2004年全国高考数学试题分类集锦1曾姣华(1)

1、2004年第 8期中学数学352004年全国高考数学试题分类集锦 ( )曾姣华整理1集合与简易逻辑( 1) 全国卷 理 ( 6) 设 A、 B、 I 均为非空集合 ,且满足 A B I , 则下列各式中错误的是 () .( A ) ( C A ) B = I( A ) 1, 2( B) ( 3, 4( C) 1( D) - 2, - 1, 0, 1, 2 A ( 10) 北京卷理 ( 8) 函数 f ( x ) =x ,x P , 其中 P , M 为实数集 R的两个非空- x ,x M,I( B) ( CI A ) ( CI B ) = I( C) A ( CI B ) = ( D) ( C

2、I A) (C I B ) = C IBB ( 2) 全国卷 理 ( 1) 已知集合 M = x|x 2 < 4 , N = x|x 2 - 2x - 3 < 0 , 则 集 合 M N = () .( A ) x|x < - 2( B) x|x > 3( C) x|- 1 < x < 2( D) x|2 < x < 3C ( 3) 全国卷 理 ( 1) 设集合 M = (x , y )|x 2+y2 = 1, x R, y R , N = ( x , y )|x 2 - y = 0, x R, y R ,则集合 M N 中元素的个数为 () .

3、( A ) 1( B) 2( C) 3( D) 4B ( 4) 全国卷 理 ( 1) 已知集合 M = 0, 1, 2 ,N = x|x = 2a, a M ,则集合 M N = () . ( A ) 0( B) 0, 1( C) 1, 2( D) 0, 2 D ( 5) 全国卷 文 ( 1) 已知全集 U = 0, 1, 2, 3,4, 5 , 集合 M = 0, 3, 5 , N = 1, 4, 5 ,则集合 M( CU N ) = () .( A ) 5( B) 0, 3( C) 0, 2, 3, 5( D) 0, 1, 3, 4, 5B ( 6) 北京卷理 ( 1) 设全集是实数集 R

4、, M = x|- 2 x 2 , N = x|x < 1 , 则 -M N 等于() .( A ) x|x < - 2( B) x|- 2 < x < 1( C) x|x < 1( D) x|- 2 x < 1 A ( 7) 天津卷文 ( 1) 设集合 P = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,Q = x R|2 x 6 , 那么下列结论正确的是() .( A ) P Q = P( B) P Q Q( C) P Q = Q( D) P Q P D ( 8) 浙江卷理 ( 1) 若 U = 1, 2, 3, 4 , M = 1,2 , N = 2, 3 ,

5、 则 CU ( M N ) = () .( A ) 1, 2, 3( B) 2( C) 1, 3, 4( D) 4 D ( 9) 江苏卷 ( 1) 设集合 P = 1, 2, 3, 4 , Q = x x| 2, x R , 则 P Q等于 () .* 全国卷 指四川卷 .子集 ,又规定 f ( P ) = y|y = f ( x ) , x P , f ( M ) = y|y = f ( x ) , x M . 给出下列四个判断: 若 P M = , 则 f ( P ) f ( M ) = ; 若 P M , 则 f ( P ) f ( M ) ; 若 P M = R, 则 f ( P) f

6、 ( M) = R; 若 P M R, 则 f ( P) f ( M) R.其中正确判断有( A ) 1个 ( B) 2个 ( C) 3个 ( D) 4个 B ( 11) 湖北卷理 ( 10) 设集合 P = m|- 1 < m< 0 , Q= m R|m x 2+ 4m x - 4 < 0对任意实数x 恒成立 , 则下列关系中成立的是 (). ( A ) P Q( B) Q P( C) P = Q ( D) P Q = A ( 12) 湖北卷文 ( 1) 设 A = x|x = 5k + 1, k N , B = x|x 6, x Q ,则 A B 等于 () .( A )

7、 1, 4( B) 1, 6( C) 4, 6( D) 1, 4, 6 D ( 13) 天津卷理 ( 8) 已知数列 an , 那么“对任意的 n N* , 点 Pn (n , an ) 都在直线 y = 2x + 1上” 是“ an 为等差数列” 的 ( ) .( A ) 必要而不充分条件( B) 充分而不必要条件( C) 充要条件( D) 既不充分也不必要条件B ( 14) 天津卷文 ( 3) 对任意实数 a、b、 c, 在下列命题中 , 真命题是 () .( A )“ ac > bc” 是“ a > b” 的必要条件 ( B)“ ac = bc” 是“ a = b” 的必要条

