一、随机变量方差的定义及性质

1、一、随机变量方差的定义及性质一、随机变量方差的定义及性质三、例题讲解三、例题讲解二、常见概率分布的方差二、常见概率分布的方差四、矩的概念四、矩的概念第第3.23.2节节 随机变量的方差和矩随机变量的方差和矩五、小结五、小结).(,)(.)()()(),()(,)(,)(,XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为记为为标准差或均方差为标准差或均方差称称即即或或记为记为的方差的方差为为则称则称存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设22222 1. 方差的定义方差的定义 (定义定义3.3)一、随机变量方差的定义及性质一、随机变量方差的定义及性质方差描述了随机变量方差描述了随机变量X取

2、值对于取值对于数学数学期望期望的分散程度的分散程度.如果如果D(X)值大值大, 表示表示X 取取值分散程度大值分散程度大, E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果D(X) 值小值小, 则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中,以以E(X)作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好.2. 方差的意义方差的意义离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差,d)()()(2xxpXExXD 3. 随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 .)(的概率密度的概率密度为为其中其中Xxp., 2

3、 , 1,的的分分布布律律是是其其中中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 证明证明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式计算利用公式计算).()(22XEXE 证明证明22)()()(CECECD 4. 方差的性质方差的性质(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD22CC . 0 (2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有).()(2XDCCXD 证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(

4、YDXDYXD (3) 设设 X, Y 相互独立相互独立, D(X), D(Y) 存在存在, 则则证明证明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推广推广).()()()(22221212211nnnnXDaXDaXDaXaXaXaD 则有则有相互独立相互独立若若,21nXXX即即取常数取常数以概率以概率的充要条件是的充要条件是,CX)X(D)(104 . 1 CXP25)()(),()(CXEXDXEC 则则若若(6)契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明.,)(,)(222成成立立不不等等式式则则对

5、对于于任任意意正正数数方方差差具具有有数数学学期期望望设设随随机机变变量量定定理理XPXDXEX 对连续型随机变量的情况来证明对连续型随机变量的情况来证明.则有则有的概率密度为的概率密度为设设),(xpX 契比雪夫不等式契比雪夫不等式契比雪夫契比雪夫.22XP xxpxd)()(221.122 xxpxxd)( 2222XP .122XP 得得XP xxxpd)(1. 两点分布两点分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有, p 22)()()(XEXEXD 222101p)p(p ppq 二、常见概率分布的方差二、常见概率分布的方差2.

6、 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有则有 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为npppknkEXknknk )1(0)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppCkkknknkkn )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()

7、1()1(pnp 3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk则有则有 0!)(kkekkXE 11)!1(kkke ee . 且且分分布布律律为为设设),(PX )1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkekkk 222)!2(kkke ee2.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于参数都等于参数泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均匀分布均匀分布则有则有xxxpXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其它其它bxaabxp其概率密度为其概率密度为设设),(baUX).(21ba 结论

8、结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 5. 指数分布指数分布 . 0. 0, 0, 0,)(, 其中其中其概率密度为其概率密度为服从指数分布服从指数分布设随机变量设随机变量xxexpXx则有则有xxxpXEd)()( xexxd0 ./1 22)()()(XEXEXD 202/1d xexx22/1/2 ./1/12 和和分分别别为为指指数数分分布布的的期期望望和和方方差差21 6. 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有xxxfXEd)()(

9、 xexxd21222)( tx 令令, tx ., 0,21)(222)( xexfx. ttetettd2d212222 xexXExd21)(222)( 所所以以tettd)(2122 xexxd21)(222)(2 xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx tetXDtd2)(2222 tetettd222222 2202.2 .2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差2分布名称分布名称参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布几何分布几何分布10 pp)1(

10、pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差Gamma分布分布0, /2/ ).(.,)(XDxxxxxpX求求其它其它具有概率密度具有概率密度设随机变量设随机变量 0101011解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 三、例题讲解三、例题讲解例例1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 例例3.15 在每次试验中在每次试验中,事件事件A发生的概率为发生的概率为0.5.(1)利

11、用切比谢夫不等式估计在利用切比谢夫不等式估计在1000次独立试验中次独立试验中,事件事件A发生的次数在发生的次数在400 500之间的概率之间的概率;(2)要使要使A出现的频率在出现的频率在0.35 0.65之间的概率不小之间的概率不小于于0.95,至少需要多少次重复试验至少需要多少次重复试验?解解: 设设X表示表示1000次独立试验中事件次独立试验中事件A发生的次数发生的次数, 则则 X B(1000,0.5), E(X)=1000 0.5=500, 975. 01002501100)(1100| )(|50060050050040060040022 XDXEXPXPXPD(X)=1000

