第三章空间向量与立体几何导学案

1、OB 二§ 3.1.1空间向量及其运算，学习日标.1 .理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2 .会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及 它们的运算律；3 .能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题.AB =,试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求4444-a »b,a - b.a.b2学习过程 一、课前准备(预习教材P84 P86,找出疑惑之处)复习1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模(或长度)；叫零向量,记着；叫单位向量.叫相反向量，a的相反向量记着. 叫相等向量.向量的表示方法 有, , 和 共三种方法.复习2:平面向量

2、有加减以及数乘向量运算：1 .向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.2 .实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个量，记作，其长 度和方向规定如下：(1)1间=.(2)当X>0时，冶与A. ;当K 0时，冶与A. ;当 0 时，?a =.3 .向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a + b= b+ a 加法结合律：(a+b)+c=a+ ( b+ c) 数乘分配律：Na+b)=a+电二、新课导学 派学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单 位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算：2.点C在

3、线段AB上，且竺=5，则 CB 2AC = AB , BC = AB .反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律： A. + B. = B. + a；加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c);数乘分配律：XA. + b)=入A+入bX典型例题例1已知平行六面体 ABCD A'B'C'D'(如图)， 化西列.表达式，并标出化简结果的向量： AB BC;,T ,一 .-1 AB AD AA'，、 七1-1 AB AD CC' 2 1 ?(4)- (AB AD AA)变咛:在上图中，用AB, AD, AA

4、9;表示 AC , BD'和DB .空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为 两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若 干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量 的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平 移使它们转化为首尾相接的向量.例2化简下列各式： AB+BC+CA;(2) AB +MB +bO +QM AB _AC BD _CD; OA _OD _DC.变式：化简下列各式： OA OC BO CO;(6) Ab _AD -DC ; NQ QP MN -MP .派自我评价你完成本节导学案的情况为（）A.很好 B.较好 C.

5、一般 D.较差 派 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.下列说港中正确可是（ J耳A.若I a I = I b I ,则a , b的长度相同，方向 相反或相同； 4444B.若a与b是相反向量，则I a I = I b I ;C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中，一定有=7C .2.长 £体 ABCDA'B'C'D'中，化简 ''A A A B = AD一, L 入 Tr * 3.已知向量a , b是两个非零向量，ao,bo是与a , b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）T TT T 、 TA. a0

6、 =boB. ao =bo 或 a0 = -bo_ J , , * ,D. I ao I = I bo II T +ABCD中，若AC = AB + AD,则四边形C. ao =14.在四边形 是（）A.矩形B.菱形 C.正方形 D.平行四边形小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则 或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按 减法法则进行运算，加法和减法可以转化 .X动手试试练1.已知平行六面体ABCD - A B C D, M 为A1c1与B1 D 1的交点，化简下列表达式：，,、 . * AA +AR ;1 1一AB ADi ；2 2-1 1 I i ? AA1A1B1AD一2 A

7、B BC CC1 C1A1 A1A.5.下列说法正确的是（）A.零向量没有方向B.空间向量不可以平行移动C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D.同向且等长的有向线段表示同一向量2课后作业1.在三棱柱 ABC-A'B'C'中，M,N分别为 BC,B'C'的 中点，化简下列式子：-t（1） AM + BN A'N - MC + BB三、总结提升派学习小结1 .空间向量基本概念；2 .空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律X知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形

8、上所有点沿相同的方向移动相 同的长度”，空间的平移包含平面的平移 .»学习评价3 .如图，平行六面体 辔口彳一为肝1口1中,巴吊.为 AC与的 BD 的交点，AB=a, AD =b , AA = c, 则下列向量中与BM相等的是（）1 T 1 tA. a b c哆-,221-j 1， B. abc22C1.1：TC. abc产怎221-j 1，TD. a b c 22§ 3.1.2空间向量的数乘运算（一）1 .掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数 式化简；2 .理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论；3 .能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问

9、题.J学习过程一、课前准备(预习教材P86 P87,找出疑惑之处)复习1:化简： 5( 3a -2b ) +4 (2b -3a );反思：充分理解两个向量Lb共线向量的充要条件中 的1第0 ,注意零向量与任何向量共线 .X典型例题例J已可直线，AB,点O是直线 AB外一点，若T T OP =xOA +yOB ,且 x+y= 1，试判断 A,B,P 三点是否共线？ 6 a - 3b c - -a b - c .变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点,eL 1-4 一 .右 OP=-OA+tOB ,那么 t=2例2已知平行六面体 ABCD-A'B'C'D'

