圆锥曲线二轮复习全部题型总结

1、圆锥曲线一、圆锥曲线的定义1、几何定义：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conicsections）。通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：1）当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。2）当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。5）当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。6）当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（

2、另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。7）当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。思考：【做】例1、（14年3月13校联考14题）设B、C是定点，且均不在平面上，动点A在平面上，且1sinABC一，则点A的轨迹为（）2（A）圆或椭圆（B）抛物线或双曲线（C）椭圆或双曲线（D）以上均有可能4、书本上基本的定义在平面内1）圆：到定点的距离等于定长；2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；4）抛物线：到定点与定直线距离相等.（定点不在定直线上）二、轨迹方程1、求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列

3、式、化简、确定点的范围2、求动点轨迹方程的几种方法直接法：（2）定义法：（3）代入法：（4）参数法：（5）点差法：典型例题一：直接法此类问题重在寻找数量关系。例1:一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程?二：定义法5一例1：已知ABC的顶点A,B的坐标分别为（-4,0）,（4,0）,C为动点，且满足sinBsinA-sinC,4求点C的轨迹。2:一动圆与圆。x2y21外切，而与圆C：x2y26x80内切，那么动圆的圆心M的轨迹是:A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支三：参数法例1.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线此类方法主要在于设置合适的参

4、数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。l1,12,若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。四：代入法例1.点B是椭圆2yb21上的动点，A(2a,0)为定点,求线段AB的中点M的轨迹方程.五、点差法2例1直线1:axya50(a是参数)与抛物线yx1的相交弦是AB，求弦AB的中点轨迹方程.三、方程识别1、平面直角坐标方程2、参数方程(1)圆xarcosybrsin(2)椭圆xyacosbsinxzcccc、，C42(3)双曲线xasec(4)抛物线x2ptybtany2pt经典例题22例1、当m,n满足什么条件时，方程21分别表示圆、椭圆、双

5、曲线?mn【做】例2、（20XX年上海徐汇区一模18）【理】对于直角坐标平面xOy内的点A（x,y）（不是原点），A的“对偶点”B是指：满足OAOB1且在射线OA上的那个点.若P,Q,R,S是在同一直线上的四个不同的点（都不是原点）,贝u它们的“对偶点”p',q',r',s'（）A.一定共线；B.一定共圆；C.要么共线，要么共圆；D既不共线，也不共圆.四、圆锥曲线的概念与几何性质平面内到两定点耳,R的距离的醇常数是（是同写b的动点的轨迹叫即（JJ|+|A£Fj=2a2a>Zc时，轨迹是椭圆，当2。=查时5轨迹是一线殷何?氏|3轨迹不存在平面内到两

6、定点气，弓的即直的差的绝对值为常数2白<0<2a<|）的动点的轨迹叫戒曲线.即状见|-|A压|卜电当如<2,时，轨迹是麹曲线当E二"时，轨迹是两条射线当如时！轨捶不存在2222、一xyxy-汪：与221共渐近线的双曲线万程2（0）;abab经典例题变式：1.与椭圆例1.椭圆5x匕1共焦点，且过点（3,-2）的椭圆标准方程是ky25的一个焦点是（0,2）,那么k=22两渐近线夹角为.双曲线二1的渐近线为;93.过点（-6,3）且和双曲线x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为4.若双曲线8kx2ky28的一个焦点是（0,3）,则k的值是22xy例2.给出|可

7、题：Fi、F2是双曲线二=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点Fi的1620距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8,由|PFi|-|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.五、点与圆锥曲线位置关系、最值问题1、位置关系几何方法代数方法利用x、y进行范围锁定2、最值问题一定一动（动点在圆锥曲线上）：利用两点间的距离公式.（圆可用加减半径求解）两定一动（其中一定为焦点、动点在圆锥曲线上）：利用焦点转化（抛物线利用焦点与准线转换）经典例题例1.某

