传热学第五章导热问题数值解法

1、1第五章第五章 导热问题的数值解法导热问题的数值解法1 1、 导热问题数值解求解原理导热问题数值解求解原理2 2、 稳态导热问题数值解法稳态导热问题数值解法3 3、 非稳态导热问题数值解法非稳态导热问题数值解法4 4、 稳态导热问题数值解示例稳态导热问题数值解示例 21、导热问题数值解求解原理、导热问题数值解求解原理数值解：数值解：用有限个用有限个离散点离散点上物理量的集合代替在上物理量的集合代替在时间、空间上时间、空间上连续连续的物理量场，按物理属性建立的物理量场，按物理属性建立各节点的代数方程，借助计算机求解离散点上各各节点的代数方程，借助计算机求解离散点上各物理量的值。物理量的值。分析解

2、的局限性：分析解的局限性：规则的几何形状，物性及内热规则的几何形状，物性及内热源等物理条件简单，时间和边界条件简单。源等物理条件简单，时间和边界条件简单。31）有限差分法）有限差分法把物体分割为有限数目的网格单元，在空间和时间上把物体分割为有限数目的网格单元，在空间和时间上连续的物理量场转化为有限个离散点上的物理量，连续的物理量场转化为有限个离散点上的物理量，用这些离散点上的物理量的集合来代替该物理量场用这些离散点上的物理量的集合来代替该物理量场的连续分布。的连续分布。以一维温度场为例，用多点折线代替光滑的温度曲线。以一维温度场为例，用多点折线代替光滑的温度曲线。即用即用有限小量代替无限小量有

3、限小量代替无限小量，用差分代替微分。，用差分代替微分。xtdxdt4oxtxxm1m1m差分格式：差分格式：向前差分：向前差分： xttdxdtmm1xttdxdtmm1向后差分：向后差分： 中心差分：中心差分：xttdxdtmm211对于非稳态导热问题，除了空间上进行网格划分外，对于非稳态导热问题，除了空间上进行网格划分外，还要把时间分割成许多间隔。还要把时间分割成许多间隔。 52）有限元法）有限元法把整个求解域离散成为有限个子域，每一子域内运把整个求解域离散成为有限个子域，每一子域内运用变分法，即利用与原问题中微分方程相等价的变用变分法，即利用与原问题中微分方程相等价的变分原理来进行推导，

4、从而使原问题的微分方程组退分原理来进行推导，从而使原问题的微分方程组退化到代数联立方程组，得到数值解。化到代数联立方程组，得到数值解。 有限元法和差分法都是常用的数值计算方法，差分有限元法和差分法都是常用的数值计算方法，差分法计算模型对于不规则的几何形状难以应用。有限法计算模型对于不规则的几何形状难以应用。有限元法能够很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料元法能够很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。特性和复杂的边界条件。 62、 稳态导热问题数值解法稳态导热问题数值解法以常物性，无内热源的二维以常物性，无内热源的二维稳态导热为例：稳态导热为例：xttxtnmnmnm,1,2

5、/1 (e点)xttxtnmnmnm, 1,2/1 (w点)yttxtnmnmnm,1,2/1, (n点)yttxtnmnmnm1,2/1, (s点)1 1）内部节点差分方程）内部节点差分方程7（m m，n n）节点的二阶差分（一阶差分的差分）：）节点的二阶差分（一阶差分的差分）：2, 1, 1,2/1,2/1,222xtttxxtxtxtnmnmnmnmnmnm2,1,1,2/1,2/1,222ytttyytytytnmnmnmnmnmnm对照微分方程得（对照微分方程得（m m，n n）节点的差分方程：）节点的差分方程：0222,1,1,2, 1, 1ytttxtttnmnmnmnmnmnm

6、如取正方形网络如取正方形网络x=yx=y，上式简化为：，上式简化为：1,1, 1, 1,41nmnmnmnmnmttttt82 2）边界节点的差分方程（热平衡法）边界节点的差分方程（热平衡法） 第一类边界条件：（给定边界节点的温度）第一类边界条件：（给定边界节点的温度） Ctnm, 第二类边界条件：（给定边界第二类边界条件：（给定边界节点处的热流密度节点处的热流密度 , ,流入为正）流入为正）wq边界节点热平衡方程：边界节点热平衡方程：022,1,1,1wnmnmnmnmnmnmqyyttxyttxxtty如取正方形网络如取正方形网络x=yx=y，上式简化为：，上式简化为：wnmnmnmnmq