10、;,点M是棱CD =a ,CG .复习2:在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向重 a,b ,右b是非手向重，则a与b平行的充要条件是 二、新课导学派学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？AA的中点，点G在对A线A C上，且CG:GA'=2:1, TIT , 一_qB=b,CC =c，试用向量a, b, c表示向 量CA,羡,苗羡.新知：空间向量的共线：1 .如果表示空间向量的 所在的直线互相 或,则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2 .空间向量共线：W .4 4定理：对空间任意两个向量 a,b (b#0), ab的

11、充要条件是存在唯一实数 K ,使得推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线， 对空间的任意一点。，点P在直 线l上的充要条件是变式1:已知长方体 ABCD-A'B'C'D', M是对角线AC'中点，化简下列表达式：r AA. - CB ; L-t ; +，八'.'''.'' AB BC C D1-1 1T 1 -一AD AB A A222试试：已知 AB' =a +5b, BC =2a +8b,CD =3 (a b ),求证：A,B,C三点共线.变式2:如图，已知 A,B,C不共线，从

12、平面 ABC外 任一点O,作出点P,Q,R,S,使得:toatoatoatoa - IPOQ一Ros3AB -2AC2AB -3AC .2AB 2AC_3AB _2AC派 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 .下；说法正确的苔（.A.3与非零向量力共线，b与2共线，则3与2共线B.任意两个相等向量不一定共线C.任意两个共线向量相等D.若向量3与1共线，则"九b2 .正方体 ABCDA'BC'D'中，点E R底面 A'B'C'D'的中心,若 BB =xAD +yAB+zAA',贝U x= , y = , z=

13、.3 .马P 党段AB也丁点，点O在直线AB外， 则苏= OA + OB .4 .平行六面体 ABCDA'B'C'D', O 为 AiC 与 BiD1 !的父点，则(AB AD AA )= AO 3共线,'C'D' , M 是 AC 与 =c,则与BM相等c 尸 1B. - a +b +c ;221T t TD. - a - b c22小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加 法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点， 并且要注意向量的方向.动手试试1.下列说法正确的是（）4444A向量a与非零向量b共线，b与c c共线；B.任意两

14、个共线向量不一定是共线向量C.任意两0共驾向量相等；.彳D.若向量a与b共线，则a=如.5.已知平行六面体 ABCD-A1B ' -TBD 交点，若 AB=a,AD =b,AA的向量是()1 -j T T A. a b，c ;2 21T 1 t C. a - b c ;22，土蛇课后作业2. /知 a=3 m 2% b= ( x+1)m5 8n a 0 ,若 a/b ,求实数x.II三、总结提升派学习小结1 .空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2 .空间两个向量共线的充要条件及推论.X知识拓展3 3.1.2空间向量的数乘运算（二）平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移，

15、而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度”，空间的平移包含平面的平移 .一小Q一学.习评价X自我评价你完成本节导学案的情况为（A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差a,b ，B. 2C. 3D. 41 .掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数 式化简；2 .理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论；3 .能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题.学习过程i - 1 -FL- ，一、课前准备I（预习教材P86 P87,找出疑惑之处）复习1:什么叫空间向量共线？空间两个向量若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是 复

16、习2:已知直线 AB,点O是直线AB外一点, OP=1OA + 2OB,试判断A,B,P三点是否共线？33反思：若空间任意1点 O和不共线的三点 A,B,C满 足关系式 OP = xOA + yOB + zOC，且点 P与 A,B,C 共面，则 x + y + z =.X典型例题例1下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（） Om =OA -Ob -oc；OM =-oa -OB -OC;_t 532公F T MA MB MC =0;三TH 三 OM OA OB OC = 0 .A. 1二、新课导学 派学习探究探究任务一：空间向量的共面、叶一、_, i V 人二口一，、SV 人-BJ问题：

17、仝间任息两个向重不共线的两个向重 a,b有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位 置关系？变式：已知点，若向量A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一1 1 T 711OP =OA -OB ' OCi二二 R , 53P,A,B,C四点共面的条件是新知：共面向量: 同一平面的向量.a,b ,向量p与向量2.空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量 a, b共面的充要条件是存在2 如图，已知平行四边形 ABCD,过平面AC外一 O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点OGOC吟,OD推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,CE,F,G,H,并且使 OA OB求证：E,