8、海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h、h?,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2,那么船只已进入该浅水区的判别条件是-x2例2.已知M是椭圆91上的动点，N是圆(x1)242y1的动点，求|MN|的最小值例3.(1)P是椭圆女+42V-1上一点，F是椭圆右焦点,3A(1,1),求PF1PA的范围.2P是双曲线x21上一点，F1是双曲线右焦点，A(2,1),求PF1PA的最小值.2A(3,

9、3)，求PAPF1的最小值(3)P是椭圆-+七1上一点，巳是椭圆右焦点,43六、直线与圆锥曲线位置关系、交点个数方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系.方程解的个数为交点个数。方法二是几何的观点(以双曲线为例)直线与双曲线的位置关系:区域:无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域:即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域:2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;3F132条;y区域:即定点在渐近线上且非原点,1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计区域:即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线小结：过定点作直线与双曲线

10、有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.经典例题例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2y21,试列出实数k需满足的不等式组，使直线与双曲线交同支于两点。2X例2.过点P(3,4)与双曲线c：9A.4B.3C.221只有一个交点的直线的条数为16D.1例3.若对任意kR,直线yk(x2)b与双曲线x2y21总有公共点，则b范围22变式：1.过原点与双曲线土y_1交于两点的直线斜率的取值范围是2.若方程x+k-Jix2=0只有一个解，贝u实数4.曲线x2y26x0(y0)与直线yk(xA.34Ak-,0；B.k0,；43k的取值范围是2)有公共点的充要条件是()3 33C.k0

11、,;D.k,4 445.已知两点M(5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|PN|=6，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线：yx1，y2;y4x:y2x1.其中为“B型直线”的是(填3上所有正确的序号)6.已知双曲线方程为2x22y2与点P(1,2),2)的直线l的斜率k的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。七、直线与圆锥曲线的最值、弦长以及面积1、到定直线的距离最值：方法一：作定直线的平行线与圆锥曲线相切，两平行线之间的距离为最值。方法二：直接利用参数方程，用点到直线的距离公式来进行解决。2、弦长问题若直线ykxb与二次曲线的交点为A（x1,y1）和B（x2

12、,y2）方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离方法二：利用弦长公式：|AB|1k2|x1x2|=1+k2?.（x1+x2）24x1x2L，Li-2i：1|*y2、仆卫？v（y+y2）4yiy2Vkvk方法三：（半弦长）2=（半径）2-（圆心到直线距离）2（-只适用于圆）注意：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦3、面积1（1）、普通三角形：（注意）S1ABd2注意：有时需要将三角形拆成两个三角形（2）、焦点三角形：椭圆：Sb2tan，双曲线：Swf,f,b2cot2122经典例题22例1.椭圆匕1上的点到直线l:xy90的距离的最小值为.169变式：1、设点P在曲线yx22上，点Q在曲线y

13、（x2上,则PQ的最小值等于2例2.经过双曲线x21的右焦点F2作直线l交双曲线与A、B两点，若|AB|=4,2则这样的直线存在的条数为()(A)4;(B)3;(C)2;(D)12变式：1.一直线l过椭圆42七1的左焦点，被椭圆截得的弦长为2,则直线l的方程为222.若F1、F2双曲线C：y21的左、右焦点，点P在双曲线C上，/F1PF2=60，则P4到x轴的距离为()A亭；B.半;C.*；D芸.八、几何意义常涉及距离和斜率以及截距，另外方程解的问题也会涉及，通常结合圆锥曲线的图像，但要注意变量的范围。典型例题例1.如果实数x,y满足方程(x2)2y23,那么y的最大值为x(B)(C)、32(

14、D)变式：1若方程x+k-.1x2=0只有一个解，则实数k的取值范围是2.若关于x的方程x21k(x2)有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是(2)向量数量积为0.1的左、右焦点.九、角的大小、垂直问题1、角：借助向量，转化为坐标运算。2、垂直问题：(1)斜率乘积为-13、与向量有关问题：转化为坐标运算典型例题2X例1.设Fi、F2分别是椭圆一4(I)若P是该椭圆上的一个动点,PF1?PF2的最大值和最小值；(n)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且ZAOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.变式：1.直线l:ykx1与双曲线C:2x2y21的右支交