8、件 ( C)“ ac > bc” 是“ a > b” 的充分条件( D)“ ac = bc” 是“ a = b” 的充分条件 B ( 15) 浙江卷理 ( 8) 在 ABC 中 ,“ A > 30°” 是“ sinA > 1” 的 () .2( A ) 充分而不必要条件( B) 必要而不充分条件( C) 充分必要条件( D) 既不充分也不必要条件B ( 16) 湖北卷理 ( 4) 已知 a , b, c 为非零的平面向量 . 甲: a b = a c, 乙: b = c ,则 () .( A ) 甲是乙的充分条件但不是必要条件( B) 甲是乙的必要条件但不是充

9、分条件( C) 甲是乙的充要条件( D) 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条36中学数学2004年第 8期件B ( 5) 全 国 卷 理 ( 11) 设 函 数 f ( x ) =( 17) 福建卷 ( 3) 命题 p: 若 a、b R, 则 |a|+|b|> 1是 |a + b|> 1的充分而不必要条件 .( x + 1) 2 ,4 -x - 1.x < 1, 则使得 f ( x ) 1的自变量x 1,命题 q: 函数 y =|x - 1|- 2的定义域是( - , - 1 3, + ) . 则 () .( A )“ p 或 q” 为假( B)“ p 且 q” 为真( C

10、) p 真 q假( D) p 假 q真 D ( 18) 湖南卷理 ( 9) 设集合 U = (x , y )|x R,y R , A = ( x , y )|2x - y + m > 0 , B = ( x , y )|x + y - n 0 ,那么点 P ( 2, 3) A ( CU B ) 的充要条件是 ( ) .( A )m > - 1, n < 5 ( B)m < - 1, n < 5( C)m > - 1, n > 5 ( D) m < - 1, n > 5 A ( 19) 上海卷理 ( 3) 设集合 A = 5, log ( a

11、 +x 的取值范围为 () .( A ) ( - , - 2 0, 10 ( B) ( - , - 2 0, 1 ( C) ( - , - 2 1, 10 ( D) - 2, 0 1, 10 A ( 6) 重庆卷 ( 1) 函数 y =log 1 ( 3x - 2) 的定2义域是 () .( A ) 1, + )( B) ( 2 , + )3 2 2( C) , 1 ( D) (, 1 D 2333) ,集合 B = a , b . 若 A B = 2 , 则 A B = . 1, 2, 5 ( 7) 北京卷理 ( 13) 在函数 f ( x ) = ax 2+ bx +c中 ,若 a , b

12、, c成等比数列且 f ( 0) = - 4,则 f ( x )有最( 20) 湖北卷理 ( 15) 设 A、 B 为两个集合. 下列 值 (填“ 大” 或“小” ) ,且该值为 .四个命题: A B 对 任 意 x A , 有 x B; A B A B = ; A B A B; A B 存 在 x A , 使 得 x B. 大 , - 3 ( 8) 天津卷理 ( 5) 若函数 f ( x ) = loga x ( 0 < a< 1)在区间 a , 2a 上的最大值是最小值的 3倍 ,则 a= () .其 中真命题的序号是 . (把符合要求的命题序号都填上 ) ( A ) 24(

13、B) 22( C) 14( D) 12 A ( 21) 广东卷 ( 2) 已知 A = x 2x + 1|> 3 ,B = x|x 2 + x - b 0 ,则 A B = () . ( A ) ( - 3, - 2 ( 1, + )( B) ( - 3, - 2 1, 2)( C) - 3, - 2) ( 1, 2 ( D) ( - , - 3 ( 1, 2C ( 9) 江苏卷 ( 10) 函数 f ( x ) = x 3 - 3x + 1在闭区间 - 3, 0 上的最大值、最小值分别是 () .( A ) 1, - 1( B) 1, -17( C) 3, - 17( D) 9, -1

14、9C ( 10) 湖北卷理 ( 7) 函数 f ( x ) = ax + loga ( x + 1) 在 0, 1 上的最大值与最小值之和为 a , 则 a 的值为 () .2函数与函数最值( A ) 14( B) 12( C) 2 ( D) 4B ( 1) 全国卷 理 ( 2) 已知函数 f ( x ) =lg 1 - x , 若 f (a ) = b, 则 f ( - a) = () . 1+ xbb( A )b ( B) - b( C) 1( D) - 1B ( 11) 全国卷 理 ( 4) 函数 y =x - 1+ 1( x 1) 的反函数是 () .( A ) y = x 2 - 2

