行列式、高等代数

1、1 补充：补充： 行列式的定义行列式的定义 行列式的性质行列式的性质 方程组的解与行列式的关系方程组的解与行列式的关系 2 111122111222112112221221122221122211212221211122 ()0 1 a xa xba aa axbab aa xa xba aa abab axa a例例： 设设有有二二元元一一次次线线性性方方程程组组 ， 当当时时，二二阶阶行行列列式式行行列列式式的的定定义义1111211 221 12211122112211212122221111221122112221221 12212221, a ba bxa aaa aaabb aaa

2、a aababa abba aaaaa bb定定义义则则： 二二阶阶行行列列式式 ：311112212112222121122211211111211122122212222, a xa xba xa xbaaaaxxaaaaaaaabbbb这这时时，方方程程组组的的解解为为用用行行列列式式表表示示：412121223132013021 ( 2)0 322,232 ( 2)3 313133221302 03 1323131332xxxxxx 例例：解解方方程程组组的的解解解解：利利用用行行列列式式表表示示52111212122212: . 由由个个数数排排成成 行行 列列的的表表格格，两两边边

3、以以竖竖线线，成成为为一一个个 阶阶行行列列式式元元素素阶阶行行列列的的定定义义式式：nnnnnnijnnnnaaaaaaaaaan6111212122212:nnijnnijnnjiaaaaaa aaiaA =jMMaijijijijn aa余子式 的去掉第 行和第 列后的行列式的: 代数余子式(-1)值阶行列式的定义：nnnjnjnnijijiinijijiinjjjiijaaaaaaaaaaaaaaaaA111111111111111111111111) 1(8111111121212221111121211121111 det ()2 = 对对于于行行列列式式对对于于( (）定定义义为

4、为： 定定义义1 1阶阶阶阶行行列列式式值值第第一一上上式式称称为为行行列列按按的的展展开开式式。行行式式nnnnnnnnnjjjaanaaaaaaa AaAaAaaaaAn11121321222331323322232123212211121332333131122333313211223323321221332331122331132132 112332122131321322231313 3()() ()阶阶行行列列式式 a a aa a aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aa aaa aa aaaa a aaaaaaaaaa2231a a101111121213

5、13221 3054112213054110 53 53 02( 1)( 2)( 1)( 1)( 1)1 -14 -14 120( 1)5 1( 2) 3 ( 1)54( 1) 3 1042( 5)( 2)( 23)( 1)359: 1 11 21 3 例例解解计计算算 a Aa Aa A1111223312233113211111221331211222233231132233331213222321123321221331322311231332331112132122230 设设有有三三元元一一次次线线性性方方程程组组 当当时时，方方程程组组有有惟惟一一解解：a a aa a aa a

6、aa xa xa xba xa xa xba xaa a axa xbaaa aaaaaaaaaaa a abbaabxa11131112212321223133313211121311121321222321222331323331321122333313233323, , aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbbbaxx12 2 2行行列列式式的的性性质质13性质性质 2nnnnnnaaaaaaaaa212222111211.212221212111nnnnnnaaaaaaaaa行列式转置，行列式值不变行列式转置，行列式值不变. 即即/p>

7、1 . (1)jnjnnnjnnnnjnnaaaaaaakkkaaaaa某某一一行行（列列）的的公公因因子子可可以以提提出出 如如性性: :质质3 3 (2) （行列式的行列式的 “加法加法”） nnnnsnsnssssnaaacbcbcbaaa21221111211nnnnsnssnnnnnsnssnaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211（注意：只拆一行，其余行不变）（注意：只拆一行，其余行不变） 性质性质 4 : 任意对换行列式的两行（或两列）元素，任意对换行列式的两行（或两列）元素， 其值其值变号变号. 如如2311315211321132.315223

8、11121311121311 )(31rr (1) () (2) 相相同同行行列列式式： 行行列列式式有有两两行行 列列, ,则则行行列列式式值值= =0 0成成比比例例有有两两行行( (列列) )，行行列列则则式式值值= =0 0推推论论 k 5.把把行行列列式式的的某某行行（列列）的的 倍倍加加到到另另一一行行（列列）上上， 行行列列式式的的性性质质值值不不变变18111111111111111ijnijjnttitjtnttitjtjtnnninjnnnninjnjnnaaaaaakaaaaaaaaakaaaaaaaaakaaajki列列乘乘上上 ，加加入入到到第第 列列11112211

9、211222221122 nnnnnnnnnna xa xaxbaxaxaxbaxaxaxb3 3. .1 1克克莱莱姆姆法法则则（） 定定理理当系数行列式当系数行列式3. 方程组的解与行列式的关系方程组的解与行列式的关系 不为零时，方程组有惟一解不为零时，方程组有惟一解：111,111,11212,122,121,1,1 jjjjjjjnjjnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa111,11,11212,12,121,1,1111,111,11212,122,1212 , jjjjjjjjjjjjnnnnnnnjnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbax1,1,1 (1)jnjjnnnnnaaaaajn11112212112222112200 0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax：