二阶动态电路分析

1、电路分析电路分析5-15-1 RuRuCCuLL (t=0)iK 电路如图所示，设电路如图所示，设u uC C(0(0)=)=U U0 0，i iL L(0(0)=0)=0。t t=0=0时，开关时，开关K K闭合。在图示电流、电压参考方向下，由闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVLKVL，可得：可得：0LRCuuu由元件伏安关系得：由元件伏安关系得： CduiCdtCRduuRiRCdt22CLd udiuLLCdtdt022CCCudtduRCdtudLC2210CCCd uduRudtL dtLC或或特征方程为特征方程为012LCSLRS特征根为特征根为LCLRLRS1)2(222

2、; 1 特征根特征根S S1 1、S S2 2由电路本身的参数由电路本身的参数R R、L L、C C的数值确定，根的数值确定，根据据R R、L L、C C数值不同，特征根可能出现以下三种情况：数值不同，特征根可能出现以下三种情况： （1 1）当）当R R （即即 ）时，）时，S S1 1、S S2 2为两个不等的为两个不等的 负实根；负实根； CL2212RLLC（2 2）当）当R R （即即 ）时，）时，S S1 1、S S2 2为一对实部为为一对实部为 负的共轭复根；负的共轭复根； CL2LCLR122（3 3）当）当R = R = （即即 ）时，）时，S S1 1、S S2 2为一对相等

3、的为一对相等的 负实根；负实根； CL2LCLR122一、过阻尼情况一、过阻尼情况 )2(CLR此时此时S S1 1、S S2 2为不相等的负实根为不相等的负实根 ，即有，即有211222122122RRSLLLCRRSLLLC 对应的齐次方程的解为对应的齐次方程的解为 12121212( )S tS tttCutAeA eAeA e0t常数常数A A1 1和和A A2 2由初始条件确定由初始条件确定 12011220(0 )(0 )(0 )(0 )0CCCLLtuuAAUduiiCACA Cdt 联立求解，得：联立求解，得： 21021AU12021AU1221002121( )ttCutU

4、 eU e1202121()ttUee电路中其它响应：电路中其它响应： 0t210122121( )()ttLUdiu tLCLeedt2101221( )()ttCduCUi tCeedt 0t( ),( ),( )CLi t ut u t的波形曲线的波形曲线 由于这种情况下，电路中电阻较大，由于这种情况下，电路中电阻较大，RLCRLC电路无法形电路无法形成振荡，因此称为过阻尼情况成振荡，因此称为过阻尼情况 二、欠阻尼情况二、欠阻尼情况 )2(CLR此时，此时，S S1 1，S S2 2为一对共轭复根，即为一对共轭复根，即 22 , 1212LRLCjLRSdj 2220011,()22dR

5、RLLCLLC令对应的齐次方程的解为对应的齐次方程的解为: :1212( )S tS tCutA eA e()()12ddjtjtA eA e12()ddjtjtteA eA e应用欧拉公式应用欧拉公式 ，上式可表示为，上式可表示为cossinjxexjx1212( )()cos()sintCddu teAAtj AAt12( )(cossin)tCdduteKtKtcos()tdKet待定常数待定常数K K1 1，K K2 2，或或K K，由初始条件确定。由初始条件确定。 10120(0 )(0 )(0 )(0 )()0CCcLLdtuuKUduiiCCKKdt0102 dUKUK0( )(

6、cossin)tCodddUuteUtt00( )()tCddutU ecostdarctg的关系可表示为、od0d电路中其它响应：电路中其它响应： 200( )sintCddduCUi tCetdt 00( )()tLdddiu tLU ecostdt ( ),( ),( )CLi t ut u t的波形曲线的波形曲线 响应有衰减振荡的特性，其振荡幅度按响应有衰减振荡的特性，其振荡幅度按指数规律指数规律 衰减，衰减， 称为衰减系数，称为衰减系数， d d是振荡的角频率。是振荡的角频率。 ( )( )( )CLuti tut、teR R=0=0是欠阻尼的特例。此时是欠阻尼的特例。此时 02LR

7、01dLC000( )coscosCdutUtUt00000( )sinsindi tCUtCUt000( )coscosLdutUtUt ( ),( ),( )CLi t ut u t的波形曲线的波形曲线 R R0 0时，时， 可见，当电路中可见，当电路中R R0 0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡，时，各响应作无阻尼等幅自由振荡， 0 0称为自由振荡频率。由于电路中没有能量损耗，故电容与电称为自由振荡频率。由于电路中没有能量损耗，故电容与电感间不断进行电场能量与磁场能量的交换。振荡一旦形成，就感间不断进行电场能量与磁场能量的交换。振荡一旦形成，就一直持续下来，永不消失。一直持续下来，永不消失