15、x + 2 ( x < 1) ( B) y = x2 - 2x + 2 ( x 1) ( C) y = x 2 - 2x ( x < 1)( 2) 全国卷 理 ( 12) 设函数 f (x ) (x R) 为( D) y = x 2 - 2x( x 1)B 奇函数, f ( 1) = 1 , f ( x + 2) = f (x ) + f ( 2) , 则2( 12) 全国卷 理 ( 2) 函数 y = e2x (x R) 的反函数为 () .f ( 5) = () .( A ) 0 ( B) 1 ( C) 52( D ) 5C ( A ) y = 2lnx( x > 0)(

16、 B) y = ln( 2x )( x > 0) 1( 3) 湖南卷理 ( 3) 设 f - 1( x ) 是函数 f ( x ) =log2 ( x + 1) 的反函数 , 若 1+ f - 1 (a ) 1+ f - 1 (b) = 8,则 f (a + b) 的值为 () .( C) y =( D) y =2 lnx( x > 0) 1 ln( 2x )( x > 0)C 2( A ) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) lo g2 3B 2( 13) 北京卷理 ( 5) 函数 f ( x ) = x 2 - 2ax - 3在 区间 1, 2 上存 在反 函数的

17、充分 必要 条 件是( 4) 全国卷 理 ( 5) 函数 y =log 1 ( x2的定义域是 () .( A ) -2 , - 1) ( 1,2 ( B) ( -2 , - 1) ( 1,2 )( C) - 2, - 1) ( 1, 2 - 1)() .( A )a ( - , 1 ( B) a 2, + )( C)a 1, 2 ( D)a ( - , 1 2, + ) D ( D) ( - 2, - 1) ( 1, 2) A ( 14) 天津卷理 ( 11) 函数 y = 3x 2- 1 ( - 1 x <2004年第 8期中学数学370) 的反函数是 () .( A ) y =1+

18、 lo g x( x 1 )2在 0, + ) 上为增函数 ,则实数 a、b的取值范围是 .a > 0且 b 0 33( 25) 福 建 卷 理 ( 14) 设 函 数 f ( x ) =( B) y = -1+ log x( x 1 )3 1+ x - 1( x 0) ,3( C) y =1+ lo g x( 1 33< x 1)x在 x = 0处连续 ,则实数 a a( x = 0) .( D) y = -1+ log x( 1< x 1) D 的值为 . 1 332( 15) 浙江卷理 ( 12) 若 f ( x ) 和 g (x ) 都是定义在实数集 R上的函数 ,

19、且方程 x - f g ( x ) = 0有实数解 , 则 g f ( x ) 不可能是 ( ) .( 26) 全国卷 ( 19) 已知 a R, 求函数 f ( x )= x 2eax 的单调区间 . (解答见本刊 2004年第 7期 )( 27) 全国卷 理 ( 22) 已知函数 f ( x ) = ln( 1( A )x 2 + x - 15( C)x 2 - 15( B) x 2 + x + 15( D) x 2 + 15B + x ) - x , g (x ) = x lnx .( 1) 求函数 f ( x ) 的最大值;( 2) 设 0 < a < b,证明:a + b

20、( 16) 福建卷理 ( 11) 定义在 R上的函数 f ( x ) 满足 f (x ) = f ( x + 2) , 当 x 3, 5 时 ,f ( x ) = 2 -|x - 4|, 则 () .( A ) f ( sin ) < f ( co s )0 < g ( a) + g (b ) - 2g (2 ) < (b - a ) ln2.( 1) 解函数 f ( x ) 的定义域为 ( - 1, + ) . 1 f( x ) = 1+ x - 1.66( B) f ( sin1) > f ( cos1)( C) f ( co s 2) < f ( sin 2

21、 )令f (x ) = 0,解得x = 0.当 - 1 < x < 0时 , f( x ) > 0,当 x > 0时 , f (x ) < 0.33又f ( 0) = 0,( D) f ( cos2) > f ( sin2) D 故当且仅当 x = 0时 , f ( x ) 取得最大值 ,最大值为 0.( 17) 湖北卷理 ( 3) 已知 f ( 1 - x ) =1+ x则 f ( x ) 的解析式可取为 () .1 - x 21+ x 2 ,( 2) 证 法 1 g (a ) + g (b) - 2g ( a+ b )2( A ) x( B) - 1+