18、F,G,H四点共面.共面的充要条件是:存在，使对空间任意一点 O,有试试：若空间任意一点。和不共线的三点 A,B,C满 1 T 1 l 1 T 一一足关系式OP =OA +OB +-OC ,则点P与 A,B,C 236变式：已知空间四边形 ABCD不共面，E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,AD的中点，求 证：E,F,G,H四点共面.的四个顶点 A,B,C,D共面吗?小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加 法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点， 并且要注意向量的方向.X动手试试练1.已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满“小一112121足条件 OP =OA 2o OB

19、+ OC,试判断：点 P与 555A,B,C是否一定共面？1 .在平行六面体 ABCDAiBiCiDi中，向量D1A、DC、AG 是（ ）A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量.2 .正方体 ABCDA'BC'D'，点E 匕底面 A'B'C'D'的中心,若 BB =xAD +yAB+zAA , 贝U x= , y = , z= .3 .马P 党段AB也丁点，点O在直线AB外， 则 OP = OA + OB .4 .平行六面体 ABCDA'B'C'D',O 为 AiC 与 BiD 的交点，

20、则漏AD AA'）"AO .35 .在下列命题中：若 a、b共线，则a、b所在的直 线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、 b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b c,则空间任意一个向量 p总可以唯一表示为 p=xa + yb+zc.其中正确命题的个数为（）.A. 0 B.i C. 2 D. 32课后作业：1 . 4 a=3m _jn_4p,b=（x+i）m+8汽+2注, a #0 ,若3 b ,求实数x, y .练 2.已知 a =3m一2九=（x+i）m+&n, a#0,若 a/b ,求实数x.T TT T

21、T2 .已知两个非零向量e,e2不共线，AB = e+e2, I4 T T TAC =2今 +8e2,AD=3e -3e2 .求证：A, B,C,D 共面.三、总结提升派学习小结1 .空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2 .空间两个向量共线的充要条件及推论.X知识拓展§ 3.1.3.空间向量白数量积（1）平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度”，空间的平移包含平面的平移 .rN6一学.习目标i.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;派自我评价你完成本节导学案的情况为（）A.

22、很好 B.较好 C. 一般 D.较差派 当堂检测（时量：5分钟 满分：i0分）计分：2.掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两 个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问 题.2学习过程- - - - -.一、课前准备I(预习教材P90 P92,找出疑惑之处)复习1：什么是平面向量a与b的数量积？ 复习 2:在边长为 1的正三角形 ABC中，求AB.Bc.4)空间向量苫量积运牙律：4(1) Ea) ,b.=Ma b) =a .(Zb) .(2) a，b =b a 逸换律).(3) a (b c) = a b a c (分配律反思：(a .b)=a (b 2)吗？举例说明.(2)若31=3则力

23、工吗？举例说明.，一、一彳 J 'T (3)右a，b = 0 ,则a = 0或b = 0吗？为什么？X典型例题例1用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这 条斜线垂直.二、新课导学X学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何 量，能否用向量的知识解决空间两条直线的 夹角和空间线段的长度问题？新知：W1)两个向量的夹角的定义知啊零少量a,b, 在空间 一点O ,作OA =a,OB b ,则ZAOB叫做向量a b的夹角，记作.变式1：用向量方法证明： 已知：m,n是平面口内的 两条相交直线，直线

24、l与平面a的交点为 B ,且 l _ m, l _ n.求证：l _La .试试：范围:=兀时，a与bG,b）=0J, a ? b<a,b =< b,a >成立吗;<a,b >= _,则称a与b互相垂直，记作2)向量的数萼积：力已知吁t a,b，则 叫做a,b的数量积，记作 a b ,即 a b =.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思： 号个，向量的数量积是数量号是向量？0 ? =芈0还是0)你能说出a b的几何意义吗？3)空间向量数量积中性质:(1)设单位向量 e ,则 a e =|a|cos <a,e >.(2) a b u a b =.(

25、3) a a=.例2 如图，在空间四边形 ABCD中，AB=2, BC=3 , BD=2® , CD=3 , /ABD =30， /ABC =6。"，求AB与CD的夹角的余弦值* ,DC 变式：如图，在正二棱枉 abc-arIcJ% AB= 72 BB 1,则AB 1与C 1B所成的角为（B ）A. 60° B. 90° C. 105°D. 75°派 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：fl例3如图，在平行四边形ABCD-A 1 B1cl D1中,' 一一'AB =4, AD =3, AA =5 2BAD =9

