利用导数求函数最值

1、利用导数求函数最值第一页，共22页。练习：求函数练习：求函数 的极值的极值82yxxx=-2时，时，y有极大值有极大值-8，当当x=2时，时，y有极小值有极小值第二页，共22页。练习练习: 如果函数如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在在x=1时有极值时有极值,极大值为极大值为4,极小值为极小值为0 ,试求试求a,b,c的值的值 .4222253530530提示：由y0得x1是极值点，又x0 x=0，x=1可能是极值点。yaxbx .x ( ax - b)a- b 第三页，共22页。练习练习: 如果函数如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在在x=1时有时有极值极值,极大值为

2、极大值为4,极小值为极小值为0 ,试求试求a,b,c的值的值 . 2251若a0,由x，y，y 的变化得yax ( x).x x-1-1(-1,0)(-1,0) 0 0 （0 0，1 1） 1 1(1,+)(1,+)+ +- -0 - 0 0 - 0 极小极小0 0+极大极大无极值无极值)(xf)(xf （ ，1）4305532abcaabcbabc 第四页，共22页。练习练习: 如果函数如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在在x=1时有时有极值极值,极大值为极大值为4,极小值为极小值为0 ,试求试求a,b,c的值的值 . 2251352若a0,33a由x，y，y 的变化得yx.x

3、x + +- -0 0 极小极小0 0+极大极大)(xf)(xf （ ， ）aa(a, a )a(a,)第六页，共22页。aaxyx x + +- -0 0 极小极小0 0+极大极大)(xf)(xf （ ， ）aa(a, a )a(a,)32当f( a） 220,即a1时，方程有三个不同的根；当a=1时，有两个根。当0a1时，有唯一根第七页，共22页。1.已知函数已知函数f(x)=x-3ax+2bx在点在点x=1处有极处有极小值小值-1，试确定，试确定a,b的值，并求出的值，并求出f(x)的单调的单调区间。区间。作业：作业：2.三次函数三次函数f(x)=x3+ax2+x在区间在区间-1,1 上

4、有极大值和极小值，求常数上有极大值和极小值，求常数a的取值的取值 范围范围.第八页，共22页。3.3.3 最大值与最小值最大值与最小值第九页，共22页。一一. .最值的概念最值的概念( (最大值与最小值最大值与最小值) )新新 课课 讲讲 授授 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使得使得对任意的对任意的xxI, ,总有总有f(x) f(xf(x) f(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函数为函数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值. .最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的. 第十页，共22页。)(xfba,1

5、.1.在定义域内在定义域内, , 最值唯一最值唯一; ;极值不唯一极值不唯一; ;注意注意: :2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. 第十一页，共22页。观察下面函数观察下面函数 y = f (x) 在区间在区间 a , b 上的图象上的图象, 回答回答:(1) 在哪一点处函数在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值有极大值和极小值?(2) 函数函数 y = f (x) 在a,b上有最大值和最小值吗有最大值和最小值吗?如果有如果有, 最大值和最小值分别是什么最大值和最小值分别是什么?x1x2x3x4x5极大极大:x = = x1x = = x2x = = x3x =

6、= x5极小极小:x = = x4)(3maxxfy)(第十二页，共22页。观察下面函数观察下面函数 y = f (x) 在区间在区间 a , b 上的图象上的图象, 回答回答:(1) 在哪一点处函数在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值有极大值和极小值?(2) 函数函数 y = f (x) 在a,b上有最大值和最小值吗有最大值和最小值吗?如果有如果有, 最大值和最小值分别是什么最大值和最小值分别是什么?极大极大:x = = x1x = = x2x = = x3极小极小:abxyx1Ox2x3)(xfy )(maxafy)(第十三页，共22页。二二. .如何求函数的最值如何求函数

7、的最值? ?(1)(1)利用函数的单调性利用函数的单调性; ;(2)(2)利用函数的图象利用函数的图象; ;(3)(3)利用函数的导数利用函数的导数; ;如如: :求求y=2x+1y=2x+1在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. .如如: :求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. 第十四页，共22页。求函数求函数 y = f (x) 在在a,b上的最大值与最上的最大值与最小值的步骤如下小值的步骤如下:(1) 求函数求函数 y = f (x) 在在 ( a, b ) 内的极值内的极值;(2) 将函数将函数 y = f (x) 的各极值点与端点处

8、的各极值点与端点处的函数值的函数值f (a), f (b) 比较比较, 其中最大的一其中最大的一个是最大值个是最大值, 最小的一个是最小值最小的一个是最小值第十五页，共22页。 例例1 1、求函数求函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+6-4x+6在区间在区间11，55内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解: :f (x)=2x- 4f (x)=2x- 4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x =2x =2x x1 1（1 1，2 2）2 2（2 2，5 5）5 50 0- -+3 3112 故函数故函数f (x) f (x) 在区间在区间11，55内的内的最

9、大值最大值为为1111，最小值为最小值为2 2 )(xf)(xf 第十六页，共22页。若函数若函数f(x)在所给的区间在所给的区间I内有内有唯一唯一的极值，则它是函数的的极值，则它是函数的最值最值第十七页，共22页。例例2 求函数求函数 在在0,3上的最大值与最小值上的最大值与最小值.4431)(3xxxf解解: 令令 3 , 0, 04)(2xxxf解得解得 x = 2 .所以当所以当 x = 2 时时, 函数函数 f (x)有极小值有极小值.34)2(f又由于又由于, 1) 3(, 4)0(ff所以所以, 函数函数 4431)(3xxxf在在0,3上的最大值是上的最大值是4,最小值是最小值

10、是 .34当当0 x2时，时，f(x)0;当当第十八页，共22页。 函数函数 ，在，在1 1，1 1上的最小值为上的最小值为( )( )A.0 B.A.0 B.2 C.2 C.1 1D.13/12D.13/12A A练练 习习第十九页，共22页。2、函数、函数 （ ） 241xyxA.有最大值有最大值2，无最小值，无最小值B.无最大值，有最小值无最大值，有最小值-2C.最大值为最大值为2，最小值，最小值-2D.无最值无最值3、函数、函数 2( )在（- ,+ )上（ ）f xxcos xA.是增函数是增函数 B.是减函数是减函数C.有最大值有最大值 D.最小值最小值C第二十页，共22页。例例3 3、12f xxsinx求求 ( ( ) )在在区区间间 0 0，2 2 上上的的最最值值. .解：解：最小值是0.最小值是0.是是, ,函数f(x