波的折射与反射讲课讲稿

1、波的折射与反射在电力系统中，我们常常会遇到下列情况：线路末端与另一不同波阻抗的线 路相连，如一架空线与一电缆线相连接；线路末端接有集中参数阻抗(如电阻、 电容、电感或者它们的组合)等。在这些情况下，当线路上有行波传播且到达两 个不同波阻抗的连接点或者到达接有集中参数的接点时，将会发生什么情况呢？这就是本节要讨论的主要问题，下面以两条不同波阻抗线路相连接的情况为例子 来讨论。行波的折、反射规律若具有不同波阻抗的两条线路相连接，如图2-5，连接点为Ao。现将线路乙合闸于支流电源U。，合闸之后沿线路乙 有一与电源电压相同的前行电压波Uiq(Uiq Uo)自电源向结点A传播，到达结点A遇到波阻为Z2的

2、线路，根据前一 节所述，在结点A前后都必须保持单位长度导线的电场能与磁场能都相等的规 律，但是由于线路Z,与z2的单位长度电感与对地电容都不相同，因此当Uiq到达A 点时必然要发生电压、电流的变化，也就是说，在结点A处要发生行波的折射与 反射，反射电压波5f自结点A处要发生行波的折射与反射，反射电压波 5f自结 点A沿线路Z!返回传播，折射电压波则自结点 A沿线路Z2继续向前传播。显然， 此折射电压波也就是线路Z2上的前行电压波，以U2q表示。通过下面的分析，可 以求得反射电压波u仃和折射电压波U2q。图2-5行波在结点A的折射与反射假设折射电压波U2q尚未到达线路Z2的末端，即线路Z2上尚未

3、出现反行电压波，一般的说法是Zq虽然已经到达Z2的末端，线路Z2上已经出现反行电压波, 但此反行电压尚未到达结点 A。对于线路Zi :UiUiqUi f ； iiilqil fU1qZ1 i1q； U1 fZ1 i1 f对于线路Z2，因Z2上的反行电压波U2f0，故U2U2qi2 i2qU2q Z2i2q (也即在结点A处只能有一个电压和电流值，故UU2；i112于是得UiqU1f U2q(2-13)i1q Ufi2q(2-14)将（2-14 ）化为下式U1qU1 fU2qZ2U1qU1fZ1U2qZ2(2-15)将式（2-13）与（2-15）相加，得Z12U1q(1")U2qZ2U

4、2q2Z2Z1Z2u1quu1q(2-16)U2q2i2qUZ2Z1Z22乙i Z2i1qii1q(2-17)将U2q代入式（2-13）可得Uifu2q2Z2-u1qZ1Z2Z2Z1iqZ1u1quu1qZ2(2-18)hfZ2 Z1ZiZ2Z1Z(ZlZ2)1qi i1q(2-19)式中au空Z1 Z2表示线路Z2上的折射电压波Zq与入射电压波u1q的比值，称为电压折射系数，同理，ai 丄称为电流折射系数。Z1 Z2Z2Z1弓表示线路Z1Z2上的反射电压波U1f与U1q的比值，称为电压反射系数，同理,Z1Z2Z1Z2称为电流反射系数。折射系数的值永远是正确的，这说明折射电压波q总是和入射电压

5、波u1q同极性的，当z2 0时，au0 :当Z2时,2，因此0 au 2。反射系数可正可负，当Z20时候,1时，当Z2时,1，因此1同理可知，02，1i 1。折射系数与反射系数满足下列关系式U1 fi1q , i2q即u 2,i 0, ii2 0这表明当Uiq到达末端时将发生折反射，反射电压波等于入射电压波，折射电 压波即末端电压将上升一倍，末端电流为零，反射电压波将自末端返回传播， 所 到之处使电压上升一倍，电流降为零值。反射电压波到达处的全部磁场能量将转 变为电场能量，从而使电压上升一倍。222几种特殊条件下的折反射波此时,2,=1。线路末端电压U2q2Ulq，反射波电压U1fU1q ；线

6、路末端电流i2q= 0,反射波电流i1fU1fNU1qNig，如图2-6所示。这一结1 线路末端开路（Z2）果表明，由于线路末端发生电压波正的全反射和电流波负的全反射， 线路末端的 电压上升到入射电压的两倍；随着反射波的逆向传播，所到之处线路电压也加倍， 而由于电流波负的全反射，线路的电流下降到零。u1f=U 0U1q=U 0Z1Z1Z1U 0I 1qAUoZ1图2-6线路末端开路时的折反射，PU；q.Z20,全部能量均反射回去，反射波返回后单位长度的总能线路开路末端处电压加倍、电流变零的现象也可以从能量关系来理解：因为Z2因此反射波量为入射波能量的两倍。又由于入射波的电场能量与磁场能量相等，