26、0 , ZBAA =ZDAA =60 ，求 AC 的长.li1 .下列命题中：若L=0,则a, 1中至少一个为0若a且2 .b =2.2,则=c_ 4 4 4 4 + 4（a *b） .c =a *（b .c）42424 21*2（3a 2b） .（3a -2b） =9 a -4 b正确有个数为（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2 .已知e和巳是两个单位向量，夹角为 -,则下面3向量中与2e -e垂直的是（）T -IT -I TA.ei,e2B.ei-62C.eiD.e23 .已知AABC中，NA,NB,/C所对的边为a,b,c , 且 a =3-C =30 则 BC.CA =

27、4 .已知j目=4, 1b =2,且a和b不共线，当a+?ub 与a 九b的夹角是锐角时，儿的取值范围是.5 .已知向量 a,b 满足 a =4 , b=2, a b=3, 则 a +b =2课后作业:i.已知空间四边形求证：AD _ BC .派动手试试 tT 彳 .练1.已知向量a,b满足a=1, b=2, a+b|=3, 贝U a -b =.练2.已知鼻=2V2 ,'bj =半 的夹角大小为 .§ 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学.习目标2.已知线段 AB、BD在平面a内,BDAB,线段AC_La , 如果AB=a,BD = b,AC= 6求C、D间的距离.匚总

28、结提升派学习小结1.向量的数量积的定义和几何意义.2.向量的数量积的性质和运算律的运用X知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题？求 两条直线的夹角和线段长度的新方法.&L一莹习正价派自我评价你完成本节导学案的情况为（）A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差1 .掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和 坐标表示；2 .掌握空间向量的坐标运算的规律；，向学一习过程一一、课前准备|（预习教材P92-96找出疑惑之处）复习1：平面向量基本定理： 人-曰-一彳口 一 ,入对平面上的任意一个向量P , a,b是平面上两个向量，总是存在 实数对（x,y 使得向量彳可以用?1来表一二，

29、 小 ，不，表达式为 ,其中a,b叫 做. a ±b ,则称向重P正父分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取 x轴和y轴上的_向量 4*4i,j作为基底，对平面上任意向量a ,有且只有一对 * * 4 头数x, y,使得a =xi +yj ,则称有序对（x, y）为向量a的,即a =.二、新课导学派学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量 a,能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量 有何位置关系？设 A(xi,yi,Zi) , B(x2,y2,Z2),则 AB =.向量的直角坐标运算：设a= ©©3

30、), b=笛也片),则 a+ b= (a1 十年，a2 十b2,a3 +b3)；ab=(& -bi,a2 -b2,a3 -b3); a=(九ai,九a2,八a3)(九w R);(4)a , b= aiD +a2b2 +a3b3.试试：_ H * 一曰"，一，1 .设a=2ij+3k,则向重a的坐标为.2 .若 A(1,0,2) , B (3,1-1),则"AB =.3 .已知 a= (2, T5) , b= (T1,M),求 a+b, a-b,8a, a bX典型例题i - Ln-一，一一0例1已知向重 a,b, c是仝间的一个基底，从向重 储，T 3 Ta, b,

31、 c中选哪一个向量，一定可以与向量p=a + b,-14 4q = a -b构成空间的另一个基底？新知：. 空间向量的正交分解：空U的任生平量 ）均可 分解为不共面的三个向量九a、Aca2、，皿3 ,使4 T T T -4-1-4a =%a1 +%a2 +%a3.如果4e2e3两两,这变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？种分解就是空间向量的正交分解（2）空间向量基本定牛：如果三个向量a,b,c, 对空间任一向量p ,存在有序实数组x, y, z,使得p =xa +yb +zc.把的一个基底，a,b,c都叫做基向量.反思

32、：空间任意一个向量的基底有 个.处单位正交分解： 如果空间一个基底的三个基向量互 相,长度都为，则这个基底叫做 单位正交基 底，通常用 i,j,k表示.空间向量的坐标表示 ：给定一个空间直角坐标系 O-xyz和向量a,且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正 方向的单位向量，则存在有序实数组x,y,z,使得a =xi +yj+z1,则称有序实数组x,y,z为向量a 的坐标，记着 p =.小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定 不共面.例2如图，M,N分别是四面体 QABC吗 OA,BC的 中点，P,Q是MN的三等分点，用 OA,OB,OC表示OP和OQ .派 当堂检测（

