鲍建生--数学能力的分析框架

1、华东师大数学系华东师大数学系 鲍建生鲍建生 教学的教学的评价评价为了教学为了教学的评价的评价教学即教学即评价评价 知识丰富领域的问题解决有什么特点？知识丰富领域的问题解决有什么特点？ 陈述性知识陈述性知识 程序性知识程序性知识 策略性知识策略性知识 例：运算能力与乘法公式，运算法则例：运算能力与乘法公式，运算法则，三角公式之间的关系，三角公式之间的关系 抽象：理性的直观抽象：理性的直观 精确：规则的运用精确：规则的运用 效率：最优化效率：最优化 化归：典型例题化归：典型例题+化归策略化归策略 公理化：在假设的基础上进行推理公理化：在假设的基础上进行推理 形式化：符号变换形式化：符号变换需要复杂

2、的、非算法化的思维（即任务、任务讲需要复杂的、非算法化的思维（即任务、任务讲解、或已完成的例子没有明显建议一个可预料的、解、或已完成的例子没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径借鉴）预演好的方法或路径借鉴）探索和理解数学观念、过程和关系的本质探索和理解数学观念、过程和关系的本质对自己的认知过程自我调控对自己的认知过程自我调控启用相关知识经验，在任务完成过程中恰当使用启用相关知识经验，在任务完成过程中恰当使用要求学生分析任务并积极检查对可能的问题解决策要求学生分析任务并积极检查对可能的问题解决策略和解法起限制作用的因素略和解法起限制作用的因素需要相当大的认知努力，也许由于解决策略不可预需要

3、相当大的认知努力，也许由于解决策略不可预期的性质，学生还会有某种程度的焦虑期的性质，学生还会有某种程度的焦虑QUASAR的目标分类的目标分类（ Stein & Smith, 1998 ） 数学能力本身是作为一种特殊形式存在，与数学能力本身是作为一种特殊形式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般心理过程和人格品质的特殊化呢？也就是说心理过程和人格品质的特殊化呢？也就是说，一般智力是与数学能力一起发展的吗？换，一般智力是与数学能力一起发展的吗？换句话说，人们能说数学能力不外是一般智力句话说，人们能说数学能力不外是一般智力加上对数学的兴趣和学习数

4、学的倾向性吗？加上对数学的兴趣和学习数学的倾向性吗？桑代克：一般的代数能力与纯粹的代数能力桑代克：一般的代数能力与纯粹的代数能力 数学家的数学能力与学生的数学能力有本质数学家的数学能力与学生的数学能力有本质的区别，还是仅仅程度上的差异？的区别，还是仅仅程度上的差异？ 数学研究的能力与数学学习的能力的区别？数学研究的能力与数学学习的能力的区别？ 数学能力是单一性的（单独的、不可再分的）还是数学能力是单一性的（单独的、不可再分的）还是综合性的（复杂的）？如果是综合性的，人们就可综合性的（复杂的）？如果是综合性的，人们就可追问关于数学能力的结构问题，也就是复杂心理形追问关于数学能力的结构问题，也就是

5、复杂心理形式的组成成分问题。式的组成成分问题。 如何分析数学能力的结构如何分析数学能力的结构/成分成分/因素因素/类型？类型？能力的三维结构：内容能力的三维结构：内容+过程过程+产品；产品；能力的因素理论；能力的因素理论；多元智力，成功智力等多元智力，成功智力等 数学能力的核心是什么？数学能力的核心是什么？运算运算+算法算法抽象抽象+证明证明 不同学段的能力培养的重心是否也不同？是否有一不同学段的能力培养的重心是否也不同？是否有一贯的能力？贯的能力？ 任务导向：任务导向：培养不同的能力需要不同的任务；培养不同的能力需要不同的任务； 不同的任务需要相应的教学策略不同的任务需要相应的教学策略 林崇

6、德先生提出了三个可操作的训练方法：林崇德先生提出了三个可操作的训练方法：概括能力是思维训练的基础；概括能力是思维训练的基础；思维品质：敏捷性、灵活性、创造性、批判性与深刻性思维品质：敏捷性、灵活性、创造性、批判性与深刻性思维能力发展的最终目标是发展逻辑思维能力。思维能力发展的最终目标是发展逻辑思维能力。 其它的切入口：其它的切入口：高层次思维；高层次思维；元认知：定向、控制、调节；元认知：定向、控制、调节；探究性学习；探究性学习；长作业长作业 数学能力是否存在类型差异？数学能力是否存在类型差异？ 几何型、分析型、综合型；几何型、分析型、综合型； 发散型、聚合型；发散型、聚合型； 数学优生、中等

