常微分方程：2-1常微分方程的几何解释

1、 目录 上页 下页 返回 结束2.1 2.1 常微分方程的几何解释常微分方程的几何解释一、一、 线素场线素场,dyfx ydx 1设一阶微分方程设一阶微分方程 满足解的存在唯一性满足解的存在唯一性定理的条件。定理的条件。平面的一个区域平面的一个区域Dxy的右端函数在的右端函数在中有定义中有定义,那么，过那么，过中任一点中任一点 00,xy有且仅有有且仅有D1.3.1的一个解的一个解 yx00 xy，满足，满足 ,xf xx从几何方面看，解从几何方面看，解 yx就是通过点就是通过点 00,xy的一条的一条 目录 上页 下页 返回 结束曲线（称为积分曲线），且曲线（称为积分曲线），且 ,f xx就

2、是该曲线上就是该曲线上的点的点 , xx处的切线斜率，特别在处的切线斜率，特别在 00,xy切线斜率切线斜率解，但我们知道它的解曲线在区域解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点中任意点 , x y的切线斜率是的切线斜率是,f x y就是就是 00,f xy尽管我们不一定能求出方程尽管我们不一定能求出方程 1的的如果我们在区域如果我们在区域D内每一点内每一点 , x y处，都画上一个处，都画上一个就得到一个方向场，将这个方向场称为就得到一个方向场，将这个方向场称为由微分方程由微分方程所确定的线素场。所确定的线素场。,f x y的值为斜率中心在的值为斜率中心在 , x y以以点的线段，我们点的线

3、段，我们 目录 上页 下页 返回 结束 线素场对于求解微分方程的近似解和线素场对于求解微分方程的近似解和研究微分方程的几何性质极为重要，因研究微分方程的几何性质极为重要，因为，可根据线素场的走向来近似求积分为，可根据线素场的走向来近似求积分曲线，同时也可根据线素场本身的性质曲线，同时也可根据线素场本身的性质来研究解的性质。来研究解的性质。 目录 上页 下页 返回 结束它所确定的线素场中的一条曲线，该曲线所经过的它所确定的线素场中的一条曲线，该曲线所经过的从几何上看，方程从几何上看，方程 1的一个解的一个解 yx就是位于就是位于每一点都与线素场在这一点的方向相切。每一点都与线素场在这一点的方向相

4、切。行进的曲线，因此，求方程行进的曲线，因此，求方程00y xy满足初始值满足初始值 1的这样的一条曲线。的这样的一条曲线。的解，就是求通过点的解，就是求通过点00,xy yx形象的说，解形象的说，解就是始终沿着线素场中的方向就是始终沿着线素场中的方向 目录 上页 下页 返回 结束例例1 在区域在区域 ,|2,2Dx yxy内画出方程内画出方程 dyydx 的线素场和几条积分曲线。的线素场和几条积分曲线。解：解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上用计算各点的斜率的方法手工在网格点上画出线素场的方向可以得到线素场，但手工绘画出线素场的方向可以得到线素场，但手工绘图误差较大。我们可以用图误差较大

5、。我们可以用Maple 软件包来完成。软件包来完成。点的线素相重合。点的线素相重合。在在L上任一点，上任一点， L的切线与的切线与 1所确定的线素场在该所确定的线素场在该 定理定理1.3L为为 1的积分曲线的充要条件是：的积分曲线的充要条件是：曲线曲线 目录 上页 下页 返回 结束Maple指令：指令：DEtoolsphaseportrait # 画线素场及积分曲线(diff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定义微分方程x=-2.2, # 指定x范围y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 给出3个初始值dirgrid=17,17, # 定义网格密度arrows=LI

6、NE, # 定义线段类型axes=NORMAL; # 定义坐标系类型类型yy 目录 上页 下页 返回 结束回车后回车后MapleMaple就在就在 1144条积分曲线，见下图条积分曲线，见下图 的图形，并给出了过点的图形，并给出了过点的网格点上画出了线素场的网格点上画出了线素场(-2,2)(-2,1)(-2, 2)的三的三 目录 上页 下页 返回 结束 所谓所谓图解法图解法就是不用微分方程解的具体表达式，就是不用微分方程解的具体表达式，直接根据右端函数的结构和线素场作出积分曲线直接根据右端函数的结构和线素场作出积分曲线的大致图形。的大致图形。 图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主图解法只

7、是定性的，只反映积分曲线的一部分主要特征。要特征。 该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重要的指导意义。有很重要的指导意义。二、二、 积分曲线的图解法积分曲线的图解法 目录 上页 下页 返回 结束对任意一个实数对任意一个实数 c ，由方程，由方程,f x yc 2所决定的曲线上任意一点所决定的曲线上任意一点 ,P x y处方程处方程 1的向的向称为微分方程称为微分方程 1的的等

8、倾线等倾线。量场的方向都相同，即量场的方向都相同，即 我们把我们把 2所确定的曲线所确定的曲线例如：微分方程例如：微分方程yy 的等倾线为的等倾线为yc22yxy 的等倾线为的等倾线为222xyc零等倾线，即零等倾线，即,0f x y 也称也称极值曲线极值曲线。 目录 上页 下页 返回 结束拐点曲线：拐点曲线： yx( , )f x y积分曲线积分曲线的拐点也可以从的拐点也可以从得到。得到。( , )f x y设设有连续的偏导数，则一个点成为有连续的偏导数，则一个点成为 yx的拐点的必要条件是的拐点的必要条件是 0 x，代入，代入方程方程 1,0 xyyfx yfx y f x y 3得得 则称它为则称它为拐点曲线拐点曲线。若由若由所确定的曲线本身不是所确定的曲线本身不是 1 1的积分曲的积分曲线，且方程线，且方程 1的积分曲线在它上面存在拐点时，的积分曲线在它上面存在拐点时， 目录 上页 下页 返回 结束例例1.3.4 讨论方程讨论方程xyye 的拐点曲线。的拐点曲线。解：解：由方程得由方程得2xxyyeye0y 2xye 令令得得容易验证容易验证不是方程的积分曲线，它将不是方程的积分曲线，它将 2xye xy平面分为平面分为 和和 1D