高中数学函数模型及其应用

1、2.11函数模型及其应用一、填空题1 .某产品的总本钱y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20X-0.1x2(0<x<240,xCM),假设每台产品的售价为25万元,那么生产者不亏本时(销售收入不小于总本钱)的最低产量是台.解析设利润为f(x)(万元),那么f(x)=25x(3000+20x0.1x2)=0.1x2+5x3000>0,x>150.答案1502 .某商品的单价为5000元,假设一次性购置超过5件,但不超过10件,那么每件优惠500元；假设一次性购置超过10件,那么每件优惠1000元.某单位购置x件(xN*,x&15),设最低的购置

2、费用是f(x)元,那么f(x)的解析式是:5000x,xC1,2,3,4,5,解析f(x)=4500x,x6,7,8,9,10,4000x,x11,12,13,14,15这是一个典型的分段函数问题,由题意很容易得到结论.5000x,xC1,2,3,4,5,答案f(x)=4500x,xC6,7,8,9,10,4000x,x11,12,13,14,153 .从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升,然后用水加满,再倒出1升,再用水加满.这样继续下去,那么所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为19一解析所倒次数1次,那么y=19；所倒次数2次,那么y=19*20所倒次数x,19x119x次,那么y=

3、1920=2020.一、19v答案y=20200.3mg/mL,在停止喝4 .一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到酒后,血液中的酒精含量以每小时25%勺速度减少,为了保证交通平安,某地根据?道路交通平安法?规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时才能开车(精确到1小时).解析设至少经过X小时才能开车.由题意得0.3(125%)00.09,0,75x<0.3.x>10g0.750.3弋5.答案55 .为了保证信息平安,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下：口日十加密田十发送田十解密门日十明又>

4、伤又>伤又>明又加密为y=ax2(x为明文,y为密文),如果明文“3通过加密后得到密文为“6,再发送,接受方通过解密得到明文“3,假设接受方接到密文为“14,那么原发的明文是.解析依题意y=ax2中,当x=3时,y=6,故6=a32,解得a=2.所以加密为y=2x2,因此,当y=14时,由14=2x2,解得x=4.答案46 .某食品厂需要定期购置食品配料,该厂每天需要食品配料200kg,配料的价格为1.8元/kg,每次购置配料需支付运费236元.每次购置来的配料还需支付保管费用,其标准如下：7天以内(含7天),无论重量多少,均按10元/天支付；超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的

5、重量,以每天0.03元/kg支付.当9天购置一次配料时该厂用于配料的保管费用P=.解析当9天购置一次配料时,该厂用于配料的保管费用P=70+0.03X200X(1+2)=88(元).答案88元7 .某种储蓄按复利计算利息,假设本金为a元,每期利率为r,存期是x,本利和(本金加利息)为y元,那么本利和y随存期x变化的函数关系式是.解析本金为a元,利率为r,那么1期后本利和为y=a+ar=a(1+r),22期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r),3期后本利和为y=a(1+r)3,X期后本利和为y=a(1+r)x,xeW答案y=a(1+r)x,xCN*8 .2002年初,甲、乙两

6、外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2021年初在经济指标比照时发现,这两家企业在2002年和2021年缴纳的地税均相同,其间每年缴纳的地税按各自的规律增长：企业甲年增长数相同,而企业乙年增长率相同.那么2021年两企业缴纳地税的情况以下说法中正确的选项是(填序号).甲多乙多甲乙一样多不能确定解析设企业甲每年缴纳的地税组成数列an,由于企业甲年增长数相同,所以数列an是等差数列,那么an是关于n的一次函数.设企业乙每年缴纳的地税组成数列bn,由于企业乙年增长率相同,所以数列bn是等比数列,那么bn是关于n的指数型函数.根据题意,a1=b1,a8=b8,如图知a9Vb9,故2021年企业乙缴纳

7、的地税多.答案9 .将函数y/二一x12-1(x0,2)图象绕原点逆时针方向旋转0角(0<9<a),得到曲线C假设对于每一个旋转角9,曲线C都是一个函数的图象,那么a的最大值是.解析由函数定义,假设曲线对应的方程为函数解析式时,直线x=a与该曲线假设相交,那么仅有一个父点,如图,当a=7时付合题息.4兀答案710 .某种电热水器的水箱盛满水是200升,加热到一定温度可浴用,浴用时,已知每分钟放水34升,在放水的同时注水,t分钟注入2t2开,当水箱内水量到达最小值时,放水自动停止,现假定每人洗浴用水65升,那么该热水器一次至多可供人洗浴.2,172172.解析由题意得水箱内的水量为y

8、=20034t+2t=2t+200,当t1717289=2时,水箱内的水量到达最小值,此时放水量为2*34=289升,而4演5,所以该热水器一次至多可供4个人洗浴.答案411 .某县方案十年内产值翻两番,那么产值平均每年增长的百分率为.(lg2=0.3010,lg11.49=1.0602)解析设产值平均年增长率为x,那么(1x)104.两边同取以10为底的对数得101g(1+x)=2lg2.(1x)2030100lg10.0602.00602.Jx1.又lg11.49=1.0602,1060200602.11.49101010.00602,.101.149.因止匕1+x=1.149,x=0.1