33、时量：5分钟 满分：10分）计分：1.若wbC为空间向量的一组基底，则下列各项中,OG.变式：已知平行六面体 ABCD A'BC'D）工 G , 是侧面bbc c的中心，且oA=a, OC=b,OO =c,试用向量a,b,c表示下列向量：,.-MH1 OB , BA,CA;能构成基底的是（）14 4 4 44 4 4 4 4A. a,a b,a-bB. b,a b,a-bC. c,a b,a - b D. a 2b,a b,a - b2 .设i、j、k为空间直角坐标系 O-xyz中x轴、y轴、 、一T 为z轴正方向的单位向量，且AB = -i + j-k,则点B的坐标是3 .在

34、三棱锥 OABCGJ AABC的重心（三条中 线的交点），选取OA,OB,OC为基底，试用基底表示OG =4 .正方体ABCDA'BjC'D'的棱长为2,以A为坐 标原点，以AB,AD,AA 为x轴、y轴、z轴正方向建 立空间直角坐标系， E为BBi中点，则 E的坐标 是.X动手试试”一 m _2_. 5.已知关于 x的方程x -（t -2x+t +3t+5 = 0有 两个实根，c=a+tb,且 a=（1,1,3）,b=（1,0,4）, 任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平 面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组 表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三

35、维向量统称为几何向量*学习评价X自我评价你完成本节导学案的情况为().A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差派 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分： ,、练 1.已知 a =(2,4,1 )b =(2,0,3 )c =(0,0,2 ),求: a *(b +c ); a 十6b -8c.L课后作业一1.已知 A =（3,5,，）B =（-2,4,3求 AB,BA,线段 AB 的中点坐标及线段 AB的长度.练2.正方体 ABCDpA'B'C'D'的棱长为2,以A为 坐标原点，以AB,AD,AA '为x轴、卫由、,轴正方向 建立空间直角坐标系，则点

36、Di, AC, AC'的坐标分 别是, , .三、总结提升派学习小结1 .空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2 .空间向量坐标表示及其运算2. 5,口 j,c是空间的一个E/芈_产，向量a+b,ab,c是另一组基底，若 p在a,b,c的坐标是（1,2,3）,求 p在 a+b,ab,c 的坐标.§ 3.1.5空间向量运算的坐标表示一学习一目标X知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直 关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件， 通过作辅助线来创造建系的图形 .“y学习评价X自我评价你完成本节导学案的情况为（A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差1 .掌握空间

37、向量的长度公式、夹角公式、两点间距 离公式、中点坐标公式；2 .会用这些公式解决有关问题.2学习过程- - - - - - - - 一、课前准备I(预习教材P95 P97,找出疑惑之处)复习1:设在平面直角坐标系中，A (1,3), B (1,2),则线段| AB | =.复习 2：已知 a =( -3,2,5),b =(1,5, _1),求：a+B.3ab;6A.;a b.在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1), B(X2,y2,Z2),则线段AB的中点坐标为：.X典型例题例1.如图，在正方体 ABCD ABC1D1中，点E1,F1分 别是A1B1CQ1的一个四等分点，求BE1与D

38、F1所成的 角的余弦值.二、新课导学派学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1 .向量的模：设 a= (a1 ,a2, a3),则 I a I =变式：如上图，在正方体ABCD- 1A1B1CD,BEi =DFi=3%，求BEi与DFi所成角的余弦值.32 .两个向量的夹角公式：设 a= (a1,a2,a3) , b= (b1,b2,b3),由向量数量积定义：a b= |a|b|cosv a ,b>,又由向量数量积坐标运算公式：a , b=,由此可以得出： cos < a, b>=试试：当

39、cosva、b> = 1时，a与b所成角是;当cosva、b> = 1时，a与b所成角是;例2.如图，正方体 ABCD ABGDi中，点 E,F分 别是BB1 ,Di Bi的中点，求证：EF _L DA1.当cosva、b>=0时，a与b所成角是, 即a与b的位置关系是 ,用符合表示 为.反思：设 a= (&且2毋)，b= (hMh),则a/B.二 a与b所成角是 a a与b的坐标 关系为; a± bu a与 b的坐标关系为 3 .两点间的距离公式：变式：如图，正方体 ABCD ABiCQi中，点 M 是AB的中点，求DBi与CM所成角的余弦值.,W在空间直

