= 1, 2, ）处其值为）处其值为0。 信号的描述信号的描述 非周期信号频谱的特点非周期信号频谱的特点 l 基频无限小，包含了从基频无限

28、小，包含了从 0 的所有频率分量。的所有频率分量。 l 频谱连续。频谱连续。l |X( )|与与|Cn|量纲不同。量纲不同。|Cn|具有与原信号幅具有与原信号幅 值相同的量纲，值相同的量纲，|X( )|是单位频宽上的幅值。是单位频宽上的幅值。 l 非周期信号频域描述的基础是非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换傅里叶变换。 （2） 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质 积 分x(t t0) 时 移 频域微分x(kt) 尺度变换 时域微分x(-f) X(t) 对 称 性 X1(f)X2(f)x1(t) x2(t)频域卷积AX(f)+bY(f) ax(t)+by(t) 线性叠加 X1(f) X2

29、(f)x1(t)x2(t)时域卷积实奇函数虚奇函数X*(-f)x*(t)共 轭虚偶函数虚偶函数X(-f) x(-t) 翻 转 虚奇函数实奇函数X(f f0) 频 移 实偶函数实偶函数函数的奇偶虚实性频 域时 域性 质频 域时 域性 质0,1kkfXk02je )(ftfXtftx02je )(nnttxd)(d)(2 jfXfn)(2 jtxtnnnffXd)(dtttxd)(存在ffXfXf)(),(2 j1 频域分析：傅里叶变换，自变量为频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉普拉斯变换复频域分析：拉普拉斯变换, 自变量为自变量为 S = +j Z域分析：域分析：Z 变换，自变量

30、为变换，自变量为z TsTz)j(ee频域、复频域、频域、复频域、Z域的关系域的关系补充预备知识：补充预备知识：u奇偶虚实性奇偶虚实性 )(Imj)(Rede )()(2jfXfXttxfXfttfttxfXd2cos)()(RetfttxfXd2sin)()(Im若若x(t)为实偶函数，则为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数。为实偶函数。若若x(t)为实奇函数，则为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数。为虚奇函数。若若x(t)为虚偶函数，则为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数。为虚偶函数。若若x(t)为虚奇函数，则为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f

31、)为实奇函数。为实奇函数。若若x(t)为实函数，则为实函数，则 ReX( f ) = ReX( -f ) ImX( f ) = - ImX( -f ) u对称性：对称性：证明：证明： 互换互换 t 和和 f从而：从而：X(t) x(-f)ffXtxftjde )()(2fefXtxftd)()(2jttXfxftjde )()(2( )(-)X txfu尺度改变性尺度改变性 证明：)(1)(d)(1de )()()(2j2jkfXkktektxktktxktxktkfftFkfXkxkxkktxkfkf1de )(1de )(1)(2j2jF（k 0）（k 1，变化速度加快），变化速度加快）等

32、效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。1()fx ktXkk尺度改变性质举例尺度改变性质举例000000证明：证明： 若若 t0为常数为常数 则则 时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱u时移性时移性0j20()()eftx ttX f 0000j200j2 ()j200j2 ()()ed()eed()()eftf t tftftF x ttx tttx ttttX f 0j201 ()()eftafF x attXaa (c) 时移的时域矩形窗时移的时域矩形窗 (d) 图图(c)对应的幅频和相频特性

33、曲线对应的幅频和相频特性曲线 时移性质举例时移性质举例（a）时域矩形窗）时域矩形窗图（图（a）对应的幅频和相频特性曲线）对应的幅频和相频特性曲线000000例：求三个窗函数的频谱。例：求三个窗函数的频谱。x(t)tT/2-T/21)(csinsin)(fTTfTfTTfW对于矩形窗函数对于矩形窗函数w(t)问题描述为求问题描述为求w(t -)+ w(t)+ w(t +)的频谱的频谱根据时移性质根据时移性质)2cos21)(csin)1)(csin)()()(2j2jffTTeefTTtwtwtwffFu频移特性频移特性 若若f0为常数为常数0j20( )e()f tx tX ff 0001j2

34、00j2()j20j2()()ed()eed( )eftfftf tf tFX ffX fffX fffx t 证明证明u卷积特性卷积特性 证明：证明： 函数函数x(t)与与y(t)的卷积定义为的卷积定义为( )( )( ) ()x ty txy td1212( )( )()()x tx tXf Xf ttxxtxtxFftde d)()()(*)(2j2121 ttxxtffde )(de )()(2j22j1)()(21fXfX同理可得同理可得( ) ( )()()x t y tXfYf d( )j2()dnnnx tfX ftffXtxftde )()(2jffXfttxftde )()

35、2 j (d)(d2j)()2 j (d)(dfXfttxF)()2 j (d)(dfXfttxnnnFu微分特性微分特性证明：证明：同理：同理：傅里叶的两个最主要的贡献傅里叶的两个最主要的贡献 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点3.3.3 3.3.3 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱单位脉冲函数单位脉冲函数( (函数函数) ) 的频谱的频谱

36、 1. 函数定义函数定义)0(0)0()(lim)(0tttt1d)(d)(limd)(lim00tttttt且其面积（强度）：且其面积（强度）： /201/t(t)0t(t)2. 函数的性质函数的性质 u采样性采样性)()0()()(txttx)()()()(000tttxtttxu筛选性筛选性 )0(d)()0(d)()(xttxtttx)(d)()(d)()(0000txttttxttttx筛选结果为筛选结果为x(t)在发生在发生函数位置的函数值函数位置的函数值( (又称为采样值又称为采样值) ) u卷积性卷积性 )(d)( )()()(txtxttx)(d )( )()()(000tt