9、49=14.9%.答案14.9%12 .某商人购货,进价已按原价a扣去25%他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%8售后仍可获得售价25%勺利润,那么此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为.解析设新价为b,依题意,有b(120%)a(1-25%b(1-20%)-25%化简552a_*得b=4a,所以y=b20%x=4a-20%x,即y=4x(xNN).、a*答案y=4x(xCN)13 .某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如下图的曲线.那么第一次服药后y与t之间的函数关系式y

10、=f(t)=据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效.那么服药一次后治疗有效的时间是小时.kt,解析设y=1t20<t<1,当t=1时,由y=4得k=4,由21a=4得a=3.那么y=2t3,t>1.0<t<1,由y>0,25得4t>0.25t>1,2t3>0.25,因此服药一次后治疗有效的时间是179,r5二一小时.16164t,0<t<1,答案片2;t>179一16二、解做题14 .即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力,加速城市之间的流通.根据测算,如果一列火车每次拖4节车

11、厢,每天能往返16次;如果每次拖7节车厢,那么每天能往返10次.每天往返次数是每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢一次能载客110人,试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数.(注：营运人数指火车运送的人数)解析设这列火车每天往返次数为t次,每次拖挂车厢n节,16=4k+b,k=2,那么设t=kn+b.由解得10=7k+b,b=24.所以t=2n+24.设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y人,那么y=tnX110X2=2(-220n2+2640n).t2640当词=6时,总人数最多为15840人.故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人.15 .

12、某销售商销售某品牌,该品牌的进价为每部1580元,零售价为每部1880元.为促进销售,拟采用买一部赠送一定数量礼物的方法,且赠送礼物的价值不超过180元.统计说明：在促销期间,礼物价值每增加15元(礼物的价值都是15元的整数倍,如礼物价值为30元,可视为两次增加15元,其余类推),销售量都增加11%.当赠送礼物的价值为30元时,销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？(2)试问赠送礼物的价值为多少元时,商家可获得最大利润?解析设该品牌在不赠送礼物的条件下销售量为m部,(1)原来利润为(1880-1580)m=300mt元),当赠送礼物的价值为30元时,销售的总利润为(1880-158030)

13、m(1+11%f=1.2321X270m12321X270m=1.10889,即当赠送礼物的价值为30元时,销售的总利润变为3001m原来不赠送礼物时的1.1倍.(2)当赠送礼物的价值为15x元时,销售的总利润为f(x)元,那么f(x)=(1880-1580-15x)m-(1+11%=15m(20x)1.11x,xCN,且x<12,f(x+1)-f(x)=15m(1.090.11x)1.11x,10令f(x+1)f(x)>0,得乂09彳由于xN,且x012,所以当x09时,f(x+1)>f(x)；当9<x012时,f(x+1)<f(x).故当赠送礼物的价值为150

14、元时,可以获得最大利润.16.某地区的农产品A第x天1&X&20的销售价格p=50|x6|元/百斤,一农户在第x天1&X&20农产品A的销售量q=40+|x-8|百斤.1求该农户在第7天销售农产品A的收入；2问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？解析1由第7天的销售价格p=49,销售量q=41.第7天的销售收入W=49X41=2009元.设第x大的销售收入为W,44+x48-x,1<x<6,贝UW=2009,x=7,56-x32+x,8<x<20.当10x06时,W=44+x48-x<44+.1-48f2=2116,当且仅当x=

15、2时取等号.当x=2时取最大值W=2116.,56-x+32+xo,一当8<x<20时,W=56-x32+x<2=1936.当且仅当x=12时取等号当x=12时取最大值W2=1936.由于修他叫.第2天该农户的销售收入最大.答：1第7天的销售收入为2009元；2第2天该农户的销售收入最大.17 .2021年青奥会水上运动工程将在J地举行,截止2021年底,投资集团B在J地共投资100万元用于地产和水上运动工程的开发,经调研,从2021年初到2021年底的四年间,B集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产工程,四年获得的利润的值为该工程投资额单位：百万元的20%二是水上运动工程

16、,四年获得的利润的值为该工程投资额单位：百万元的算术平方根；三是旅游业,四年可获得利润10百万元.B集团的投资应如何分配,才能使这四年总的预期利润最大？假设2021年起,J地政府每年都要向B集团征收资源占用费,2021年征收2百万元后,以后每年征收的金额比上一年增加10%假设B集团投资成功的标准是：从2021年初到2021年底,这四年总的预期利润中值预期最大利润与最小利润的平均数不低于投资额的18%问B集团投资是否成功？解析1设B集团用于水上运动工程的投资为x百万元,四年的总利润为y百万元.由题意,y=0.2(100x)+/+10=0.2X+5+30,x0,100.即y=0.2(5一2.5)2

17、+31.25,小0,10.所以当,X=2.5,即x=6.25时,ymax=31.25.故B集团在水上运动工程投资6.25百万元,所获得的利润最大,为31.25百万元.(2)由(1)知,在上交资源占用费前,yma-31.25,ymin=20.由题意,得从2021年到2021年,B集团需上交J地政府资源占用费共为2(1+1.11+1.12)=6.62(百万元).31.25420所以B集团这四年的预期利润中值为26.62=19.005.由于19.005100=19.005%>18%所以B集团投资能成功.故B集团在J地投资能成功.18 .为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的房顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元.该建筑物每年的能源消消耗用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm).k.满足关系：C(x)=K(0WxW10),假设不建隔热层,每年能源消消耗用为8万3x5元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时,总费用f(x)到达最小,并求最小值.k解析(1)设隔