12、0.5 0.5=250, 于是由切比谢夫于是由切比谢夫不等式得不等式得(2)设需要做设需要做n次独立试验次独立试验,则则X B(n,0.5),求求n使得使得成立成立,由切比谢夫不等式得由切比谢夫不等式得故至少需要做故至少需要做223次独立试验次独立试验. 95. 015. 05 . 05 . 065. 05 . 05 . 035. 065. 035. 0 nnXPnnnXnnPnXP 2 .222,95. 09 . 011)15. 0(25. 01)15. 0(115. 05 . 022 nnnnnDXnnXP只只要要)(., 2 , 1),(,kkkXEkkXkXEX 记记为为简简称称的的称

13、称它它为为存存在在若若是是随随机机变变量量设设阶阶矩矩阶阶原原点点矩矩kkkXEXEkXkXEXE)(., 3 , 2 , 1,)( 记为记为的的称它为称它为存在存在若若阶中心矩阶中心矩四、矩的概念四、矩的概念定义定义3.4定义定义3.5.)(1,1的的数数学学期期望望就就是是时时当当显显然然XXEk ).(2XD 显显然然2. 说明说明 ;,)()(方方差差为为二二阶阶中中心心矩矩点点矩矩的的一一阶阶原原是是的的数数学学期期望望随随机机变变量量XXEX2.; )(表表示示阶阶中中心心矩矩可可以以互互相相唯唯一一阶阶原原点点矩矩和和变变量量函函数数的的数数学学期期望望以以上上数数字字特特征征都

14、都是是随随机机kk1.4,)3(阶的矩很少使用阶的矩很少使用高于高于在实际应用中在实际应用中.)(3机机变变量量的的分分布布是是否否有有偏偏主主要要用用来来衡衡量量随随三三阶阶中中心心矩矩XEXE . )( 4近近的的陡陡峭峭程程度度如如何何机机变变量量的的分分布布在在均均值值附附主主要要用用来来衡衡量量随随四四阶阶中中心心矩矩XEXE 五、小结五、小结1. 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程取值分散程度的量度的量. 如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果D(X)值小值小, 则表示

15、则表示X 的的取值比较集中取值比较集中, 以以E(X) 作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好.,)()()(22XEXEXD 2. 方差的计算公式方差的计算公式,)()(12kkkpXExXD .d)()()(xxpXExXD 23. 方差的性质方差的性质 ).()()(YX,3);()(2; 0)(10200YDXDYXDXDCCXDCD独立时，独立时，当当22XP .122XP 4. 契比雪夫不等契比雪夫不等式式.变变量量的的数数字字特特征征矩矩是是随随机机5.;)(方方差差为为二二阶阶中中心心矩矩的的一一阶阶原原点点矩矩是是的的数数学学期期望望随随机机变变量量XXEXPafnut

16、y ChebyshevBorn: 16 May 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia契比雪夫资料契比雪夫资料)44(2 XXE44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所所以以解解)44()2(22 XXEXE4)(4)(2 XEXE.)2(, 5)(, 3)(2 XEXDXE求求已已知知例例1备份题备份题.)(;,)(:,)(.,)(的数学期望与方差的数学期望与方差随机变量随机变量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度为的概率密度为设随机量设随机量XeYcbaXPXExbc

17、xxaxxpX 213431304220 解解,d)()(11 xxp因为因为例例2xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,432523d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以, 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此有因此有,)1(16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220 ,)1(4

18、122 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 证明证明, 1 n.)(,., !)(1120000 nnnXPnxxnexxpXxn试证试证为正整数为正整数其中其中的分布密度为的分布密度为设随机变量设随机变量xxpxXEd)()( 22xexxnxnd!102 例例3xexxnxxxpXExnd!d)()( 01因为因为2) 1() 1)(2( nnn1) 1() 1( nnXnP1)1( nnXPxexxnxnd!102 ),1)(2( nn. 1 n22)()()(EXXEXD 所以所以)1(20 nXP又又因因为为2)1(11 nn.1 nn.1)1(20 nnnXP)1()(1 nXEXP2)1()(1 nXD1)( nXEXP故得故得.,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的概率的概率求活塞能装入气缸求活塞能装入气缸任取一只气缸任取一只气缸任取一只活塞任取一只活塞相互独立相互独立气缸的直径气缸的直径计计以以设活塞的直径设活塞的直径YXNYNX解解),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22(22NYN