飞机结构力学2008电子教案5-2

1、飞行器结构力学基础飞行器结构力学基础电子教学教案电子教学教案西北工业大学航空学院西北工业大学航空学院航空结构工程系航空结构工程系第五章第五章 位移法位移法Displacement Method ofStructure Analysis第二讲第二讲梁元素与刚架的位移法求解梁元素与刚架的位移法求解5.3 平面梁元素与平面刚架位移法求解平面梁元素与平面刚架位移法求解 在元素局部坐标系中，在元素局部坐标系中，长度为长度为L，结点编号为，结点编号为i j 的平面梁元素如图所的平面梁元素如图所示，梁的截面拉伸刚示，梁的截面拉伸刚度为度为EA，截面抗弯刚，截面抗弯刚度为度为EJ 。因为梁元素。因为梁元素能承

2、受轴向力、横向能承受轴向力、横向剪力和弯矩，故梁的剪力和弯矩，故梁的每个结点上有三个位每个结点上有三个位移分量，相应的也有移分量，相应的也有三个结点力。三个结点力。 记梁元素在局部坐标系中的结点位移记梁元素在局部坐标系中的结点位移列阵和结点力列阵分别为：列阵和结点力列阵分别为：jjjiiiejjjiiieMVUMVUFvuvu一、梁元素在局部坐标系中的平衡方程及刚度矩阵一、梁元素在局部坐标系中的平衡方程及刚度矩阵 根据元素刚度矩阵的物理意义，可以写出梁元素在局部坐标根据元素刚度矩阵的物理意义，可以写出梁元素在局部坐标系中的刚度矩阵具有如下形式：系中的刚度矩阵具有如下形式：jjjiiiMVUMV

3、Ujjjiiivuvu jjjiijiieKKKKK111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566kkkkkkkkkkkkkkkkkk=kkkkkkkkkkkkkkkkkkKe2623522323226 126 12LEJkLEJkLEJkLEJk，LEJkLEJkLEJkLEJk2 64 66325333223，2653552353256 126 12LEJkLEJkLEJkLEJk，LEJkLEJkLEJkLEJk4 62 66625636226， 根据刚度系数物理意义，可以确定元素刚度矩阵中

4、各个刚度系数的值。根据刚度系数物理意义，可以确定元素刚度矩阵中各个刚度系数的值。 在线弹性小变形假设下，梁的纵向在线弹性小变形假设下，梁的纵向( (轴向轴向) )变形与横向变形不耦变形与横向变形不耦合。合。即：轴向变形不会影响到横向变形的刚度系数，反之亦然。即：轴向变形不会影响到横向变形的刚度系数，反之亦然。因此，轴向变形的刚度系数与桁架结构的一致因此，轴向变形的刚度系数与桁架结构的一致 。 梁元素在局部坐标系中的刚度矩阵为：梁元素在局部坐标系中的刚度矩阵为：LEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEALEALEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEALEAKe460260

5、612061200000260460612061200000222323222323 如果不计轴向变形，则梁元素在局部坐标系中的刚度矩阵为：如果不计轴向变形，则梁元素在局部坐标系中的刚度矩阵为：jjiievvLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJLEJK 46266126122646612612222323222323二、梁元素刚度矩阵的坐标变换二、梁元素刚度矩阵的坐标变换jjjjjjjjiiiiiiiivuvvuuvuvvuucossinsincoscossinsincosjjjiiijjjiiijjjiiivuvuTvuvuvuvu100

6、0000000000000010000000000cossin二、梁元素刚度矩阵的坐标变换二、梁元素刚度矩阵的坐标变换梁元素在总体坐标系下的刚度梁元素在总体坐标系下的刚度矩阵的变换式为：矩阵的变换式为： 梁元素在总体坐标系中的梁元素在总体坐标系中的刚度方程为：刚度方程为：eeeKFTKTKeeT注意到：梁元素的刚度矩阵也是对称的。但从表面上看，注意到：梁元素的刚度矩阵也是对称的。但从表面上看，的规律不存在。这种现象是由于梁元刚度矩阵中不仅有力，而且的规律不存在。这种现象是由于梁元刚度矩阵中不仅有力，而且有力矩，它们的平衡不能用简单的加减来表示而造成。有力矩，它们的平衡不能用简单的加减来表示而造

7、成。 10nijiK三、刚架结构的总刚度矩阵的组集和总刚度方程的求解三、刚架结构的总刚度矩阵的组集和总刚度方程的求解 对于刚架结构，其对于刚架结构，其总刚度矩阵的组集和总刚度方程总刚度矩阵的组集和总刚度方程的求解，的求解，与桁架的完全相同的，可参考桁架的相应内与桁架的完全相同的，可参考桁架的相应内容。这里不再详述。容。这里不再详述。四、刚架的位移法求解四、刚架的位移法求解【例题【例题3】用位移法求图示刚架的结点位移。设全部杆件的弯曲】用位移法求图示刚架的结点位移。设全部杆件的弯曲刚度均为刚度均为EJ 。解：解：(1)建立总体坐标系、结建立总体坐标系、结点编号、元素编号。点编号、元素编号。(2)

