经典等差数列性质练习题目含答案详解

1、实用标准文案精彩文档等差数列基础习题选（附有详细解答）.选择题（共 26小题）1.已知等差数列an中，a3=9, a9=3,则公差d的值为（）B. 12.已知数列an的通项公式是 an=2n+5,则此数列是（）A.以7为首项，公差为2的等差数列B.以7为首项，公差为5的等差数列C.以5为首项，公差为2的等差数列D.不是等差数列3.在等差数列an中，a1=13, a3=12,右 an=2,则 n 等丁（）A.23B. 24C-25D. 264 .等差数列an的前n项和为Sn,已知S3=6, a4=8,则公差d=（）A.1B.2C.3D. 25 .两个数1与5的等差中项是（）A.1B.3C.2D.

2、 V36 . 一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A. - 2B. - 3C. - 4D. -57 . （2012?昌建）等差数列an中，a1+a5=10, a4=7 ,则数列an的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 48 .数列的首项为3,为等差数列且bn = a -（夏/），若一 2 ,则散=（）n口n ii * -i 口jJi- uoA. 0B. 8C, 3D. 119 .已知两个等差数列 5, 8, 11,和3, 7, 11,都有100项，则它们的公共项的个数为（）A. 25B. 24C. 20D. 1910 .设Sn为等差数列

3、an的前n项和，若满足an=an1+2（ n3 ,且S3=9,则a1=（）A. 5B. 3C. - 1D. 111 . （ 2005?!龙江）如果数列an是等差数列，则（）13. （ 2009汝徽）已知an为等差数列，a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99,则 a20等于（精彩文档A - a1+a8a4+a5B. a1+a8=a4+a5C. a1+a8 a4+a5D . a1a8=a4a51B.-1C.2D.12A.京 R 1-1 I S Q12. （ 200471建）设Sn是等差数列an的前n项和，若一=-,贝1旨=（）巧9 S5）A. - 1B1|C. 3D. 714.在等差数

4、列an中，32=4, 36=12,那么数列的前n项和等于（）15 .已知Sn为等差数列an的前n项的和，a2+a5=4, S7=21 ,则a7的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 916 .已知数列an为等差数列，31+33+35=15 , 34=7,则S6的值为（）A. 30B. 35C. 36D. 2417. （2012靖口）等差数列3n的公差d0,且 3 = 则数列3n的前n项和Sn取得最大值时的项数 n是（ ）A.5B- 6c5或6D.6或718.（2012近宁）在等差数列3n中,已知34+38=16,则该数列前11项和S1仁（)A.58B.88c143D.17619.已知数列3n等

5、差数列,且31+33+35+37+39=10, 32+34+36+38+310=20,贝U 34=()A.| 1B- 0c1D.220.2（理）已知数列3n的前n项和Sn=n - 8n,第k项满足43k 7,则 k=()A.6B- 7c8D.921 .数列Sn的前n项和为Sn,若Sn=2n2-17n,则当Sn取得最小值时n的值为（)A.4或5B.5或6c4D.522.等差数列3n中，3n=2n-4,则S4等于（）A.12B.10c8D.423 .若3n为等差数列，03=4, 38=19,则数列3n的前10项和为（）A. 230B. 140C. 115D. 9524 .等差数列3n中，33+38

6、=5,则前10项和S10=（）A. 5B. 25C. 50D. 10025 .设Sn是公差不为0的等差数列3n的前n项和，且S1, S2, S4成等比数列，则 ,等于（）A. 1B. 2C. 3D. 426.设an=-2n+21,则数列an从首项到第几项的和最大()A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项二.填空题(共4小题)27.如果数列an满足：- 1 =5 (nEW*) ,则a =-1&mIan八28 .如果 f (n+1) =f (n) +1 (n=1, 2, 3)，且 f (1) =2,贝U f (100) =.29 .等差数列an的前n项的和- n2，则数列忸川的前

7、10项之和为.30 .已知an是一个公差大于 0的等差数列，且满足 3386=55, a2+a7=16.(I )求数列an的通项公式：卜 b b b(n)若数列an和数列bn满足等式：an=(n为正整数)，求数列b n的前n项和Sn .2 Q29n参考答案与试题解析.选择题(共26小题)1.已知等差数列an中，a3=9, a9=3,则公差d的值为()C.B. 1解答： 解：等差数列an中，a3=9, a9=3,由等差数列的通项公式，可得力+ (3 - 1) d=9&1+(9-1) d=3L1Qi =11解得，即等差数列的公差 d=-1.d= - 1故选D点评： 本题为等差数列的基本运算，只需构