7、返回后单位长度线路储存的总能量为 W 2 1Cou1q - Loifq2 2丄CoU：。2 2 2因为反射波到达后线路电流为零， 故磁场能量为零，全部磁场能量转化为电场能 量，因此电场能量增加到原来的 4倍，即电压增大到原来的2倍。过电压波在开路末端的加倍升高对绝缘是很危险的，在考虑过电压防护措施 时对此应给予充分的注意。2末端短路此时，=0，= -1。线路末端电压U2q 0，反射波电压UifU1q ；线路末端反射波电流ilf且 毁 iiq，如图2-7所示。这一结果表明，入射波UlqZiZi到达末端后，发生了负的全反射，负反射的结果使线路末端电压下降为零， 并逐 步向首端发展；电流波iiq发生

8、了正的全反射，线路末端的电流i2q iiq iif 2iiq， 即电流上升到原来的2倍，且逐步向首端发展。ZUiq=U 0_A_II,uif =U 0U0iif N 一U01 / Zi1 iq Z-A 1图2-7线路末端短路时的折反射线路末端短路时电流的增大也可以从能量的角度加以解释，显然这是电磁能从末端返回而且全部转化为磁能的结果。3 末端接有电阻R Zi此时，=i， = 0。线路末端电压U2q Uiq，反射波电压Uif 0 ；线路末端 反射波电流为零，如图2-8所示。这一结果表明，入射波到达与线路波阻抗相同 的负载时，没有发生反射现象，相当于线路末端接于另一波阻抗相同的线路I 1qUo乙(

9、Z2乙),也就是均匀线路的延伸。在高压测量中，常在电缆末端接上和电缆 波阻相等的匹配电阻来消除在电缆末端折、反射所引起的测量误差。但从能量的 角度看，两者是不同的。当末端接电阻 R乙时，传播到末端的电磁能全部消耗 在电阻R中；而当末端接相同波阻抗的线路时，该线路上并不消耗能量。Ulq U 0' A 乙丄r Zi r图2-8末端接有电阻R=Zi时的折反射【例2-2】直流电源合闸于空载线路的波过程。如图2-9所示，线路长度为I, t二0时合闸于电压为Uo的直流电源，求线路末端 B点和线路中点C点电压随时 间的变化。解 合闸后，从t= 0开始，电源电压Uo自线路首端A点向线路末端B点传 播，

10、传播速度为v 1 , LoCo，自A点传播到B点的时间设为 ， I v，设线 路波阻抗为Z。当o< t < 时，线路上只 有前行 的电压波uiq Uo和前行的电流波Iiq UZ。如图 2-9 ( a )所示。当t二 时，波到达开路的末端B点，电压波和电流波分别发生正全反射和 负全反射，形成反行的电压波口仃Uo和电流波Iif U°Z。此反射波将于t = 2时到达A点。当 < t <2时，线路上各点电压由uiq和ui f叠加而成，电流 由iiq和iif叠加而成。如图2-9 ( b )所示。当t二2时，反行波ui f到达线路的首端A点，迫使A点的电压上升为2Uo。

11、但由电源边界条件所决定的 A点电压又必须为Uo。因此反行波ui f到达A点的 结果是使电源发出另一个幅值为一 Uo的前行波电压来保持A点的电压为Uo，即 在t = 2之后，有一新的前行电压波Uo自A点向B点行进，同时产生 新的前行电流波I2q Uo.N。在2 < t <3时，线路上各点的电压由uiq、ui f和U2q叠加而成，线路上各点的电流由i1q、i1f和i2q叠加而成，如图2-9( C )所 示。A£Uo T U1qU 0 x电压波BA U1qU1 f U 0 wz xA电流波UoB(a)(b)Bl_Vu1fF u1qB(o 2LVVBtABU2qU oBtUo31