22、x 2 2x 2x 1+ x 2 x= a lna + blnb - (a + b) ln a+ b2= a ln 2a + bln 2b .( C) 1+ x 2( D) -1+ x 2C a + ba + b( 18) 上海卷理 ( 15) 若函数 y = f (x ) 的图像可由函数 y = lg ( x + 1) 的图像绕坐标原点 O逆时针旋由 ( 1) 结论知ln( 1+ x ) - x < 0( x > - 1, 且 x 0) ,由题设 0 < a < b, 得转 2 得到 ,则 f ( x ) = () .b - a > 0, - 1 < a

23、- b< 0,( A ) 10- x - 1( B) 10x - 1( C) 1 - 10- x( D) 1 - 10x A 2a2b因此ln 2a = - ln( 1+ b - a ) > - b - a ,( 19) 北京卷理 ( 10) 方程 lg ( 4x + 2) = lg 2x +a+ b2a2alg 3的解是 ,x= 0, x= 1. ln 2b = - ln( 1+ a - b ) > - a - b.12a+ b2b2b( 20) 重庆卷 ( 7) 一元二次方程 ax 2+ 2x + 1= 2a 2b b - aa - b0(a 0) ,有一个正根和一个负根

24、的充分不必要条件所以 a ln a + b+ blna + b > -2-2 = 0.是 () .( A )a < 0 ( B)a > 0 ( C)a < - 1 ( D)a > 1又 2a a + b< a+ b , 2bC a ln 2a + bln 2b < aln a + b + bln 2b ( 21) 湖 南 卷 理 ( 6) 设 函 数 f ( x ) =a+ ba + b2ba + bx 2 + bx + c, 2,x 0 若 f ( - 4) = f ( 0) , f ( - 2)x > 0.= (b - a ) ln 2b a

25、 + b< (b - a) ln2.= - 2, 则关于 x 的方程 f (x ) = x 的解的个数为() .综上0 < g (a ) + g (b) - 2g (a + b ) < (b - a ) ln2.2证法 2 g ( x ) = x lnx ,g( x ) = lnx + 1.( A ) 1( B) 2( C) 3( D) 4C ( 22) 全国卷 理 ( 15) 已知函数 y = f (x ) 是奇函数 , 当 x 0时 , f (x ) = 3x - 1. 设 f ( x ) 的反函设F (x ) = g (a) + g (x ) - 2g (a + xa+

26、 x ) , 2数是 y = g ( x ) , 则 g ( - 8) = .- 2 ( 23) 全 国 卷 文 ( 13) 函 数 y =则F(x ) = g( x ) - 2 g (= lnx - ln a + x .22) log 1 ( x - 1) 的定义域是 . x|1 < x 22( 24) 上海卷理 ( 10) 若函数 f (x ) = a|x - b|+当 0 < x < a时 , F( x ) < 0, 因此 F ( x ) 在 ( 0, a )内为减函数 .38中学数学2004年第 8期当 x > a时 , F( x ) > 0,因此

27、F (x ) 在 (a , + )上为增函数 .从而 , 当 x = a时 , F ( x ) 有极小值 F (a ) .因为 F (a ) = 0, b > a, 所以 F (b) > 0,即0 < g (a ) + g (b) - 2g ( a+ b ) .2设G(x ) = F( x ) - ( x - a ) ln2,间 ( 1 , 1 (i = 1, 2, ) 上 , y = f ( x ) 的图像都是2 2ii - 1斜率为同一常数 k 的直线的一部分 .( ) 求 f ( 0) 及 f ( 1 ) , f ( 1 ) 的值 , 并归纳出24if ( 1 ) (i

28、 = 1, 2, ) 的表达式 ; 2 1 1则a + x( ) 设直线 x =, x =, x 轴及 y = f ( x )G ( x ) = lnx - ln2- ln22i2i - 1= lnx - ln(a + x ) .当 x > 0时 , G( x ) < 0. 因此 G( x ) 在 ( 0, + )上为减函数 .因为 G(a ) = 0, b > a, 所以 G(b) < 0,即g (a ) + g (b) - 2g ( a+ b ) < (b - a) ln2.2( 28) 全国卷 理 ( 18) 解方程4x + |1 - 2x |= 11.解当

