定积分应用及广义积分

1、第三章一元积分学第四节定积分的应用及广义积分.定积分的应用积分有着广泛的应用。在这里我们要掌握（1）直接用公式计算（主要是面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去解。元素法同样适用于重积分的应用问题,还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。例1.（1）曲线y=2esinx（x芝0）与轴所围成的图形的面积为.（2）曲线y=g、：'sintdt（0苴x壬兀）的弧长为解：(1)所求的面积为A=匚|2e"sinx|dx=Zk=0二(k1)二x2e|sin

2、x|dxn（k1）二IT2e项|sinx|dx=2e*je'sintdt=e#'(1e)_二._i°成e'tA=(iren(2)弧长为|=q1f(x)2dx=4例2.过点（4,0）作曲线y=&x_1）（3_x）的切线，（1）求切线方程；（2）求由这切线与该曲线及轴围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.1、-2x)y=,(x-1)(3-x)设切点为（x0,y°）,则有2-x°_y°-0：;(x0-1)(3-x0).(x。-1)(3-x。)x(0-4x0-451解得x0=，那么切线的斜率为k=2.3切线方程为y=一一J（x4

3、），即x+*3y-4=03（3）旋转体的体积为4-123二V=敏5(x-4)2dx-二5(x-1)(3-x)dx=一2.326下面介绍一下元素法我们先看一个例子例3.求曲线y=2x-x2与直线y=0围成的图形绕直线x=3旋转一周的旋转体的体积.分析：求旋转体的体积是我们熟悉的问题.但本题没有现成的公式好用，应考虑用元素法将所求的体积化为一个积分，然后计算积分得结果.在学习定积分概念时，讲过将曲边梯形的面积化为一个定积分的几个步骤：分割、近似、求和、取极限.用元素法将所求的量化为一个定积分的步骤稍微简化一点：分割、近似后得元素、积分(以得到的元素为被积表达式在相应区间上积分)得结果.先要选好积分

4、变量并确定积分区间，本题中可选也可选.若选为积分变量，则积分区间为0,1，分割：在0,1上任取一个小区间y,y+dy,近似：该小区间对应的一小片绕直线x=3旋转一周的旋转体的体积AV近似为V财兀(2+(厂3)2(2JT)2dy=8兀JTVdy,从而得体积元素1116,一dV=8兀J1ydy,积分得结果:V=£dV=时侦1ydy=n.若选为积分变量，03则积分区间为0,2，分割：在0,2上任取一个小区间x,x十dx,近似：该小区间对应的小曲边梯形绕直线x=3旋转一周的旋转体的体积AV近似为2232_2V：二y(3-x)2-(3-x-dx)2=2二(x3-5x26x)dx-二y(dx)2

5、机2n(x3-5x2+6x)dx,从而得体积元素=2n(x3-5x2+6x)dx,积分得结果：213216V=£dV=£2n(x35x2+6x)dx=兀.解答过程自己完成.003总结：用元素法求某个量的一般步骤：(1) 建立坐标系，选取积分变量，比如.确定该变量的变化区间即为积分区间，比如a,b.在区间a,b上任取一个小区间x,x+dx，对应该小区间的部分量记为AU,找出该部分量的近似值AU土f(x)dx,那么得到量的元素dU=f(x)dx.(3)以元素dU=f(x)dx为积分表达式在区间a,b上积分便得欲求的量bbU=dU=f(x)dxaa这里关键是找出元素dU=f(x)

6、dx,找元素的思想是：以直代曲，以常代变.例3.设有半径为的密度不均匀的圆盘.已知其面密度为P=ar+b,其中为所考虑的点到圆盘中心的距离，a,b为正常数，求圆盘的质量.解：以圆盘上的点到圆心的距离为积分工变量，则r在0,R,任取0,R上的一个小区间r,r+d门，该小区间对应的小圆环的质量近似为M:二(rdr)2-二r2(arb)：2二r(arb)dr于是质量元素为dM=2二r(arb)dr,所以圆盘质量为M=2一.r(arb)dr=二R2(-aRb)03注：本题可用二重积分计算。二.广义积分本节主要介绍广义积分的计算及敛散性判定。广义积分的计算也有基本方法和特殊方法，基本方法与定积分差不多但

7、要分清瑕点。广义积分的敛散性判定主要是两个方法(1)用定义，(2)比较法，这一方法适用于被积函数在瑕点附近或无穷远点附近非负(若非正，则加一负号可变为非负)，并且与正项级数的比较审敛法相似.若被积函数在瑕点附近或无穷远点附近变号，可考虑是否绝对收敛.这里先要熟悉几个简单广义积分的收敛性：，一a1对于fdx,(aa0),p<1时收敛，p芝1时发散.0xp,F1对于dx,(a0),p1时收敛，p<1时发散.axp1对于fdx,(a1),p>1时收敛，p1时发散.ax(lnx)p例4.求下列积分(1)(x1)2(x-1),：fWdx，其中f(x)=31f2(x)x3(x-2)二xI

8、nx0C7dx1Jx-a|2b(x-a)2b2dx(b0),dxx(1x)(nx)(n-1)解:(1)(分析:注意这里有两个瑕点：0,2)3fx=”f2(x)0f(x)2dx”f2(x)2f(x)2dx01f2(x)fdx1f2(x)=arctanf(x)|七十arctanf(x)|2+arctanf(x)|3、32二32=(-0)(-一)(arctan)=arctan222227227注:本题的计算很容易出错：一dx=arctanf(x)|34=arctan笑一0=arctan笑，错”f2(x)2727误的根源在于没注意到积分区间内有两个瑕点，由此可看出计算这类积分时一定要把瑕点找出来然后按