12、v图2-9直流电源作用于末端开路的空载线路的波过程当t = 3时，新的前行波到达B点，电压波和电流波分别发生正全反射和负全反射，形成新的反行电压波U2fUo和电流波i2f Uo Z。此反射波将于t=4时到达A点。当3 < t <4时，线路上各点电压由U1q、U1f、U2q和U2f叠 加而成，电流由i1q、i1f、i2q和i2f叠加而成。如图2-9( d )所示。当t二4时，反行波U2f到达线路的首端A点，迫使A点的电压下降为0。 但由电源边界条件所决定的 A点电压又必须为Uo。因此反行波U2f到达A点的 结果是使电源发出另一个幅值为 Uo的前行波电压来保持 A点的电压为Uo，从 而

13、开始重复图2-9( a )所示的新的波过程。图2-10空载线路末端和中点电压波形0234567 t如此反复往返传播，根据所有前行反行波叠加的结果，可以得到如图2-10Uc所示线路末端B点电压和中间点C点的电压随时间变化的曲线。【例2-3】空载带电线路合闸于末端匹配的电阻。女口 图2-11所示，长度为I、波 阻抗为Z的线路预先充电到电压Uo ,t = 0时合闸于阻值为R的电阻，求电阻 两端电压降随时间的变化。解 可以用波过程观点进行求解。波在线路上的传播速度为v 1L°C。在 带电的空载线路上，可以看成存在两个带有相同电压、波长度为二I / v、传播方向相反的波；由于传播方向相反，因此

14、线路上不存在电流。设两个电压波为u1q 和 u1f，则 u1q u1 fU °. 2，如图 2-11 ( a )所示。t = 0时，ug到达B点，由于R Z，故B点处不发生反射，Ur u1q U 0 2。 同时，U1 f到达A点，由于线路在A点开路，故电压波发生正的全反射，形成反 射波U2 f ,U2 f将在t二 时到达B点，其尾部到达A点。因此，当OW tv 时， 电阻上的压降由U1q导致，其值为U02 ；线路上的电压由U1q、U1 f和U2 f叠加 而成，如图2-11 ( b )所示。当t = 时，U1q的尾部到达B点，U1q对R的作用结束；U1f的尾部到达A 点，线路上不再存在

15、U1 f ； U2 f到达B点，同样在 B点不发生反射，Ur U2f U 2。当t = 2时，U2 f的尾部到达B点。因此，当 W t V2时，电阻上的压降由U2 f决定，仍为U°，2 ；线路上的电压由U2 f形成，如图2-11( c ) 所示。当t = 2时，U2 f的尾部到达B点，U2 f对R的作用结束。UR随时间的变 化如图2-12所示，为一幅值为u°2，宽度为2的矩形波。根据这一原理，可以用电缆做成星形线产生设定脉宽的方波， 在脉冲功率系 统中有广泛的应用。*UoRv(t一 Ulf(a)B(c)图2-11带电线路合闸于末端接匹配电阻的波过程图2-12空载带电线路合闸

16、于电阻时的电阻电压波形等值集中参数定理（彼得逊法则）前面的内容从分布参数线路上波传播的角度， 分析了波的折射和反射的计算 问题。将i2q 代入式（2-15），得Z2 i2q(2-21)联立求解方程式（2-13）和（2-21），消去U1 f ,得到另一个表示入射电压和电流间的关系式(2-22)2uiq U 2q i 2qZ 1不难看出，上式正好是图2-13 ( b )所示集中参数电路的电路方程。由此 可以得到一条重要的法则，要计算分布参数线路上节点的电压，可以应用图2-13 所示的等值电路：线路波阻抗 乙用数值相等的集中参数电阻代替；把线路 入射电压波的两倍2 uiq作为等值电压源。这就是计算折

17、射波 U2q的等值电路法 则，称之为彼得逊法则。(a)Zii2q "1Z2TU2q(b)利用这一法则，可以把分布参数电路中的波过程的许多问题， 简化成我们所 熟悉的集中参数电路的计算。必须注意的是，彼得逊法则的使用是有一定的条件 的。首先它要求波沿分布参数的线路射入； 其次，和节点相连的线路必须是无穷 长的。如果节点 A两端的线路为有限长的话，则以上等值电路只适用于线路端 部的反射波尚未到达节点 A的时间内。在实际计算中，常常遇到电流源的情况(如雷电流)。此时采用电流源形式 的等值电路较为方便，如图2-14所示。ilqAZ1n U2q(a)O 2ilq乙Z2U2q(b)图2-14电流源的集中参数等值电路（诺顿等值电路）【例2-4】如图2-15 （a ）所示，变电所母线上接有n条线路，每条线路的波 阻抗均为Z。当一条线路上落雷，电压u （ t）入侵变电所，求母线上的电压。解 根据彼得逊法则，可得图2-15（ a）