7、生、后进生的数学能力有哪些差异？数学优生、中等生、后进生的数学能力有哪些差异？ 典型例题与化归策略的掌握；典型例题与化归策略的掌握； 分析与实施的时间分配；分析与实施的时间分配； 多向思考多向思考 不同年级不同年级/学段的学生的数学能力有哪些差异？学段的学生的数学能力有哪些差异？ 层次性：从低层次向高层次发展；层次性：从低层次向高层次发展； 进阶性：数学能力的发展是基于教学而不是自然而然？进阶性：数学能力的发展是基于教学而不是自然而然？ 内隐性：低层次属于内隐，到高层次成为外显；内隐性：低层次属于内隐，到高层次成为外显； 适配性：教学水平要和学生的能力水平相匹配。适配性：教学水平要和学生的能力

8、水平相匹配。 男女生的数学能力是否有差异？男女生的数学能力是否有差异？ 东西方学生的数学能力有什么差异？东西方学生的数学能力有什么差异？p核心思想：守恒、类包含、序（皮亚杰）核心思想：守恒、类包含、序（皮亚杰）p运算能力：算法、流畅性、数感、估算运算能力：算法、流畅性、数感、估算p推理能力：定量思维、比例推理推理能力：定量思维、比例推理p模式与代数：模型、规律、抽象、符号模式与代数：模型、规律、抽象、符号p空间能力：直觉、空间感、想象空间能力：直觉、空间感、想象p数学论证：实验、猜想、论证、演绎数学论证：实验、猜想、论证、演绎l概念理解：理解数学概念、概念理解：理解数学概念、运算及关系运算及关

9、系l流畅的运算能力：灵活地、流畅的运算能力：灵活地、准确地、有效地及适当地实准确地、有效地及适当地实施数学程序施数学程序l选择策略的能力：能形成、选择策略的能力：能形成、表征及解决数学问题表征及解决数学问题l适当的推理能力：逻辑思维适当的推理能力：逻辑思维、反思、解释及辩证的能力、反思、解释及辩证的能力l数学的鉴赏力：相信数学是数学的鉴赏力：相信数学是合理的、有用的和有价值的合理的、有用的和有价值的情境脈絡個人：購物、飲食職業：試算表使用社會：選舉、經濟科學：醫學、天氣內容領域改變與關係：函數、代數、方程式空間與形狀：座標系統、幾何測量數量：數與單位、四則計算、百分比不確定性：抽樣、機率、資料

10、變異性溝通建模表徵推論策略發展符號的使用與運算工具使用1. 获得数学信息。获得数学信息。 对于数学材料形式化感知的能力；对问题形对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。式结构的掌握能力。2. 数学信息加工数学信息加工在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。力；对数学符号进行思维的能力。B. 迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。C. 缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能

11、力。结构进行思维的能力。D. 在数学活动中心理过程的灵活性。在数学活动中心理过程的灵活性。E. 力求解答的清晰、简明、经济与合理。力求解答的清晰、简明、经济与合理。F. 迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）3. 数学信息保持。数学信息保持。数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。4. 一般综合性组成成分。一

12、般综合性组成成分。数学气质。数学气质。110F2F1分析分析运用运用领会领会概念概念计算计算从数学角度从数学角度提出问题提出问题数学表数学表征征数学符数学符号变换号变换数学推理数学推理与论证与论证数学建模数学建模数学地解决数学地解决问题问题数学交流数学交流经验材料的数学组织数学材料的逻辑组织数学理论的应用测试目标：测试目标：p 学生的思考过程（多样性、灵活性学生的思考过程（多样性、灵活性独创性；障碍、错误、缺陷等）；独创性；障碍、错误、缺陷等）；p 专项能力的诊断（运算能力、推理专项能力的诊断（运算能力、推理能力、空间想象能力等）；能力、空间想象能力等）；p 能力差异（思维方式、记忆类型、能力