9、本题的做法那样去处理，还要注意极限的单侧性.ejxInx-1化j1(分析：首先容易想到用分部法去求：xinxdxlnxdJ0(1x2)2201x2=一业-产-产一dx，至此问题出来了，由于lim=q,这就没法做21x2u、.2220x(1x2)x)P1x2下去了，但我们不能由此说该积分发散，也不能说分部法不能用.事实上很容易判断该积分是收敛的(实际上x=0不能算是假点)，用分部法计算广义积分时要求分部积分公式右边两项均收敛(上述做法中右边两项均发散).本题用分部法可以这样做：二xlnx11,-1:du=arctan(u-一)|。=下(二一(一二)xlnx二xlnxdx=dxdx2222220(

10、1x)0(1x)1(1x)=1jlnxd(1_)+1，lnxdy201x2211x2往下计算请同学完成，下面有一种更简便方法(称之为分段相消法)二xlnx,'C7dx1xlnx,0(T7dx二xlnx,C7dx对后一积分作换元1x=t，得1:xlnx2、2(1x)11ln-dx=°T112(1",1、1tlnt(-2)dt厂2dtt0(1t)所以二xlnx0(1x2)2dx=0(3) (分析：初一看此题比较复杂，我们试着先换元简化问题，令t=xa,则积分变为-fee.x1-a|2dx=(x-a)b1一地上dt=t2b2再利用奇偶性有_里=气牛再换元一Wdt=2二b、

11、t2dt>t2b2u2du1u4但积分二u201u4du仍不好算，我们可用配对法计算此积分:设UU又112u122(u-)2u亍，故、22二u,4duuJI2、2所以jx-a|(4) -dx=4,；'bI=、；2bR,这是分析，解答请同学们完成)(x-a)2b2(分析：被积函数是有理函数，我们总可以将它分拆成最简分式的和=A°*A1+An,而且可以求出x(x1)(xn)xx1xn(-1)k(-1)kC：n!(-k)(-k1)(-1)1(n-k)一k!(n_k)!从而Indx=lim'、'x(1-x)(n-x):':k=01bAkdxxknlim&

12、#39;Ak(ln(bk)-ln(1k)b二心n.n1_.k_kbiAklnb=blimlnb(-1)Cn故In1n(1)k*C：ln(1+k).这是分析，解答请同学们完成)1x(1x)(nx)dxn!kzS一一一k而JimAkln(bk)=JimAkln(1-)Jim求下列积分(2)二212二xdx01ex-bo已知oe2-Xdx也-U2+1"exdx(3)(4)球,、二xdx解：(1)£1ex：xe-1dx=)xe七1)nexdxn=0(-1)nxe(n1)xdx=、0(-1)n2n=0(n1)2121计算I(m,n)=0xn(lnx)mdx二arctanaxarcta

13、nbx,dx(a0,b0)(2)令J-:-(x2七)exdx,二-(x20e-)1xdxx二x2n)ex1)1x(12)dxx二x_3e121212x_)2.2xd(x)=eexx01d(x)，x.一-x_1)2/ex1d(x)x4t2edt=2-beeJ2dt=、二Vn"2e221也rX-2)xdx(4)对建立递推式11mI(m'n)=n1")dt(lnt)mdt(一1)张!|(05)=("m(n1)m1(n1)（5）（利用二重积分）arctanax-arctanbx:T?dy二arctanax-arctanbxdx=77dydx=1x2y2ab(01d

14、x)dy=)1x2y2b2ya二dy=-lna2b例6.广义积分rngdx收敛的充要条件是满足.分析：首先可以看出本题答案与大于零还是小于零无关，考虑大于零，这个积分有瑕点X=0和无穷点x=+",这两点都要考虑：二arctan：x1arctan：x二arctan：x:dx=:dx:dx0x0x1xIPdx具有相同的敛1arctan上x对于日dx,由于arctanaxax（xT0）,因此该积分与散性，故该积分收敛的充要条件是P<2o对于|arctapdx,由于arctanxT：（xt危），因此该积分与pdx具有相同的敛散性，故该积分收敛的充要条件是P>1o综上分析知要填的答

15、案是1：2二11.例7.讨论(ln(1+).)dx的收敛性0x1x二11.111二11解：0(ln(1-)-一)dx=(in(1)-一)dx(ln(1-)-一)dx0x1x0x1x1x1x.111一1111.对于l(ln(1+)dx，由于Idx是正常积分，故只需讨论ln(1+)dx,0x1x01x0x作换元t=1，贝U1ln(1十1)dx=rln(1t)dt收敛。x0x1t:11.对于f(ln(1+)一)dx,1x1x11-o(-)1111、由于xt+妙时ln(1+)=_+o(),xx2xx1ln(1)x1_11x一2x21o(2)x"bo故1(ln(11.1十_)dx收敛。x1x综上知原积分收敛。练习题1.(1)广义积分SLjdx收敛的充要条件是满足x(答案：1:："2)(2)limc<(f1(t)d.(a>0,f(x)为0,1上的连续函数)4 (用洛比达法则，答案工保)IXd2X+2X