29、 1 - 2x 0,即 x 0时 ,原方程化为的图像围成的梯形的面积为 ai ( i = 1, 2, ) ,记 S (k )= lim (a1 + a2+ + an ) ,求 S (k ) 的表达式 ,并写出n其定义域和最小值 .解( ) 由 f ( 0) = 2f ( 0) , 得 f ( 0) = 0.由 f ( 1) = 2f ( 1 ) 及 f ( 1) = 1, 得2f ( 1 ) = 1 f ( 1) = 1 . 222同理 1 1 1 14x - 2x + 1= 11,( 2x - 1 ) 2 = 41,f ( 4 ) = 12 f ( 12 ) =4 . 24 1 41归纳得f

30、 () =( i = 1, 2, ) .2i2i解得2x =±.22( ) 当 1 < x 2i 1 时 , 2i - 12x = 1 - 41< 0,无解 .f ( x ) = 1 + k ( x - 1 ) ,222i - 12i - 1由2x = 1 + 41 > 1知 x > 0, 舍去. 1 1 1 1a =i+ k (- 1 ) ( 1 - 1 )2222i - 12i - 12i2i - 12i - 12i当 1 - 2x < 0, 即 x > 0时 , 原方程化为= ( 1 - k ) 1 (i = 1, 2, ) .4x + 2x

31、 - 1= 11,( 2x + 1 ) 2 = 49,4 22i - 1 1 k 124解得2x = - 1 ± 7 ,所以 an 是首项为列 , 所以2 ( 1 -4 ) ,公比为4 的等比数222x = - 1 - 7< 0, 无解 ,S (k ) = lim( a1 + a2 + + an )2x = -2 1 +2 7 ,n 1 ( 1 - k )= 24 = 2 ( 1 - k ) .22 134x = log2 3 > 0.故原方程的解为x = log2 3.( 29) 全国卷 理 ( 18) 求函数 f (x ) = ln( 1+x ) - 1 x 2 在

32、0, 2 上的最大值和最小值 .4解f (x ) = 1 - 1 x .1 -4S (k ) 的定义域为 0 < k 1,当 k = 1时取得最小值 1 .2( 31) 上 海 卷 文 ( 19) 记 函 数 f ( x ) =x + 31+ x2令 1 - 1 x = 0, 化 简 为 x 2 + x - 2 = 0,2 - x + 1 的定义域为 A , g ( x ) = lg ( x - a -1) ( 2a - x ) ( a < 1) 的定义域为 B .1+ x2解得x 1 = - 2(舍去 ) ,x2 = 1.当0 x < 1时 , f(x ) > 0,

33、f ( x ) 单调增加;当1 < x 2时 , f(x ) < 0, f ( x ) 单调减少;( 1) 求 A;( 2) 若 B A ,求实数 a 的取值范围 .解( 1) 2 - x + 3 0,得x - 1 0,所以f ( 1) = ln2 - 1 为函数 f ( x ) 的极大值. 4x + 1x < - 1 或 x 1,x + 1又因为f ( 0) = 0, f ( 2) = ln3 - 1 > 0,f ( 1) > f ( 2) ,所以f ( 0) = 0为函数 f ( x ) 在 0, 2 上的最小值 ,f ( 1) = ln2 - 1 为函数 f

34、 ( x ) 在 0, 2 上的最大值.4即A = ( - , 1) 1, + ) .( 2) 由 ( x - a - 1) ( 2a - x ) > 0, 得( x - a - 1) ( x - 2a) < 0.a < 1, a + 1 > 2a,B = ( 2a, a+ 1) .( 30) 北京卷理 ( 18) f (x ) 是定义在 0, 1 上的B A ,2a 1 或 a + 1 - 1,增函数 , 满足 f ( x ) = 2f ( x ) 且 f ( 1) = 1,在每个区2即a 1 2或a - 2,而 a < 1,2004年第 8期中学数学392 1

35、 a < 1 或 a - 2, 故当 BA 时 ,实( 2) 由 ( 1) 知 , f ( x ) = x 3 - 3x ( x - 1, 1 ) 是减函数 , 且数 a 的取值范围是 ( - , 2) 1 , 1) .2f (x ) 在 - 1, 1上的最大值 M = f ( - 1) = 2,f (x ) 在 - 1, 1 上的最小值 m = f ( 1) = - 2.( 32) 天津卷理 ( 20) 已知函数 f ( x ) = ax 3 +bx 2 - 3x 在 x = ± 1处取得极值 .( 1) 讨论 f ( 1) 和 f ( - 1) 是函数 f ( x ) 的极