40、角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1), B(X2,y2,Z2),则线段AB的长度为：小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在 合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再 用公式计算.X动手试试练 1.已知 A(3,3,1)、B(1 , 0, 5),求：线段AB的中点坐标和长度；到A、B两点距离相等的点 P(x,y,z)的坐标x、V、 z满足的条件.ai a2 a3 一1 .右 a = ( ai, a2 , a3) , b= (bl , b2 , b3) ,则=bib2 b3a/ b 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要那件4 D.既不充分又不要*件2 .已知 a=(2,

41、1,3)b = (K,2,x),且 a_Lb,则x=.3 .已知 A(1,0,0 ),B(0,1,1),OA+九OB 与 OB 的夹角 为120° ,则人的值为()A.B. C.D. 64.若a =(x,2,0 )b=(3,2x,x2, 且工b的夹角为钝 角，则x的取值范围是()A. x ： -4B.一4 :二 x ： 0C. 0 : x ：: 4.D. x . 45.已知 a=(1,2, y )b=(x,1,2), 且 (a+2b)/(2a-b)，则()1A. x =-，y =13- c1C. x = 2, y = -一4B. x =- ,y - -42D. x =1,y = -1

42、练2.如图，正方体的棱长为 2,试建立适当的空间 直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的 同学交流.* W课后作业：1.如图，正万体 ABCD -ABC D棱长为a, 求AB, BC的夹角；求证：AB_L AC .三、总结提升派学习小结1 .空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公 式、中点坐标公式；2 .解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立 合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后 再代入公式进行计算.3 .如图，正方体 ABCDA1BQQ1中，点 M,N分别 为棱A1A,B1B的中点，求CM和D1N所成角的余弦值X知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的4 3.

43、1空间向量及其运算(练习):学.习目.标1 .熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运 算，向量的数量积运算及其坐标表示；对空间任意一点7 .向量的数量积：8 .单位正交分解：B.等长向量D.不共面向量5 - 76D.2 .熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点 间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式 解决有关问题.L一学一习过程.、课前准备：(阅读课本P115)复习：1 .具有 和 的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，记着 ；具有叫单位向量.2 .向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.3 .实数入与向量a的积是一个 量，记作 ，其 长度和方向规定如下：(1)1间=.(2)当

44、X>0时，冶与A. ;当K 0时，冶与A. ;当 0 时，?a =.4 .向量加法和数乘向量运算律：交换律：a + b=结合律：(a + b) + c=数乘分配律：Xa+ b)=5 .表示空间向量的 所在的直线互相 或,则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.空间向量 共线定理：对空间任意两个向量a,b *4 4(b =0 ), a/b的充要条件是存在唯一实数人，使得; 推论：l为经过已知点 A且平行于已知非零向量；的直线，对空间的任意一点。，点P在直线l上的充要条件是6.空间向量共面：共面向量：同一平面的向量. 一、一人一，一口 4 4-0_一曰定理：对空间两个不共线向量 a,b,向量p与

45、向量4 ha ,b共面的充要条件是存在 , 使得.推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：存在,使的有a b 二.如果空间一个基底的三个基向量互,则这个基底叫做单位正交基底，通常用 i,j,k表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a,且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组x,y,z,使得I 44=a = xi+yj+zk,则称有序头数组 x,y,z为向重 a 的坐标,记着 "p二.10.设 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2),则晶= 11.向量的直角坐标运算：设 a=©4) ,

46、b= 2也,<),则 a+ b=; a b=; a =;(4) a - b=X动手试试1.在下列命题中：若 a、b共线，则a、b所在的 直线平行；若a、b所在的直线是异面直线， 则a、 b一定不共面；若 a、b、c三向量两两共面，则 a、b、c三向量一定也共面；已知三向量 a、b、 c,则空间任意一个向量 p总可以唯一表示为 p= xa + yb+ zc.其中正确命题而个数为()A . 0 B. 1 C. 2 D. 32 .在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，向量D1A>D1C、AC1是(A.有相同起点的向量C.共面向量3 .已知 a= (2, 1, 3), b= (1,