7、ytttt, 11,1,21419如取正方形网络如取正方形网络yx上式简化为：上式简化为：BitBitttyhtyhttttfnmnmnmfnmnmnmnm2222222, 11,1,1,1, 1, 第三类边界条件：（给定边界外流第三类边界条件：（给定边界外流体温度体温度 及边界处的表面传热系数及边界处的表面传热系数h h）ft022,1,1, 1nmfnmnmnmnmnmnmtthyyttxyttxxtty边界节点热平衡方程：边界节点热平衡方程：103）方程组的求解）方程组的求解对应每个未知量（一个节点温度）对应每个未知量（一个节点温度）一条方程（一一条方程（一个节点方程）个节点方程）方程组

8、有唯一解方程组有唯一解解法：（解法：（1）矩阵法）矩阵法 （2）迭代法：高斯）迭代法：高斯-赛德尔迭代赛德尔迭代113、 非稳态导热问题数值解法非稳态导热问题数值解法1）内部节点差分方程）内部节点差分方程以常物性、无内热源的一维非稳态导以常物性、无内热源的一维非稳态导热问题为例，其微分方程描述：热问题为例，其微分方程描述：22xtat 211222xtttxtininin（与稳态同）（与稳态同） 对时间向前差分：对时间向前差分： ininttt1得到内部节点方程：得到内部节点方程： ininininininininininininintFottFottxattxatxtttatt2121211

9、1211212111对空间二阶差分：对空间二阶差分： 122 2）边界节点差分方程）边界节点差分方程 第一类边界条件：（给定边界节点的温度）第一类边界条件：（给定边界节点的温度） 21,wiNwiotttt 第二类边界条件：（给定边界节点处的热流密度第二类边界条件：（给定边界节点处的热流密度 ） （ 流入为正）流入为正）wqwq wioiiowioiioioiowioiioiowioiqxctFoFottqxcttxctttxcqxttttcVAqxttA221222211211111xwqA01213对于对称受热中心平板或绝热条件：对于对称受热中心平板或绝热条件： 0 xt取中心差分取中心差

10、分： iiiittxtt111102 第三类边界条件第三类边界条件（给定边界外流体温（给定边界外流体温度及边界处的表面传度及边界处的表面传热系数热系数h h）t fioiioioioiofioitFoBitBiFoFottttcVtthAxttA212121111143 3）初始条件）初始条件对于均匀温度场：对于均匀温度场： ooNott对于非均匀温度场：对于非均匀温度场： NNoootttttt0101,4 4）解题步骤）解题步骤确定：确定：BiFoxhc, 赋初值：赋初值： ), 2 , 1 , 0(0Nntn计算：计算： 21nntt15以左边界绝热、右边界为第三类边界条件的一维非稳态以

11、左边界绝热、右边界为第三类边界条件的一维非稳态导热为例导热为例 ：左边界：左边界： iitt11内部节点：内部节点： inininintFottFot21111右边界：右边界： tFoBitBiFoFottiNiNiN212121116节点计算示意图：节点计算示意图：175 5）解的稳定性分析）解的稳定性分析时间差分格式时间差分格式计算方法计算方法稳定性稳定性向前（显式）向前（显式）由先一时刻由先一时刻温度层计算温度层计算后一时刻温后一时刻温度层度层有条件（应使节点方程中有条件（应使节点方程中同点温度前系数同点温度前系数00）（对于一维）（对于一维）Fo1/2Fo1/2&Fo1/&Fo1/（2

12、 2（1+Bi1+Bi）向后（隐式）向后（隐式）解线性方程解线性方程组组无条件无条件 inintt1 1inintt2xaFo根据精度要求和计算所用时间选取根据精度要求和计算所用时间选取x二维非稳态导热问题数值解分析方法与此类似。二维非稳态导热问题数值解分析方法与此类似。184 4、变物性有内热源的非稳态导热问题数值解、变物性有内热源的非稳态导热问题数值解（数值解突出的优点是处理变物性问题）（数值解突出的优点是处理变物性问题） 单元热平衡单元热平衡热阻热容式热阻热容式（非稳态导热问题通式）：（非稳态导热问题通式）： ininnnnnnjnjinijttVcVRtt1 （显式） 导热项导热项 内热源项内热源项 内能项内能项 19.;/;1;/;/;/;/)()11 ()(3)()1()(,33)()(,)()1(smWnCitCintCintWKnRKkgJncmkgnmnVKJntfVcHtRHVRtHtnijininjnnnniNnnnninjjnnjnnjnijnin时间间隔，的内热源强度，单元时刻的温度，相邻单元在时