概率论 04分布函数、连续型、密度

1、一、随机变量的分布函数一、随机变量的分布函数二、连续型随机变量及其二、连续型随机变量及其概率密度概率密度导读内容导读内容 1 1、分布函数的定义是什么？引入分布函数有何、分布函数的定义是什么？引入分布函数有何作用？分布函数有何重要性质？作用？分布函数有何重要性质？2 2、什么是连续型随机变量？和离散型随机变量、什么是连续型随机变量？和离散型随机变量有何区别？概率密度函数对连续型随机变量来有何区别？概率密度函数对连续型随机变量来说有何重要意义？它的两条性质是什么？说有何重要意义？它的两条性质是什么？ 3、如何利用分布律、概率密度函数及分布函数如何利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概

2、率？计算有关事件的概率？ 设设X为一随机变量为一随机变量,x是任意实数，称函数是任意实数，称函数 )()()(xxXPxF为X的概率分布函数概率分布函数.简称分布函数分布函数. .分布函数具有下列分布函数具有下列特征特征性质：性质： 0)(limxFx1)(limxFx0 x)() 0(00 xFxF（2）是是 的单调不减函数；的单调不减函数；（4）F()右连续，即对于任意右连续，即对于任意，有，有x（3）x)(xFx1)(0 xF（1） 例例设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为 P1123 . 05 .02.0 解解 X0)()()(PxXPxF当当 时时1x11x3

3、. 0) 1()()(XPxXPxF当当 时时21x)()(xXPxF8 . 05 . 03 . 0) 1() 1(XPXP)(xF求当当 时时当当 时时2x)()(xXPxF12 . 05 . 03 . 0) 2() 1() 1(XPXPXP 2, 121, 8 . 011, 3 . 01, 0 xxxxxF 函数函数F( )的图形如的图形如右图所示，它是一条阶右图所示，它是一条阶梯形曲线，它满足分布梯形曲线，它满足分布函数的函数的4条性质条性质. = -1,1,2为函数的跳为函数的跳跃间断点，其跃度为随跃间断点，其跃度为随机变量机变量X在该点处的概在该点处的概率率.xx0.30.81 P

4、aXbP XbP Xa( )( )F bF a( )F x0 xx00P Xx( )(0)F cF c babXaP为常数为常数ccXP 由于分布函数是一个由于分布函数是一个普通的函数普通的函数，所以，所以可以应用可以应用微积分微积分工具来研究随机现象。工具来研究随机现象。定义定义 对于对于连续型连续型随机变量随机变量X, 必存在一个必存在一个非负非负可积可积 函数函数 f ( x ), 使得对任意实数使得对任意实数 , 有：有：二、连续型二、连续型随机变量随机变量称称 f ( x )为为X的的概率密度函数概率密度函数.xdttfxPxF)()X()(x概率密度函数概率密度函数f ( x )的

5、的特征特征性质性质:0)() 1 (xf1)()(d)() 2 (PXPxxf)(x，在 f ( x ) 的连续点处)()(.2xFxfxxxfxFd)()(. 1F(x) 与 f ( x ) 的关系：，显然 F ( x ) 必连续注意: 对于连续型对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)( aXP)(aX )(aXxa0 x事实上 AAP推不出, 0)(对于连续型对于连续型r.v.XP(X = a) = 0 AAP也未必有, 1)(因此因此因此对于连续性随机变量因此对于连续性随机变量X，有：，

6、有：)()()()(bXaPbXaPbXaPbXaP)(IXPbaxxfd)(Idxxf)()()()()()(aFbFaXPbXPbXaP而事实上，我们有更一般的结论：事实上，我们有更一般的结论：-10-550.020.040.060.08xF ( x )分布函数与密度函数几何意义)(xfy xxdxxf)(badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)()()()()(bxf ( x)-10-550.020.040.060.08a)(xfy 从几何意义上看，从几何意义上看，概率概率正好是区间正好是区间 上以概率密度曲线上以概率密度曲线 为顶得曲边为顶得曲边梯形面积梯形面积.)(bXaP)(ba，)(xfy )()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a501000PX r.v X2,100( ) 0 ,100kxxf xx 1( )f x dx2100kdxx100k 100k ,kX( )F x( )( )xF xf t dt2100100,10