36、大值还是极小值 ;( 2) 过点 A ( 0, 16) 作曲线 y = f ( x ) 的切线 ,求此切线方程 .解 ( 1)f( x ) = 3ax 2 + 2bx - 3,依题意 ,f( 1) = f( - 1) = 0,所以 , 对任意的 x 1 , x 2 ( - 1, 1) , 恒有|f (x 1 ) - f (x 2 )| < M - m = 2 - ( - 2) = 4.( 34) 江苏卷 ( 22) 已知函数 f (x ) ( x R) 满足下列条件: 对任意的实数 x 1 , x 2 , 都有 (x 1 - x2 ) 2 ( x 1 - x 2 ) f ( x 1 )

37、- f ( x 2 ) 和|f ( x 1 ) - f (x 2 )| |x 1- x 2|, 其中 是大于 0的常数. 设实数 a0 , a , b 满足f (a0 ) = 0和 b = a - f (a ) .( ) 证明 1,并且不存在 b a , 使得即3a + 2b - 3= 0, 3a - 2b - 3= 0.解得 a = 1, b = 0.00f (b0 ) = 0;( ) 证明 (b - a )2 ( 1 - 2 ) (a - a ) 2;f (x ) = x3 - 3x ,f( x ) = 3x 2 - 3 = 3( x + 1) ( x - 1).令 f (x ) = 0,

38、得 x = - 1,x = 1.若 x ( - , - 1) ( 1,+ ) , 则 f( x ) > 0,故 f ( x ) 在 ( - , - 1) 上是增函数 , f ( x ) 在 ( 1,+ ) 上是增函数 .若 x ( - 1, 1) ,则 f( x ) < 0,故 f ( x ) 在 ( - 1, 1) 上是减函数 .所以 , f ( - 1) = 2是极大值; f ( 1) = - 2是极小值 . ( 2) 曲线方程为 y = x 3 - 3x ,点 A ( 0, 16) 不在曲线上 . 设切点为 M ( x 0 , y0 ) , 则点 M 的坐标满足 y 0 =0

39、0( ) 证明 f (b ) 2 ( 1 - 2 ) f (a) 2 .解( ) 不妨设 x 1 > x 2 ,由 (x 1 - x 2 ) 2 ( x 1 - x 2 ) f ( x 1 ) - f (x 2 ) 可知 f (x 1 ) - f ( x 2 ) > 0,f (x ) 是 R上的增函数 ,不存在 b0 a0 ,使得 f (b0 ) = 0.又 (x 1 - x 2 )2 ( x 1 - x 2 ) f ( x 1 ) - f ( x2 ) ( x1 - x 2 ) 2 , 1.( ) 要证: (b0 - a0 ) 2 ( 1 - 2 ) (a - a0 )2 ,即证

40、 (a - a0 )2 + f 2 (a ) 2f (a ) ( a - a0 )(* )0000x 3 - 3x . 因 f (x ) = 3(x 2 - 1) ,故切线的方程为 y不妨设 a > a0 ,0- y0 = 3( x 2 - 1) (x - x 0) .注意到点 A( 0, 16) 在切由( x 1 - x 2 )2 ( x 1 - x 2 ) f ( x 1 ) - f ( x 2 ) 0线上 , 有 16 - ( x 3 - 3x 0) = 3( x2 - 1) ( 0 - x 0 ) ,得f (a ) - f (a0 ) (a - a0 ) ,00化简得x 3 =

41、- 8, 解得x 0= - 2. 所以 , 切点为即f (a ) (a - a0 ) ,M( - 2, - 2) , 切线方程为 9x - y + 16 = 0.( 33) 天津卷文 ( 21) 已知函数 f (x ) = ax3 + cx+ d (a 0) 是 R上的奇函数 , 当 x = 1时 f ( x ) 取得极 值 - 2.( 1) 求 f ( x ) 的单调区间和极大值;( 2) 证 明: 对任意 x 1 , x 2 ( - 1, 1) , 不等式|f ( x 1 ) - f ( x 2 )| < 4恒成立.解 ( 1)由奇函数的定义 ,应有f ( - x ) = - f (