15、于不同的两点A、B.(1) 求实数k的取值范围；是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由2.【做】2.倾角为§的直线l过抛物线v4X的焦点F与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线准线上的动点.(1) ABC能否为正三角形？若ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围十、弦中点问题以及对称问题弦中点I可题：1、韦达定理;2、点差法.对称问题：垂直、平分。1、韦达定理;2、点差法典型例题例1、如果椭圆虹1弦被点A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是36922变式：1、已知直线y=x+1与椭圆%1(ab0)相交于A、B两点，

16、且线段AB的中点在直线L:abx-2y=0上，则此椭圆中c:a为例2、若抛物线yax21上总存在关于直线xy0对称的两点，求a的范围:22变式：1.若直线L过M(-2,1),交椭圆C：、1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L94的方程.卜一、存在性I可题1、正面求解：存在或存在几个的问题2、反面求解：假设存在，再加以计算或证明典型例题【做】例1.将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点2p,0，这样的正三角形有()A.0个B2个C.4个D(2012.奉贤.文.18.)两个顶点在抛物线2y2px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有()A.4个B3个C.2个D例

17、2.已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线11：x2的距离为d1，到点F(1,0)的距离为d2，且金亘.d12.(1)求动点P所在曲线C的方程；直线l过点F且与曲线C交于不同两点AB(点A或B不在x轴上)，分别过AB点作直线l1:x2的垂线，对应的垂足分别为M、N,试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；记S|Sfam,S2SFMN,S3SFBN(AB、M、N是中的点)，I可是否存在实数,使S2S1S3成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2进一步思考问题：若上述问题中直线l1:xJ、点F(c,0)、曲线C：1(ab0,cVa2)，则使等式S2成立

18、的的值仍保持不变.请给出你的判断ab(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明).变式：1.已知双曲线方程为2x2y22与点P(1,2),(3)是否存在直线l,使Q(1,1)为l被双曲线所截弦的中点？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。2.已知ABC的三个顶点在抛物线：x2y上运动，1.求的焦点坐标；若点A在坐标原点，且BAC,点M在BC上，且AMBC0,2求点M的轨迹方程；试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为J2的正三角形ABC,若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由.3.对于双曲线C：x2当1(a0,b0)，定义C1：与%1为其伴随曲线

19、，记双曲线C的左、右2222abab顶点为A、B.(1)当ab时，记双曲线C的半焦距为c,其伴随椭圆G的半焦距为G,若c2c1，求双曲线C的渐近线方程;(2)若双曲线C的方程为x轴，记直线PA与直线QB的交点为M,求动点M的轨迹方程;(3)过双曲线C:x22y1的左焦点F，且斜率为k的直线l与双曲线C交于N1、N2M点，求证：对任意的k24,24,在伴随曲线G上总存在点S,使得FNFNfS2十二、圆锥曲线定点、定值问题22例1.(2012杨浦区二模文22)已知椭圆C:与；1ab0的左、右焦点分别为R,F2,点M0,2是椭圆的一个顶点，F1MF2是等腰直角三角形.(1) 求椭圆C的方程；(2)

20、设点p是椭圆C上一动点，求直线PM的中点Q的轨迹方程；(3) 过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k1,k2，且kk28,探究：直线AB是否过定点，并说明理由.例2.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.过G的左顶点引G的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(4分)(1) 设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2y21相切，求证：OdOQ(6分)设椭圆C2:4x2y21.若MN分别是C1、C2±的动点，且O匝ON求证：O到直线MN的距离是定值.(6分)%1ab0b2的中心O为圆心，va2b2为半

