太原理工大学数值计算方法题库

1、太原理工大学数值计算方法题库数值计算方法试题一一、 填空题1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（10）次。2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。3、已知是三次样条函数，则=(3)，=（3），=（1）。4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则(1)，()，当时()。5、设和节点则 6和。6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则0。8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。9、解初值问题的改进欧拉法是2阶方法。10、设，当（）时，必有分解式，其

2、中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、选择题1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（2）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（1）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（1）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（3）。(1), (2),

3、 (3), (4)三、1、用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.3解： 解方程组 其中 解得： 所以 ， 2、用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，(1)试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。解：四、1、方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。解

4、：（1），故收敛；（2），故收敛；（3），故发散。选择（1）：， ，Steffensen迭代：计算结果：， 有加速效果。2、已知方程组，其中，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：， SOR迭代法：五、1、取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格库塔法求的值。解：改进的欧拉法：所以；经典的四阶龙格库塔法：，所以。2、求一次数不高于4次的多项式使它满足,解：设为满足条件的Hermite插值多项式，则 代入条件得：六、（下列2题任选

5、一题，4分）1、 数值积分公式形如1,试确定参数使公式代数精度尽量高；2,设，推导余项公式，并估计误差。解：将分布代入公式得：构造Hermite插值多项式满足其中则有：， 2、 用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。解：所以 主项： 该方法是二阶的。数值计算方法试题二一、判断题：、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）、当时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。 （）、矩阵的范数。（）5、设，则对任意实数，方程

6、组都是病态的。（用） （）6、设，且有（单位阵），则有。（）7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。（）8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：，的值分别为2，2。（）二、填空题： 1、设，则均差 ，0。2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是二阶。、区间上的三次样条插值函数在上具有直到二阶的连续导数。4、向量,矩阵，则 16，90。5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为，_。6、设，则（谱半径） = 。（此处填小于、大于、等于）7、设，则0。三、简答题：1、 方程在区间内有唯一根，若用迭代公式： ，则其产

7、生的序列是否收敛于？说明理由。解：迭代函数为 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。3、 设，试选择较好的算法计算函数值。解：四、已知数值积分公式为： ，试确定积分公式中的参数，使其代数

8、精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：显然精确成立； 时，；时，；时，；时，；所以，其代数精确度为3。五、已知求的迭代公式为： 证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明： 故对一切。又 所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为 。其代数精度为1。七、设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，若向量是的一个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。证明：由题意知： 又 所以。八、设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的

9、一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余项。012012-1133解：设 所以由得：所以令，作辅助函数则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以 九、设是区间上关于权函数的直交多项式序列，为的零点， 是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，为高斯型求积公式，证明：（1） 当时，（2）（3）证明：形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精度2n+1次，它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立1）2）因为是n次多项式，且有 所以()3）取，代入求积公式：因为是2n次多项式， 所以 故结论成立。十、若，互异，求的值，其中。解：数值计算方法试题三一

10、、填空题(1) 改变函数 ()的形式，使计算结果较精确。(2) 若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。(3) 设，则.(4) 设是3次样条函数，则a=3, b=-3 , c=1。(5) 若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。(6) 写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛收敛。(7) 设,则9，91。(8) 若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为h0.2二. 1.写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。，n=0,1,2, 对

11、任意的初值,迭代公式都收敛。2.以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275553.求在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。设， ,=0.873127+1.69031x4.用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。 或利用余项： ，5.用Gauss列主元消去法解方程组： 3.0000 1.0000 5.

12、0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.68756.求方程组 的最小二乘解。， 若用Householder变换，则：最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.7.已知常微分方程的初值问题： 用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。，三在下列5个题中至多选做3个题)(1)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：，差分表：11122151515575720204272152230781其他方法：设令，求出a和b(2)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：， ，f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代数精度=2(3)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。, , , , ，, , ，(4)推导求解常微分方程初值问题 的形式为 ,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高