47、4, 2), c= (7, 5,入)，若a、b、c三向量共面，则实数=A.4 .若a、b均为非零向量，则 a b刁a |b|是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5 .已知 ABC的三个顶点为 A (3, 3, 2), B (4, -3,7), C (0,5, 1),则BC边上的中线长为()A. 2 B. 3 C. 4 D. 53T 4444444 16 . a =3i+2j k,b =i j+2k,贝U 5a ,3b=()A. - 15B. - 5 C. -3 D. - 1派典型例题. 一一TT 4例J4图，空间四边形 OABC中，OA

48、=a,OB=b , OC =c ,星JM在OA上，且OM=2MA,点N为BC的 中点，则MN =.CC1 =c,则A. a b -cC. -a b c-+ 4 -t 42. m _ a,m I b,B. a - b cD. -a b - cj J T .4 . 向量 n = >“a +Nb(Z,Rw RM九、|V变式：如图，平行六面体ABCD _A'Bc'd'中，AB= a A'd b, AA =c，点 P, M ,NCA,CD ,CD的中点，点 Q在CA上，且分别是CQ 4'一 ,QA 1用基底a,b,c表不下列向量: AP ; AM ; AN

49、;(4)AQ .N#0)则(. JA. m/nC. mB . m与n不平行也不垂直.%以了情况都了能.43.已知 a+b + c= 0 , |a|=2, |b|=3, |c|= 5/19 , 则向量a与1之间的夹角a,b为（）<a,b>为(A.B. 45°4.已知 a=（1,1, 0b=（ 相垂直，则k的值是（C. 60° q D.以中对 1,0,2且 ka +b 与 2a-b 互 )1A. .1 B.一5C.3D.(2m,n,m 2n),m+n= 5.若 A(m+1, n1,3), B.C(m+ 3,n3,9)三点共线,则例2 如图，在直三棱柱ABC -A1B

50、1C1 中，/ABC=90 ?CB=1, CA=2, AA/,能 M 是 CC1 的 中点，求证：AM _ BA .，士E课后作业.如图，在棱长为 1的正方体 ABCD AB1c1D1中，点 E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.求证：EF _LCF ;求EF与CG所成角的余弦;求CE的长.fl变式：正三棱柱 ABCA1B1cl的侧棱长为 2,底面 边长为1,点M是BC的中点，在直线CC1上求一点 N,使得 MN _L AB13 3.2立体几何中的向量方法（1）派自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差派 当堂检测（时量：5分钟 满分：,0分）:1

51、.直三棱柱 ABC A1B1C1 中，右 CA a ， CB b ， 士L学.习目标一一1 .掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念2 .掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题.5学习过程一、课前准备I(预习教材Pl02 Pl04,找出疑惑之处)复习1： 可以确定一条直线；确定 一个平面的方法有哪些？复习2:如何判定空间 A,B,C三点在一条直线上?反思：1 . 一个平面的法向量是唯一的吗?2 .平面的法向量可以是零向量吗?向量表不平行、垂直关系：设直线l ,m的方向向量分别为a,b ,平面a,P的法向量分别为则广、叶 叶 一 l"my :“孝y jk

52、b l Hau a_Luu au=0444 o( “Pu u"vuu = kv.受习 3：设 a= (ai,a2, a3), b= (bi,b2,b3), a , b=二、新课导学 派学习探究探究任务一：向量表示空间的点、直线、平面 问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置？X典型例题例1已知两点 A(1,_2,3),B(2,1,_3),求直线 AB 与坐标平面YOZ的交点.新知：变式：已知三点 A(1,2,3 )B(2,1,2 P(1,1,2),点 Q在 T TOP上运动(O为坐标原点)，求当QA,QB取得最小 值时，点Q的坐标.点：在空间中，我们取一定点 O作为基点，那么 空间中任意一点P的位置就可以用向量 OP来表示， 我们把向量OP称为点p的位置向量.直线： 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非 零向量.对u线i上的任一点p ,存在实数t,使得 AP =tAB ,此方程称为 直线的向量参数方程.平面： 空间中平面a的位置可以由两个不共线向量确定.对于平面a上的任一点P ,a,b是平面a内两个不共线向量，则存在有序实数对(x,y),使得 44O P = x a y b 空间中平面 a的位置还可以用垂直于平面的直 线的方向向量表示空间中平面的位置.小结：解