21、2x变式：1.(2012普陀区二模理23)以椭圆C:-2a径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为A,左焦点为F，上顶点为B，且满足AB2,S危SOABSOFB2(1) 求椭圆C及其“准圆”的方程；若椭圆C的“准圆”的一条弦ED与椭圆C交于M、N两点，试证明：当oMON0时，弦ED的长为定值；对于给定的椭圆C，若点P是下列三点之一时，是否存在以P为一个顶点的“准圆”的内接矩形，使椭圆C完全落在该矩形所围成的区域内(包括边界)?若存在，请写出作图方法，并予以证明；若不存在，请说明理由.说明：对于下列三点只需选做一种，满分分别是2分，5分，7分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计

22、分。 P(a,b);P(0,Ja(20XX年上海宝山区理科一模23)(本题18分，第(1)小题6分；第小题12分)b2)；射线yJ3x(x0)与椭圆C的“准圆”的交点P.22xy如图，椭圆E:-2&1（ab0）的左焦点为Fi,右焦点为F2,过Fi的直线交椭圆于A,B两ab点，ABF2的周长为8,且AFiF2面积最大时，AF1F2为正三角形.（1）求椭圆E的方程;（2）设动直线l:ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x4相交于点Q.试探究:以PQ为直径的圆与x轴的位置关系?在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.【做】

23、3.（2014闵行二模理22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）、(3)小题满分各6分.设椭圆1的中心和抛物线2的顶点均为原点O,1、2的焦点均在X轴上，过2的焦点F作直线1,与2交于AB两点，在1、2上各取两个点，将其坐标记录于下表中:X324V3y2扼042(1)求1,2的标准方程;(2)若1与交于c、D两点，F0为的左焦点，求S一的最小值；第22题图SZF0CD点P、Q是上的两点，且OPOQ,求证:1lOP|2OQ2为定值;反之,1lOPP172OQ此定值时，OPOQ是否成立？请说明理由十三、圆锥曲线性质的类比及思考(1)圆中2x 右P0（X0,y0）在圆

24、2r2X 右Po（Xo,yo）在圆二r2yT1上，则过P,的圆的切线方程是rrr221外，则过P)作圆的两条切线切点为rXoXyoy2r1.R、P2，则切点弦PP2的直线方程yoy2r1.22若Po（X0,y。）在椭圆%-y2a2b222若P0（X0,y0）在椭圆X2七ab1上，则过皓的椭圆的切线方程是与a1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为1.P、B，则切点弦PP2的直线方程是号捋1.ab22椭圆%1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点abF1PF2,则椭圆的焦点角形的面积为SfPF2b2tan.22AB是椭圆与J1的不平行于对称轴的弦,abK也Kab2.ay°

25、;M（X0,y0）为AB的中点，贝UkoMKab耳，即a22已知椭圆4七1,直线ykX交椭圆于A,B两点，点P是椭圆上异于A,B的任一点，且kpA,ab曰X0X是与rAB是圆%y%'1的不平行于X,y轴的弦，M(Xo,yo)为AB的中点，贝UkoMKab1,即rrKXoKAB.y。已知圆X02X绊1,直线ykX交圆于A,B两点，点P是圆上异于A,B的任一点，且kPA,kPBrr均存在，则KpaKpb=-1.(2)椭圆中kPB均存在，贝UkPAkPBb2-a(3)双曲线中若Po(Xo,yo)在双曲线若Po(xo,yo)在双曲线2x2a2x2a2七1b212r1b21(a0,b0)上,(a

26、0,b0)外则切点弦PP2的直线方程是x°x2a1.X0X则过P0的双曲线的切线方程是a,则过P0作双曲线的两条切线切点为R、P2,2双曲线亳a2y,八，21(a0,bb0)的左右焦点分别为Fi,F2，点P为双曲线上任意一点F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2,2,bcot-.22AB是双曲线与ab22，KomKab已知双曲线2X2a2yb2且kPA,kPB均存在，则2七1b21a0,b0)的不平行于对称轴的弦,M(X0,y0)为AB的中点，则KaBb2x°2ay0kx交双曲线于A,B两点，点P是双曲线上异于A,B的任一点,kPAkPBb22-a经典例题2x例