8、元素刚度矩阵。元素刚度矩阵。对于元素对于元素1-2：2211222323222323)1( 46266126122646612612vvLLLLLLLLLLLLLLLLEJK对于元素对于元素2-3：3322222323222323)2( 244622464681246812224624464681246812vvLLLLLLLLLLLLLLLLEJK(3) 组集总刚：组集总刚：3322222323222323 244622464681246812224624464681246812vvLLLLLLLLLLLLLLLLEJ332211vvv0031yyRMPRP11222323222323 46

9、266126122646612612vLLLLLLLLLLLLLLLLEJ在此叠加。在此叠加。(4) 引入位移边界：引入位移边界：00 212301629223292276026432212222322MPvLLLLLLLLLLLLLLEJ031 vv(5) 解上述方程，求出位移。解上述方程，求出位移。，消除总刚奇异性。，消除总刚奇异性。MPLLLLEJv32249122322MPLLLLEJ34235912231【例题【例题4】用位移法求图示结构】用位移法求图示结构2点的位移。点的位移。解：解：(1)结构对称，取一般结构计算。结构对称，取一般结构计算。建立总体坐标系、结点编号、建立总体坐标系

10、、结点编号、元素编号，视弹簧为杆元，结元素编号，视弹簧为杆元，结构为杆与梁的组合结构。构为杆与梁的组合结构。(2)元素刚度矩阵。元素刚度矩阵。对于梁元对于梁元(1)，局部坐标与总体坐标，局部坐标与总体坐标一致，刚度矩阵不必转换。一致，刚度矩阵不必转换。 111220uvu考虑到边界条件：考虑到边界条件：3)1(12LEJK2v【例题【例题4】用位移法求图示结构】用位移法求图示结构2点的位移。点的位移。对元素对元素(2)：42刚度矩阵：刚度矩阵：kK)2(2vcos900sin901， 边界条件：边界条件： 2440uuv(3) 总刚度矩阵及总刚度方程。总刚度矩阵及总刚度方程。PvkLEJ231

11、2(4) 解得解得)( 1232kLEJPv5.4 对称条件的利用对称条件的利用 对于对称结构受正对称载荷或反对称载荷作用，利用对称对于对称结构受正对称载荷或反对称载荷作用，利用对称定律，可计算其对称的部分结构。在对称轴（面）上的位移应定律，可计算其对称的部分结构。在对称轴（面）上的位移应满足对称条件，可以看作是位移约束条件。满足对称条件，可以看作是位移约束条件。 当结构为在自平衡力系作用下的自由结构时，可利用静力等当结构为在自平衡力系作用下的自由结构时，可利用静力等效的方法，引入相当数量的附加约束效的方法，引入相当数量的附加约束。引入附加约束的原则：引入附加约束的原则：（1）必须足够，以消除

12、最优结构的刚体位移。）必须足够，以消除最优结构的刚体位移。（2）必须和部分外载荷静力等效，引入附加约束引起的）必须和部分外载荷静力等效，引入附加约束引起的支反力和原外载荷大小及方向必须一致。支反力和原外载荷大小及方向必须一致。5.5 斜支座的处理斜支座的处理 对于图中对于图中2点的斜支座，因点的斜支座，因其零位移的方向与总体坐标其零位移的方向与总体坐标轴不平行，故不能简单地引轴不平行，故不能简单地引入到总刚度方程中删行删列。入到总刚度方程中删行删列。必须做适当的处理。必须做适当的处理。21212121222221111211nininnninniniiiininiPPPPKKKKKKKKKKK

13、KKKKK对于总刚度方程：对于总刚度方程： 设第设第 i 个结点在斜支座上，斜个结点在斜支座上，斜支座和总体支座和总体 x 轴的夹角为轴的夹角为 。由投影关系，可得：由投影关系，可得：iiiL写成矩阵形式：写成矩阵形式：cossinsincosiiiiiivuvvuuiiiPLP 并有：并有：cossinsincosiL 代入总刚度方程中，有：代入总刚度方程中，有：21212121222221111211niininnininniniiiiiniiniiPPLPPKLKKKKLKKKKLKKKKLKKK 将第将第 i 个方程前乘个方程前乘 ，则有：，则有：212121T2T1T22222111

14、1211nininnininniniiiiiiiiniiniiPPPPKLKKKKLKLKLKLKLKKKKLKKKT1iiLL写成矩阵形式：写成矩阵形式：)(PLKLT或，或，PK 其中，其中，21ni21niPPPPPILIILi I 为二阶单位矩阵。为二阶单位矩阵。本章小结本章小结 我们看到，在分析超静定结构时，我们看到，在分析超静定结构时，位移法位移法与与力法力法的主要区别的主要区别是它们所选取的基本未知量不同。力法是以结构中的多余未知是它们所选取的基本未知量不同。力法是以结构中的多余未知力为基本未知量，求出多余未知力后，再据此算得其他未知内力为基本未知量，求出多余未知力后，再据此算得其他未知内力和位移。而位移法是取结点位移为基本未知量，根据求得的力和位移。而位移法是取结点位移为基本未知量，根据求得的结点位移再算得结构的未知内力。结点位移再算得结构的未知内力。 力法解题思路简捷、直观，传力路线清晰，适用于分析简单力法解题思路简捷、直观，传力路线清晰，适用于分析简单超静定问题，但对于较高阶超静定次数的复杂结构，力法则显超静定问题，但对于较高阶超静定次数的复杂结构，力法则显得无从下手