42、 x ) , x R,即- ax 3 - cx + d = - ax 3 - cx - d ,d = 0.因此 , f ( x ) = ax 3 + cx ,f( x ) = 3ax 2 + c.由条件 f ( 1) = - 2为 f ( x ) 的极值 , 必有a + c = - 2,则2f ( a) (a - a0 ) 2(a - a0 )2( 1)由|f ( x 1 ) - f ( x 2 )| |x 1 - x 2|得f (a ) - f (a0 ) a - a0 ,即f (a ) a - a0 ,则(a - a0 )2 + f 2 (a ) 2(a - a0 )2( 2)由 ( 1)

43、 ( 2) 可得 (a - a0 )2 + f 2 (a ) 2f (a ) ( a - a0 ) ,(b0 - a0 )2 ( 1 - 2 ) ( a - a0 ) 2.( ) f (a ) 2 ( a - a0 ) 2 ,( 1 - 2 ) f (a ) 2 ( 1 - 2 ) (a - a0 )2 . f (b) 2 (b - a0 ) 2 ,又由 ( 2) 中结论 (b0 - a0 ) 2 ( 1 - 2 ) (a - a0 )2 , f (b) 2 ( 1 - 2 ) f ( a) 2 .f( 1) = 0,故解得3a+ c = 0.( 35) 浙江卷理 ( 20) 设曲线 y =

44、e- x (x 0) 在点 M (t ,a = 1,c = - 3.因此 , f ( x ) = x 3 - 3x ,f( x ) = 3x 2 - 3= 3( x + 1) ( x - 1) ,f( - 1) = f( 1) = 0.当 x ( - , - 1) 时 , f ( x ) > 0, 故 f (x ) 在单调区间 ( - , - 1) 上是增函数 ;当 x ( - 1, 1) 时 , f(x ) < 0,故 f (x ) 在单调区间 ( - 1, 1) 上是减函数;e- t ) 处的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为 S ( t) .( ) 求切线 l

45、 的方程;( ) 求 S ( t) 的最大值 .解( ) 因为f( x ) = (e- x )= - e- x ,所以切线 l 的斜率为 - e- t ,第 ( 35) 题图当 x ( 1, + ) 时 , f( x ) > 0,故 f ( x ) 在单调区间 ( 1, + ) 上是增函数.所以 , f ( x ) 在 x = - 1处取得极大值 , 极大值为f ( - 1) = 2.故切线 l 的方程为 y - e- t = - e- t (x - t ).即e- t x + y - e- t ( t + 1) = 0. ( ) 令 y = 0 得 x = t + 1,又令 x = 0

46、得 y = e- t ( t + 1) ,40中学数学2004年第 8期2所以S (t ) = 1 (t + 1) e- t ( t+ 1)= 1 (t + 1)2e- t .2从而S(t ) = 1 e- t ( 1 - t ) ( 1+ t) .2当 t ( 0, 1) 时 , S(t ) > 0,当 t ( 1, + ) 时 , S( t ) < 0,所以 S (t ) 的最大值为 S ( 1) = 2 .e( 36) 浙江卷文 ( 21) 已知 a为实数 , f ( x ) = (x 2- 4) ( x - a ) .( ) 求导数 f( x );( ) 若 f ( - 1

47、) = 0,求 f ( x ) 在 - 2, 2上的最大值和最小值 ;( ) 若 f ( x ) 在 ( - , - 2 和 2, + ) 上都是递增的 , 求 a 的取值范围.解( ) 由原式得 f (x ) = x 3 - ax2 - 4x + 4a ,资金的情况下 , 第 n 年 (今年为第一年 ) 的利润为500( 1+ 1 ) 万元 ( n为正整数 ).2n( ) 设从今年起的前 n 年 ,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元 , 进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元 (须扣除技术改造资金 ) , 求 An、Bn的表达式 ;( ) 依上述预测 , 从今年起该企业至少经

48、过多少年 , 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?解( ) 依题设 ,An = ( 500- 20) + ( 500 - 40) + + ( 500 - 20n )= 490n - 10n2;nB = 500 ( 1+ 1 ) + ( 1+ 1 ) + + ( 1+ 1 ) 2222n- 600 = 500n - 500 - 100.2n 500f( x ) = 3x 2 - 2ax - 4. ( ) 由 f( - 1) = 0得 a = 1 ,2( )Bn - An = ( 500n -2n - 100) - ( 490n -10n2 ) 500此时有f ( x ) = (x 2 - 4) ( x - 1 ) ,2= 10n2 + 10n - 1002nf( x ) = 3