27、1.设R、F2分别为椭圆C:a2y，-，一I1(ab0)的左右两个焦点。b23一(1)若椭圆上的点A(1-)到Fi,F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;工1(ab0)上关于原点对称的两个点，点Px2(2)已知椭圆具有性质：若M,N是椭圆C:2a2b2是椭圆上任意一点，且直线PM,PN的斜率都存在，并记为kPM,kPN，那么kPM与kPN的乘积是与P点22xy位置无关的正值。试对双曲线21写出类似的性质，并加以证明。a2b2变式：1.(20XX年上海青浦区一模22)(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分，第3小题满分2分.22设直线Lykixp交

28、椭圆：与右1(ab0)于C、D两点，交直线L?：yk?x于点E.a2b2b2(1)若E为CD的中点，求证：k1k2；a(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真;(3)请你类比椭圆中(1)、(2)的结论，写出双曲线中类似性质的结论(不必证明).2.AB,CD是0O的两条弦，直线AB,CD相交于点P,则PAPBPCPD.22与椭圆进行类比：AB,CD是椭圆与土1a0,b0的两条弦，直线AB,CD相交于点P,且ab直线AB与CD的倾斜角互补，贝UPAPBPCPD.十五、向量以及极坐标与圆锥曲线(*)1,一，【做】例1.已知椭圆的焦点F11,0,F21,0，过P0，1作垂直于y轴的直线被椭圆所截线

29、段长为花，过Fi作直线l与椭圆交于AB两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求PAB的面积；(3)是否存在实数t使PAPB1Pf1，若存在，求t的值和直线l的方程；若不存在，说明理由.22例2.已知椭圆的方程为二%1(ab0),点P的坐标为(a,b).(1) ab1,一一、若直角坐标平面上的点M、A(0,b),B(a,0)满足PM-(PAPB)，求点M的坐标；2b2设直线l/ykxp交椭圆于C、D两点，交直线l2：yk2x于点E.若k1k2二，证明:aE为CD的中点；(理)(3)对于椭圆上的点Q(acos,bsin)(0)，如果椭圆上存在不同的两个交点P、P2满足P

30、P1PP2PQ,写出求作点P、P,的步骤，并求出使P、巳存在的的取值范围(文)(3)设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PP'PQ?令a点p、已满足pp110,的点p、r满足pPMpQ,求点PQ中点F的直线l，使得l与椭圆的两个交b5,点P的坐标是(-8,-1)，若椭圆上P2的坐标.2X例3.(1)设椭圆C1:xa2yb21与双曲线C2：9x29y21有相同的焦点F、F2,M是椭圆C与ny双曲线C2的公共点，且MF1F2的周长为6，求椭圆Ci的方程;我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”2 如图，已知“盾圆D”的方程为y24X(0X3).设“盾圆D”

31、12(x4)(3x4)上的任意一点M到F1,0的距离为di,M到直线l:x3的距离为d2,求证：did2为定值；222由抛物线弧Ei:y2=4x(0x)与第(1)小题椭圆弧E2:乌上1(-xa)a2b23所合成的封闭曲线为“盾圆E”.设过点F1,0的直线与“盾圆E”交于A、B两点，r|FA|r1,|FB|r2且AFx(0),试用cos表示r1；并求史的取值范围.2十五、其他题型、探索性问题1.(松江区20XX届高三一模理科)14.定义变换T将平面内的点P(x,y)(x0,y0)变换到平面内的点Q(JX，JV)若曲线C。：|1(x0,y0)经变换T后得到曲线C1,曲线G经变换T后得到曲线*C2，依次类推，曲线Cn1经变换T后碍到曲线Cn，当nN时，记曲线Cn与x、y轴正半轴的交点为An(an,0)和Bn(0,bn).某同学研究后认为曲线Cn具有如下性质：对任意的nN,曲线Cn都关于原点对称；-，*_一对任意的nN,曲线Cn恒过点(0,2)；对任意的nN,曲线Cn均在矩形OAnDnBn(含边界)的内部，其中Dn的坐标为Dn0n,bn)；记矩形OAnDnBn的面积