8、造方程组即可解决，数基础题.2 .已知数列an的通项公式是 an=2n+5,则此数列是()A.以7为首项，公差为2的等差数列B.以7为首项，公差为5的等差数列C.以5为首项，公差为2的等差数列D.不是等差数列考点：等差数列.专题：计算题.分析：直接根据数列an的通项公式是an=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论.解答：解：因为an=2n+5,所以 ai=2M+5=7；an+1 - an=2 (n+1) +5 (2n+5) =2 .故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列.故选A.点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项.3

9、 .在等差数列an中，ai=13, a3=12,若an=2,则n等于（）D. 26A. 23B. 24C. 25考点：等差数列.专题：综合题.分析： 根据ai=i3, a3=12,利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值.解目, 解：由题意得 a3=a1+2d=12,把a1=13代入求得d=-,2贝U an=13 -1 (n 1) = -n+=2,解得 n=2322 2故选A点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题.4 .等差数列an的前n项和为Sn,已知S3=6, a4=8,则公

10、差d=()A. 1B. 2C. 3D. 2考点：等差数列.专题：计算题.分析：根据等差数列的前三项之和是6,得到这个数列的第二项是2,这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差.解答：解：二.等差数列an的前n项和为Sn,S3=6,a2=2a4=8,8=2+2d.d=3,故选C.点评： 本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三 倍，这样可以简化题目的运算.5.两个数1与5的等差中项是()分析：由于a, b的等差中项为汕，由此可求出1与5的等差中项.|2解答：解：1与5的等差中项为：上班=3,2故选B.点评： 本题考查两个

11、数的等差中项，牢记公式a, b的等差中项为： 包士是解题的关键，属基础题.26. 一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A. - 2B. - 3C. -4D. -5考点：等差数列.专题：计算题.设等差数列an的公差为d,因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以 一d 一与，结合公 56差为整数进而求出数列的公差.解答：解：设等差数列an的公差为d,所以 a6=23+5d, a7=23+6d,又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以&4=12,an=11+12 （n- 1） =12n- 1.又 5, 8, 11,与3, 7, 11,的

12、第100项分别是302与399,an=12n - 1 302 即 nW 25.5又n CN* ,，两个数列有25个相同的项.故选A解法二：设 5, 8, 11,与 3, 7, 11,分别为an与bn,则 an=3n+2, bn=4n T .设an中的第n项与bn中的第m项相同，一一.4即 3n+2=4m - 1, . n= m - 1.3又 m、nCN*,可设 m=3r （rCN*）,得 n=4r - 1.根据题意得 1W3rW100 1 3 ,且S3=9,则a1=()A. 5B. 3C. - 1D. 1考点：等差数列的通项公式.专题：计算题.分析：根据递推公式求出公差为 2,再由S3=9以及

13、前n项和公式求出ai的值.解答:点评:解：an=an 1+2 （ n3 , 1- an_ an-i=2 （n2.等差数列an的公差是2,由 S3=3ai +3X2 * 2=9 解得 ai=1 .2故选D.本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解.11. （ 2005?!龙江）如果数列an是等差数列，则（）A - a1+a8a4+a5B. a1+a8=a4+a5C. a1+a8a4+a5D . a1a8=a4a5考点：等差数列的性质.分析：用通项公式来寻求 a1+a8与a4+a5的关系.解答： 解：a1+a8 ( a4+a5)=2a1+7d ( 2a1+7d) =

14、01- a1+a8=a4+a5，故选B点评： 本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质.r , S 12 . ( 2004?fe建)设Sn是等差数列an的前n项和，若=,则:;=()为g s5A. 1B. - 1C. 2D. I2考点：等差数列的性质.专题：计算题.分析：充分利用等差数列前 n项和与某些特殊项之间的关系解题.解答：解：设等差数列an的首项为a1,由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5, a+a5=2a3,故选A.点评： 本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用,已知等差数列an的前n项和为Sn,则有如下关系S2n 1= (2n-1)

15、an.13. ( 2009汝徽)已知an为等差数列，a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99,则 a20等于()分析： 根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案.解答： 解：由已知得 ai+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,a3=35 , a4=33, . d=a4 - a3= - 2.l- a20=a3+17d=35+ (-2) X17=1 .故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是利用等差数列中等差中项的 性质求得33和a4.14.在等差数列an中