13、差异（思维方式、记忆类型、化归策略等）化归策略等）系列系列1：没有提出问题的题目：没有提出问题的题目系列系列2：信息不完全的题目：信息不完全的题目系列系列3：有多余信息的题目：有多余信息的题目系列系列4：具有互相渗透因素的题目：具有互相渗透因素的题目 系列系列5：单一类型的题目体系：单一类型的题目体系系列系列6：不同类型的题目体系：不同类型的题目体系系列系列7：从具体到抽象逐渐过渡的题目体系：从具体到抽象逐渐过渡的题目体系系列系列8：按照特定的类型编题：按照特定的类型编题系列系列9：证明题：证明题系列系列10：运用题目的各种条件列方程式：运用题目的各种条件列方程式系列系列11：不现实的题目：不

14、现实的题目系列系列12：形成人工概念：形成人工概念系列系列13：有几种解法的题目：有几种解法的题目系列系列14：变化内容的题目：变化内容的题目系列系列15：重建一种运算的题目：重建一种运算的题目系列系列16：暗示：暗示“自我限制自我限制”的题目的题目系列系列17：正向和反向的题目：正向和反向的题目系列系列18：启发（探索）性课题：启发（探索）性课题系列系列19：关于理解和逻辑推理的题目：关于理解和逻辑推理的题目系列系列20：系列题目：系列题目系列系列21：数学诡辩题：数学诡辩题系列系列22：项目难记的题目：项目难记的题目系列系列23：在解答中具有不同程度直观性的题目：在解答中具有不同程度直观性

15、的题目系列系列24：既有语言又有直观表达的题目：既有语言又有直观表达的题目系列系列25：有关空间概念的题目：有关空间概念的题目系列系列26：揭露非智力活动方面的直观形象与语言逻辑：揭露非智力活动方面的直观形象与语言逻辑 成分之间关系的题目成分之间关系的题目 结论结论检验检验尝试解题尝试解题实施实施解题方案解题方案探究探究计划计划原理与系统原理与系统相关问题或新信息相关问题或新信息分析分析给定问题给定问题小困难小困难主要困难主要困难匈菲尔德，匈菲尔德，1985p 自发的问题解决训练是不够的，即使在良好的环境自发的问题解决训练是不够的，即使在良好的环境中，学生也难以自己去总结探索的策略。也就是说中

16、，学生也难以自己去总结探索的策略。也就是说，明确的训练是必需的。，明确的训练是必需的。p 在合适的环境下（问题和控制行为都在小范围中进在合适的环境下（问题和控制行为都在小范围中进行，探索策略被明确加上标签，并作出应用的示范行，探索策略被明确加上标签，并作出应用的示范；练习也是相关的），学生能够掌握一定的探索策；练习也是相关的），学生能够掌握一定的探索策略并用于解决相关的但不完全一样的问题。略并用于解决相关的但不完全一样的问题。p 用注意分析学生（包括实验组和控制组）失败的原用注意分析学生（包括实验组和控制组）失败的原因，从某种意义上说，实验中失败的情况，比成功因，从某种意义上说，实验中失败的情

17、况，比成功的例子更有启发性。的例子更有启发性。匈菲尔德，匈菲尔德，1985评价评价目标目标 学生产生的问题解决途径的频率和学生产生的问题解决途径的频率和数目；数目； 学生采用这些途径的程度；学生采用这些途径的程度；1. 运用这些途径的成功的情况。运用这些途径的成功的情况。设设P是测验中的一个问题，首先，列出所有的至少一个学生采是测验中的一个问题，首先，列出所有的至少一个学生采用过的解题方法，然后针对所列的每一种解法，考虑下面的问用过的解题方法，然后针对所列的每一种解法，考虑下面的问题，并根据这些问题打分：题，并根据这些问题打分：证据。证据。学生有无注意过这种方法？例如，他说过：学生有无注意过这种方法？例如，他说过：“我想我想寻找归纳模式寻找归纳模式”；或者画了一个草图等。；或者画了一个草图等。追溯。追溯。学生有无采用这种方法？由于要求学生写下学生有无采用这种方法？由于要求学生写下“任何任何与问题有关的念头与问题有关的念头”，因此，学生可能写下一种没有采用，因此，学生可能写下一种没有采