8、。二、临界阻尼情况二、临界阻尼情况 )2(CLR此时此时S S1 1、S S2 2为相等的负实根为相等的负实根 ，即有，即有LRSS221对应的齐次方程的解为对应的齐次方程的解为 1212( )s tS tCutAeA tettteAeA21待定常数待定常数A A1 1，A A22由初始条件确定。由初始条件确定。 10120(0 )(0 )(0 )(0 )00CCCLLtuuAUduiiCAAdt 1020 AUAU电路中其它响应：电路中其它响应： 0( )(1)tCutU et0t2( )tCOdui tCCU tedt 0( )(1)tLdiu tLUtedt0t0t( ),( ),( )

9、CLi t ut u t的波形曲线的波形曲线 其能量转换过程与过阻尼情况相同，电路响应呈振荡状其能量转换过程与过阻尼情况相同，电路响应呈振荡状态与非振荡状态的分界线，故称之为临界振荡情况，态与非振荡状态的分界线，故称之为临界振荡情况，R R称为称为临界电阻。临界电阻。 综上所述，综上所述，RLCRLC串联零输入电路中，随着电阻串联零输入电路中，随着电阻R R从大到小变从大到小变化化，电路工作状态从，电路工作状态从过阻尼过阻尼，临界阻尼临界阻尼到到欠阻尼欠阻尼变化，直至变化，直至R R=0=0为无阻尼状态。其工作状态仅取决于电路的固有频率为无阻尼状态。其工作状态仅取决于电路的固有频率S S1 1

10、、S S2 2，而与初始条件无关。而与初始条件无关。12121212( )S tS tttCu tAeAeAeAe0t过阻尼的响应公式：过阻尼的响应公式：临界阻尼的响应公式：临界阻尼的响应公式：1212( )s tS tCutAeA tettteAeA210t欠阻尼的响应公式：欠阻尼的响应公式：12( )(cossin)tCdduteKtKt0t 例例5-15-1 电路如图所示。电路如图所示。R=1R=1，L=1HL=1H，C=1FC=1F。换路前，电换路前，电路处于稳态。路处于稳态。 。求零输入响。求零输入响应应 。(0 )1V, (0 )1ACui( )( )Cuti t及RuRuCCuL

11、L (t=0)iK解：解：首先求电路的固有频率首先求电路的固有频率 21,21132222dRRSjjLLLC 表明换路后电路处于欠阻尼状表明换路后电路处于欠阻尼状态。其对应的响应为：态。其对应的响应为：12( )(cossin)tCdduteAtAt121233(cossin22teAtAt）由初始条件：由初始条件： 1/2(0 )(0 )1(0)13(0)122CCLCuuAiuAAC3, 121AA222333( )(3sin)2() V (0)22233( )2() A (0)23ttCtCutecostt Ve costtdui tCe costtdt5-25-2 RuRuCCuLL

12、US 电路如图电路如图 ，分析过程如前，分析过程如前，可得电路微分方程为可得电路微分方程为22CCCSd uduLCRCuUdtdt0t 上式是二阶常系数线性非齐次微分方程。它的完全解上式是二阶常系数线性非齐次微分方程。它的完全解由对应齐次方程的通解和非齐次方程特解组成。即由对应齐次方程的通解和非齐次方程特解组成。即)()()(tututuCpChC 通解通解 称为固有响应分量，其模式由电路固有频率称为固有响应分量，其模式由电路固有频率S S1 1、S S2 2决定，即由决定，即由R R、L L、C C的大小决定。的大小决定。 ( )Chut特解特解 为强制响应分量为强制响应分量, ,是与激励

13、具有相同模式的是与激励具有相同模式的常量常量 ( )CputSCpUtu)(可求得特解为：可求得特解为：将特解代入微分方程中将特解代入微分方程中0 22tUudtduRCdtudLCSCpCpCp根据特解和通解可得二阶根据特解和通解可得二阶RLCRLC串联电路全响应的一般形式串联电路全响应的一般形式 2LRC过阻尼过阻尼SttCUeAeAtu2121)(SttCUteAeAu21临界阻尼临界阻尼CLR2欠阻尼欠阻尼CLR212( )(cossin)tCdduteKtKtSU 例例5-25-2 电路如图所示。已知电路如图所示。已知 求零状态响应求零状态响应u uC C(t)(t)和和i i(t)