16、,02=4, 36=12,那么数列2的前n项和等于(考点：数列的求和；等差数列的性质.专题：计算题.分析： 求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数 列的前n项的和.解答：解：.等差数列an中，32=4, 36=12；公差*an=a2+ (n 2) X2=2n；.上上21TH 2n1.l的前n项和, 2HlSn=lX-i+2X2+3X(n- 1) Xun- 11 i-i+n x (-)L*.:=-1:1两式相减得2 n=-31+3X (1)Jr 34+ (n- 1) X1 ni rrf-1)+nX ()n+1n (J)% 二故选B求数列的前n

17、项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法.15.已知Sn为等差数列an的前n项的和，a2+a5=4, S7=21 ,则a7的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9考点：等差数列的性质.专题：计算题.分析： 由a2+a5=4, S7=21根据等差数列的性质可得 a3+a4=ai+a6=4，根据等差数列的前 n项和公式可得,二21 ,联立可求d, ai,代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列an中，a2+a5=4, S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=ai+a6=4根据等差数列的前 n项和公式可得， 1_4 7=212所以ai+a7=6-可得d=2, ai= - 3

18、所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前 n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题.i6.已知数列an为等差数列，ai+a3+a5=i5 , a4=7,则s6的值为（A. 30B. 35C. 36考点：等差数列的性质.专题：计算题.分析：利用等差中项的性质求得 a3的值，进而利用a什a6=a3+a4求得ai+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得 答案.解答： 解：ai+a3+a5=3a3=15,a3=5l- ai+a6=a3+a4=12一 S6=6=362故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质.17 . （2012靖口）等差数列an的公差d0,且a

19、；二a%,则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数 n是（ ）A. 5B. 6C. 5 或 6D. 6 或 7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式.专题：计算题.分析： 由d0,2;二&；广知ai+aii=0,由此能求出数列an的前n项和Sn取得最大值日的项数 n.解答:点评:解：由 d0, a；二 a；,知 ai+aii=0.-a6=0,故选C.本题主要考查等差数列的性质，求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.18 . (2012?!宁)在等差数列an中，已知a4+a8=16,则该数列前11项和Sii=()A. 58B. 88C. 143D. 176考点：等差数列的性质；等差数列

20、的前n项和.专题：计算题.分析：一_一m11( +aH )根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16,再由S11= 运算求得结果.2解希珈广生*物司-斛：在等差数列 an中，已知 a4+a8=16,a1+an=a4+a8=16, l- S11=88,故选B.点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题.19 .已知数列an等差数列，且 a1+a3+a5+a7+a9=10, a2+a4+a6+a8+a10=20,贝U a4=()A. - 1B. 0C. 1D. 2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和.专题：计算题.分析：由等差数列得性质可

21、得：5a5=10,即a5=2,同理可得5a6=20, a6=4,再由等差中项可知：a4=2a5- a6=0解答： 解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5,又a1+a3+a5+a7+a9=10,故 5a5=10,即 a5=2 .同理可得 5a6=20, a6=4.再由等差中项可知：a4=2a5 -电=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题.20 .(理)已知数列an的前n项和Sn=n2-8n,第k项满足4ak 7,则k=()A. 6B. 7C. 8D. 9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和.专题：计算题.分析：先利用公式

22、an=S (n=l),求出an,再由第k项满足4ak7,建立不等式，求出 k的值.解答：解：an=2)LSn- Sn-1 Cn2)f - 7(n=l) - 9+2n(n2) i n=1 时适合 an=2n - 9,，an=2n9. -4ak7, 1. 42k- 92）点评：本题考查数列的通项公式的求法， 解题时要注意公式 an二21,数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n2-17n,则当Sn取得最小值时n的值为（）A. 4或 5B. 5 或 6C. 4D.5考点：等差数列的前n项和.专题：计算题.分析： 把数列的前n项的和Sn看作是关于n的二次函数，把关系式配方后， 又根据n为正整数，即可得到

23、Sn取得 最小值时n的值.解答： 解：因为 Sn=2n2-17n=2-侬,416又n为正整数，所以当n=4时，Sn取得最小值.故选C点评： 此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题.22 .等差数列an中，an=2n-4,则S4等于(A. 12B. 10:等差数列的前n项和.计算题.利用等差数列an中，an=2n-4,先求出a1, d,再由等差数列的前 n项和公式求S4. 解：丁等差数列an中，an=2n - 4, -a1=2- 4=- 2, a2=4 4=0, d=0 ( 2) =2,S4=4a1+ 二=4X（ -2） +4X3=4.故选D.本题考查等差数列的前 n项和公式的