37、xttxtttx 函数与其他函数的卷积示例函数与其他函数的卷积示例 (t)0t1x(t)0tA0tAx(t) (t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t) (t t 0)-t0t0-t0t03. 函数的频谱函数的频谱 对对(t)取傅里叶变换取傅里叶变换 1ede )( )(02 j2 jfftttfftftde1)(2j函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱均匀谱”。 函数是偶函数，即函数是偶函数，即 ，则利用对称、，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变

38、换对 )()()()(fftt、0j20()1 efttt 0j20e1 ()f tff 0t(t)10f(f )1（各频率成分分别移相（各频率成分分别移相2 ft0） (t t0) (f) （单位脉冲谱线）（单位脉冲谱线） 1 （幅值为（幅值为1的直流量）的直流量） 1 （均匀频谱密度函数）（均匀频谱密度函数） (t) （单位瞬时脉冲）（单位瞬时脉冲） 频频 域域 时时 域域 02jefttf02je)(0ff 单位脉冲函数的时、频域关系单位脉冲函数的时、频域关系 矩形窗函数和常值函数的频谱矩形窗函数和常值函数的频谱 （1）矩形窗）矩形窗(rectangle w

39、indow)函数的频谱函数的频谱222j2jede)()(TTftftdtttwfWfTfTTffTfTsinee2 j1jj)(sincfTTW(f )T01T1Tf3T3T(f )01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)0（2）常值函数）常值函数(又称直流量又称直流量) 的频谱的频谱 幅值为幅值为1 1的常值函数的频谱为的常值函数的频谱为 f = 0 = 0处的处的函数函数。)(e020fftfj 当矩形窗函数的窗宽当矩形窗函数的窗宽 T 趋于无穷时，矩形窗函数就趋于无穷时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域为成为常值函数，其对应的频域为函数。函数。(3) 单位阶跃

40、函数的频谱单位阶跃函数的频谱 单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数a 0时的时的极限形式。极限形式。fefatttxfXtfaaftataft2jj21limdeelimde )()(0)j2(00j20j2)0, 0(elim1)0(0)(0tattxata单位阶跃函数及其频谱单位阶跃函数及其频谱 01tx(t)0X(f)11（4）正余弦）正余弦(sine/cosine)函数的频谱密度函数函数的频谱密度函数 正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：傅里叶变换。由欧拉公式知：t

41、ftftftftftf0000j2j20j2j20ee212cosee2j2sin)()(212cos)()(2j2sin000000fffftffffftfFF1/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2f0t0tcos2f0t（5）梳状）梳状(comb)函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱 nnTtTt)(),(combssTs为周期；为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数 ktkfkCTtsj2se),(comb22j2ssssde ),(co

42、mb1TTtkfktTtTCs（fs = 1 / Ts）因为在（因为在（-Ts /2，Ts /2）区间内只有一个）区间内只有一个 函数函数 (t)，故，故s22j2s1de )(1ssTttTCTTtkfksktkfsTTtj2sse1),(comb从而从而 kskffTTtff)(1),(comb),(COMBsssF所以所以 kTkfT)(1ss即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为），脉冲强度为1/Ts。 .comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts.COMB(f,fs)1/Ts0 1

43、Ts2Ts 1 Ts2Ts（6）指数）指数(exponent)函数的频谱函数的频谱双边指数衰减函数双边指数衰减函数 22j2j2j20j202j)2(j4)j2(1)j2(10)j2(ee0)j2(eedeedeede )()(faffafafafattttxfXftatftatftatftatft其傅里叶变换为其傅里叶变换为 )0, 0(e)0, 0(e)(tatatxatat单边指数衰减函数及其频谱单边指数衰减函数及其频谱 （7） 符号符号(sign)函数及其频谱函数及其频谱 符号函数的频谱符号函数的频谱符号函数可以看作是双边指数衰减函数当符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a 0时的极限

44、时的极限形式，即：形式，即：ffafadttefXaaftataftataj)j2(1lim)j2(1limeelimdelim)(00j200j200)0, 0(elim1)0, 0(elim1)(00tatatxataata 随机信号是非确定性信号随机信号是非确定性信号 随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性结果都不一样）、不确定性、不可预估性 随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述 相关概念相关概念 随机现象随机现象：产生随机信号的物理现象：产生随机信号的物

45、理现象 样本样本(sample)函数函数：随机现象的单个时间历程，即对：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作作xi(t)，i表示第表示第i次观测。次观测。 样本记录样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数：在有限时间区间上观测得到的样本函数 随机过程随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）。记作全体样本函数的集合（总体）。记作x(t)，即，即 x(t) = x1(t)，x2(t)，xi(t)，3.4 3.4 随机信号的频域描述随机信号的

46、频域描述 随机变量随机变量：随机过程在某一时刻：随机过程在某一时刻t1的取值的取值x(t1)是一个随机变是一个随机变量，随机变量一般定义在样本空间上。量，随机变量一般定义在样本空间上。集合平均集合平均：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程表随机过程 x(t) ，随机过程在任何时刻的统计特性需，随机过程在任何时刻的统计特性需用其样本函数的集合平均来描述。用其样本函数的集合平均来描述。时间平均时间平均：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。平稳与非平稳随机过程平稳与非平稳随机过程：平稳随机过程指其统计特性不随：平稳随机过程指其统计特性不随时间而变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化；时间而变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化；否则，则为非平稳随机过程。否则，则为非平稳随机过程。各态历经过程各态历经过程：若平稳随机过程任一样本函数的时间平：若平稳随机过程任一样本函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则称该均统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则称该随机过程是各态历经的（遍历性）。随机过程是各态历经的（遍历性）。各态历经过程的物理含义：任一样本函数在足