新第13章弯曲变形

1、13- -1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题13- -2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程13- -3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形13- -6 简单静不定梁简单静不定梁13- -5 梁的刚度校核梁的刚度校核 13- -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形第十三章第十三章 弯曲变形弯曲变形13.1 13.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 13.2 13.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 )(1xfw )(2xfxywddtantantanddxywzEIM12/32)1 ()(1wwx 1)1 (2wzEIxMw)( 13.3 13

2、.3 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形zEIxMw)( CxxMwEIEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(zDCxxxxMwEI d)d)(z0 x0|0 xw0|0 x0 x0|0 xw0|0 xlx 0|lxw0|lxCxxMEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z021|xaxww021|xaxBBw)()(lxFxM)()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(21ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(210 x0A0Aw0212C

3、Fl0613DFl221FlC361FlD EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlB22EIFlwB33lFbFAlFaFB11xlFbM )0(1ax )(222axFxlFbM)(2bxa11xlFbwEI 12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw)(222axFxlFbwEI 222222)(22CaxFxlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIw12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw222222)(22CaxF

4、xlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIwaxax21|21axaxww21|21021 DD)(62221bllFbCC01x0Awlx 0Bw得：)3(622211lbxlFbEI122311)(6xlbxlFbwEI2222212)(3)3(6axbllbxlFbEI32222222)()(6axblxlbxlFbwEIlx 2EIlalFabB6)( ba EIblFbwl48)43(22213.4 13.4 用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形2/2qlM 解：解：CMCqCwwwEIMl162CMwEIql38454CqwEIqlEIMlEIql3841

5、7163845424AMAqAAMEIMl3AqEIql243EIqlEIMlEIql24532433CCBlwwtan2CBCCtanCCBlww2EIqlEIlq1288)2(44CwEIqlEIlq486)2(33CEIqllEIqlEIqlwB3847248128434EIqlCB483解：解：EIqlEIMlBC243312EIqlEIlqC486)2(3311288)2(441qlEIlqwCEIqllwBC482412EIqlBC24323EIqllwBC482423EIqlEIqlEIqlEIqlCCCC482424483333321EIqlEIqlEIqlEIqlwwwwCC

6、CC12848481284444321思考题（限思考题（限2分钟）分钟）求梁跨中挠度和转角求梁跨中挠度和转角，ABl / 2ql / 2Cq/2q/2q/2=+考察两梁变形中点挠度EIqlEIlqwB7685384)2/( 544中点转角EIqllEIqB384)2(24)2/(33一一 梁的刚度条件梁的刚度条件 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应满足刚度条件(stiffness condition)：式中l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，为许可转角。上列刚度条件常称为梁的刚度条件。lwlwlwmaxmax13.5

7、13.5 梁的刚度校核梁的刚度校核例例13-6 桥式起重机大梁最大载荷桥式起重机大梁最大载荷F=20kN，梁体为，梁体为32a工字工字钢，钢，E=210GPa， 。规定。规定 。校核大梁的刚。校核大梁的刚度。（课后度。（课后13-5题）题）ml76. 8 500lw Fl解：查表得梁最大挠度位于跨中，绝对值EIFlwMAX483 EIFllwMAX4828921011100102104876. 820000002. 05001001372. 0刚度满足 二二 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施(1) 增大梁的抗弯刚度EI 由于不同牌号的钢材弹性模量E大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的抗弯

8、刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的抗弯刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为22max125. 08qlqlMEIqlEIqlw44max0130. 03845(2) 调整跨长和改变结构的体系 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为22max0214. 02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max6

9、16000. 01622238425(a)EIqlEIql44013021. 03845对比而此时外伸端D和E的挠度也仅为)(207000. 02)2(224)2(84234EIqlaEIalqaaEIalqEIqawwED 所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里指增加梁的支座使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个可动支座，又如在简支梁的跨中增加一个可动支座。13-6 13-6 简单静不定梁简单静不定梁一一 基本概念基本概念超静定梁：梁的约束力个数大于独立平衡方程数。多余约束：多余的维持梁变形必须的约束。超静定次数：等于多余约束或多余约束力的数目。二二 求解方法求解方法1.解除多余

10、约束，选取静定基，列静力平衡方程。2.比较变形，列变形协调条件。3.由物理关系建立补充方程。4.综合三类方程求解约束力。静定基：将超静定结构变成静定结构时的相当系统。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA求梁的约束力，梁的抗弯刚度为EI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1）判定超静定次数，选取静定基）判定超静定次数，选取静定基 在梁的在梁的A和和B处共有处共有3个未知力，个未知力，独立平衡方程数等于独立平衡方程数等于2，所以是一，所以是一次超静定问题。选取静定基如图次超静定问题。选取静定基如图(b

11、)(b)所示。在去掉约束处用一未知所示。在去掉约束处用一未知力力 代替，如图代替，如图(c)(c)所示。所示。ByF2）进行变形比较，列协调条件）进行变形比较，列协调条件将图将图(c)(c)等效如图等效如图(d)(d)所示。所示。(d)ABCFByABFC0)()( ByFBFBByyy三、例题三、例题例例13-713-7为了使静定基的变形与原超静定为了使静定基的变形与原超静定梁相同，梁相同，B处挠度必须是处挠度必须是0 0，即为，即为变形协调条件变形协调条件 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA3）由物理关系列力补充方程）由物理关系列力补充方程 查表可得，查表可得，EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32 EIaFyByFBBy38)(3 03831433 EIaFEIFaBy所以所以FFBy47 4）由整体平衡条件求其他约束力）由整体平衡条件求其他约束力 FFFaMAyA43,2例例13-8 房屋建筑中的某一等截面梁简化成均布载荷作用下的房屋建筑中的某一等截面梁简化成均布载荷作用下的双跨梁，试做梁的剪力图和弯矩图。（课后双跨梁，试做梁的剪力图和弯矩图。（课后13-7题）