24、应用，是基础题.解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和 公差，再求前四项和.23 .若an为等差数列，ae=4, a8=19,则数列an的前10项和为（A. 230B. 140C. 115考点：等差数列的前n项和.专题：综合题.分析： 分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到和，联立即可求出首项和公差，然后利用求 出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和.解答： 解：a3=ai+2d=4，a8=ai+7d=19，-得5d=15,解得d=3,把d=3代入求得ai= - 2,所以 S10=10X( -2) +10*9 立1152故选C.点评： 此题考查学

25、生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题.24 .等差数列an中，a3+a8=5,则前10项和S10=()D. 100A. 5B. 25C. 50考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质.专题：计算题.10( Si +a in )a1+a10=5 ,代入前10项和S10 = 运算求得结分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 果.解答： 解：等差数列an中，a3+a8=5, /. a1+a10=5,“10(%).刖 10 项和 S10 =25,2故选B.点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得 a1+a10=5,是解题的关键，属于基础题

26、.25 .设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1, S2, S4成等比数列，则 ,等于()alA. 1B. 2C. 3D. 4考点：等差数列的前n项和.专题：计算题.分析：由S1, S2, S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4,然后利用等差数列的前 n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0,即可求出公差与首项的关系并解出公差d,然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差 d的关系式代入即可求出比值.解答：解：由&, S2, S4成等比数列， 2,. ( 2a1+d) =a1 (4a1+6d).dwQ d=2a1.故选C

27、n项和的公式化简求值，是一道综D.第12项点评： 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前 合题.26.设an=-2n+21,则数列an从首项到第几项的和最大()A.第10项B.第11项C.第10项或11项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质.专题：转化思想.分析：方法一：由an,令n=1求出数列的首项，利用an-如一 1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前 n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=-上时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；2a方法二：令an大于等于0,列出关于n的不等

28、式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案.解答： 解：方法一：由 an=- 2n+21 ,得到首项 a1= - 2+21=19, an1= - 2 (n1) +21= - 2n+23,+、贝U an- an 1= ( 2n+21) ( 2n+23) = 2, ( n 1, n CN ),所以此数列是首项为 19,公差为-2的等差数列，则 Sn=19n+土9112一？( 2) =- n2+20n,为开口向下的抛物线，2当n=-严 、=10时,Sn最大.一 一 一所以数列an从首项到第10项和最大.方法二：令 an= - 2n

29、+21 Q解得n且因为n取正整数，所以n的最大值为10,2所以此数列从首项到第 10项的和都为正数，从第 11项开始为负数，则数列an从首项到第10项的和最大.故选A点评： 此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前 n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n的值；也可以直接令 anQ求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解.二.填空题(共4小题)3= =-n 15n - 1427.如果数列an满足：一-一1(口处)3什1 an考点：数列递推式；等差数列的通项公式.专题：计算题.分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项, 根据

30、等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果.解答：解：根据所给的数列的递推式 -=5an+l a 仇数列_L是一个公差是5的等差数列，an-ai=3,- 1=1 =-_53.数列的通项是(n- D=U5n-5=5n里 %33. F =5315n-14故答案为：-115n- 14点评： 本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的 通项公式写出通项，本题是一个中档题目.28.如果 f (n+1) =f (n) +1 (n=1, 2, 3)，且 f (1) =2,贝U f (100) = 101考点：数列递推式；等差数列的通项公式.专题：计算题.分析

31、： 由f (n+1) =f (n) +1, xCN+, f (1) =2,依次令n=1, 2, 3,，总结规律得到 f (n) =n+1,由此能够 求出 f (100).解答： 解：f (n+1) =f (n) +1, xCN+,f (1) =2,.f (2) =f (1) +1=2+1=3 ,f (3) =f (2) +1=3+1=4 ,f (4) =f (3) +1=4+1=5 ,1. f (n) =n+1,.f (100) =100+1=101 .故答案为：101.点评： 本题考查数列的递推公式的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.29 .等差数列an的前n项的和:6口-门乙则数列|an|的前10项之和为58考点：数列的求和；等差数列的通项公式.专题：计算题.分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为an=7 - 2n ,从而得到nW3时，|an|=7-2n,当n3时，|an|=2n-7