14、(t) 。11H,F,10,16V,(0 )(0 )09SCLLCRUui解：解：电路对应的齐次方程的根为电路对应的齐次方程的根为 91)2(211)2(22221LCLRLRSLCLRLRS S S1 1、S S2 2为不相等的实根，故此电路属于过阻尼响应，为不相等的实根，故此电路属于过阻尼响应，对应的完全解为对应的完全解为RuRuCCuLLUS( )( )( )CChCpututut129121216S tS tttSAeA eUAeA e利用初始条件，求待定常数利用初始条件，求待定常数 12120(0 )(0 )1601(0 )(0 )(9)09CCCtuuAAduiiCAAdt1218

15、 2AA 联立求得：联立求得： 9( )18216 V(0)ttCuteet 9( )22 A(0)ttCdui tCeetdt 例例5-35-3电路如图所示，已知电路如图所示，已知L=1HL=1H，C=1/5FC=1/5F，R=2R=2，U US1S1=4V =4V U US2S2=6V =6V ，t0t0时，电路处于稳态。时，电路处于稳态。 时刻，时刻，K K1 1打开，打开，K K2 2闭合。闭合。求求 时，电路的全响应时，电路的全响应 。 0t0t)(tuCUS2RuC(t)CLi(t)K2t =0t =0K1US1解：解：t t000时，时，K K1 1打开，打开，K K2 2闭合。

16、此时电路为闭合。此时电路为RLCRLC串联电路串联电路, ,对对应齐次方程的根为应齐次方程的根为 21,2111 51222RRSjLLLC 122( )( )( )(cossin)tCChCpddsu tututeKt KtU对应完全解为：对应完全解为： 12(2sin2 )6teK cos tKt利用初始条件，确定待定系数利用初始条件，确定待定系数1210(0 )(0 )6 4(0 )(0 )20CCCLLtuuKduiiCKKdt 122,1KK ( )( 2cos2sin2 )6tCutett5-35-3 ( )( )( )GCLsititi tI 以以i iL L为求解变量，代入元件

17、伏为求解变量，代入元件伏安关系并整理得：安关系并整理得： KISu(t)GCLiG(t)iC(t)iL(t)t=0电路如图所示，根据电路如图所示，根据KCLKCL有有0 22tIidtdiGLdtidCLSLLL0 22tUudtduRCdtudLCSCCC并联电路并联电路串联电路串联电路 GLC GLC并联电路与并联电路与RLCRLC串联电路互为对偶电路。其求解方法串联电路互为对偶电路。其求解方法与与RLCRLC串联电路的求解方法完全相同。串联电路的求解方法完全相同。 特征方程为特征方程为 012 GLSCLS特征根为特征根为CLCGCGS1)2(222 ; 1一、过阻尼情况一、过阻尼情况

18、)2(LCG0 2121tIeAeAiSttL三、临界阻尼情况三、临界阻尼情况 )2(LCG0 21tIteAeAiSttL二、欠阻尼情况二、欠阻尼情况 )2(LCG0 )sincos(21tItKtKeiSddtL5-45-4 前面讨论的前面讨论的RLCRLC串联或串联或GLCGLC并联电路，是结构形式最简单的并联电路，是结构形式最简单的二阶电路。对于任意结构形式的一般二阶电路，其电路激二阶电路。对于任意结构形式的一般二阶电路，其电路激励励响应关系仍满足二阶微分方程。其分析方法并无区别，响应关系仍满足二阶微分方程。其分析方法并无区别，基本步骤仍为：基本步骤仍为：（1 1）以）以 或或 为变量

19、，列写二阶微分方程。为变量，列写二阶微分方程。 LiCu（2 2）根据微分方程列写特征方程并求特征根）根据微分方程列写特征方程并求特征根（3 3）根据特征根列写方程的通解）根据特征根列写方程的通解（4 4）根据初始值，确定通解中的待定系数）根据初始值，确定通解中的待定系数 例例5-5 5-5 电路如图所示，试求电路如图所示，试求u u2 2满足的微分方程。满足的微分方程。 USu1C1i1R1iC2R2i2u2解：由元件伏安关系和解：由元件伏安关系和KVLKVL有：有： 222212 222221222211212211212121()SSduiCdtduuR iuR CudtuuduiuR CuRRdtdud uduiCR C CCdtdtdt由由KCLKCL有：有： 120iii0)(122212222222221dtduCdtduCdtudCCRudtduCRuRSSuudtduCRCRCRdtudCCRR222221112222121)(化简整理得：化简整理得：USu1C1i1R1iC2R2i2u2uLiCi10AuC0.2F2i42H 例例5-65-6 时，电路如图所示。时，电路如图所示。 求求 时的时的