圆锥曲线知识要点及结论个人总结

1、圆锥曲线知识要点及重要结论、椭圆2a(2aF1F2)的点P的轨迹叫做椭1定义平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数圆.若2aF1F2，点P的轨迹是线段F1F2.若02aIF1F2，点P不存在.2标准方程F1(c,0),F2(c,0).2y，%1(ab0),两焦点为b22yx2.2ab1(a0),两焦点为F1(0,c),F2(0,c).其中a2b2c2.3几何性质椭圆是轴对称图形,有两条对称轴.椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心椭圆的顶点有四个,长轴长为2a,短轴长为2b,椭圆的焦点在长轴上若椭圆的标准方程为2x2a2土1(ab0),则b2a,若椭圆的标准方程为2y2ax2.1(ab0

2、),则b2b,二、双曲线1定义平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(02aF1F2)的点的轨迹叫做双曲线.若2aF1F2,点P的轨迹是两条射线.若2aF1F2,点P不存在.2标准方程22xy2,2ab1(a0,b0),两焦点为F1(c,0),F2(c,0).22xy2,2ab1(a0,b0),两焦点为F1(0,c),F2(0,c).其中c2a2b2.3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心双曲线的顶点有两个A1,A2，实轴长为2a,虚轴长为2b,双曲线的焦点在实轴上若双曲线的标准方程为1(a0,ba,yR;若双曲线的标准方程为2

3、y2a1(a0,ba,xR.4渐近线2x双曲线a1(a0,b0)有两条渐近线.即2x2a2双曲线土a1(a0,b0)有两条渐近线2y2a双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线,但对于同组渐进线却对应无数条双曲线22与双曲线与土1(a0,b0)共渐进线的双曲线可表示为ab2x2a2yb2(0).直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0”同时成立.5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线2x等轴双曲线的标准方程为na2土1(aa2%1(aa0).等轴双曲线的渐近线方程为6共轴双曲线：实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线互为共轴双曲线2队x

4、如：a20)的共轴双曲线为%b2%1(aa0,b0),它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心,va2b2为半径的圆上.且它们的渐近线都是b工y-x和ya、抛物线1定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2标准方程(4)2px(p2px(p2py(p2py(p0),焦点为(言,0)，准线方程为x0),焦点为(是，0)，准线方程为0),焦点为(0,壹),准线方程为y0)，焦点为(0,),准线方程为，抛物线张口向右.2-，抛物线张口向左.2p，抛物线张口向上.2，抛物线张口向下.2其中p表示焦点到准线

5、的距离.3几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对对称轴是x轴，若方程为x2:若抛物线方程为y22px(p若抛物线方程为y22px(p2右抛物线万程为x2py(p2_右抛物线万程为x2py(p【几个重要结论】221已知椭圆与J1(aba2b2点，则PFJ(x°c)2yo,岑2cx°a2杼a-a2_尔轴.右万程为y2px(p22py(p0)或x2py(p0),则x0,yR.0),则x0,yR.0)，则y0,xR.0)，则y0,xR.圆锥曲线的一些重要结论0)的两焦点为Fi(c,0),F2(c,0),:；(x°c)2b2(1当)a、2cx0a)aa.2或y2px(p0),

6、则i,则对称轴是y轴.P(x°,y°)为椭圆上一因为ac丝c,0aaCX0ca所以PFi已知双曲线CX0a.同理，PF22y2i(a0,bb双曲线上一点，则22xy2椭圆&ab2aPFi0)的左、CX0右焦点分别为Fi(c,0),F2(c,0),P(X0,y°)为PFiCX0PF2CX01(ab0)的两焦点为Fi,F2,P为椭圆上一点，若FiPF2FiPF2的面积为.2bsin,2xbtan.icos2解：根据椭圆的定义可得PFiPF22a，、.一22_2_2|_由余弦定理可得4c2FiF2PFiPF22PFJPF2cos由得4a24c22PFi|PF2(

7、1cos).从而PFPF22b2icosi所以，PFiF2的面积为-|PFjPF2sin.2bsinicosb2tan222双曲线与土i(a0,b0)的两焦点为Fi,F2,P为其上一点，若FiPF2，则abiuFiPF2的面积为-PFiPF2sin2.2bsin,2xbcot.icos222xy3已知椭圆C：t土i(ab0),M,N是C上关于原点对称的两点，点P是椭圆ab上任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在，并记为kPM,kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值解：设P(X0,y°),M(Xi,yi)，则N(x，y).kPMyixi。N22yiy0yiv&*

8、v&yi，从而kpMkpN22XiX0XixXiXoXoXi222一，一,x0y0Xi又因为P(Xo,y。)，M(Xi,yi)都在椭圆上，故与马i,弓aba2yib72222222两式相减得，Xo2Xi也/0,因而y2y24即kpMkpNabx0Xiab22.a类似结论已知双曲线2X2ai(a0,b0).M,N是C上关于原点对称的两点，点p是双曲线上任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在，并记为kpM,kpN时，那么kpM与kpN之积是与点p位置无关的定值.【常用方法】i在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义

9、法.2本章经常会碰到直线l与圆锥曲线C相交于两点的问题，若已知l过定点p(X0,y。)，则可设l的方程为xX0或yy°k(Xx°).然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C的方程中，整理得到关于x或y的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l的条件不明显时，则可设l的方程为xm或ykxm.3本章还经常用到“点差法”：设直线l与圆锥曲线C交于点A(xi,yi),B(x2,y2),则A,B两点坐标都满足曲线C的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB的斜率业丑的表达式，也经常会出现xiX2,yiy2，这样又可

10、以与线段AB的中点X2Xip(x0,y°)联系起来！4若三点A（xyi）,Bg,y2）,P（xo,y0）满足以线段AB为直径的圆经过点P或APBP时，常用处理方法有：_2-22根据勾股定理可得ABPAPB；一，一一y0yiy0y2根据AP的斜率与BP的斜率之积为1,可得-1;XoXiXoX2根据PAPB0,PA（XiXo,yiyo）,PBgx°,y?y°）可得（XiXo）（X2Xo）（yiyo）（y2y。）O.5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.圆锥曲线中有用的结论离心率e2FiPF22Xi椭圆2axacosO）的参数方

11、程是ybsinzPFiF2中，记PFiF2,FiF2Psinc则有e.sinsina2线到中心的距离为史，焦点到对应准线的距离（焦准距）cb2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:2b2.a2X2椭圆a2yb2i(abO）焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积PFie(XeXPF22e(-cx)aexSFiPF2,2c|yP|btanFiPF3椭圆的的内外部：2X2a2匕b2i(abO）的内部22a2逃ib212222X2ayb2i(abO）的外部Xo2a些ib2i(i)点P(xo,yo)在椭圆(2)点P(xo,yo)在椭圆4椭圆的切线方程：2X(1)椭圆a2yb21(ab0)上一点P(

12、x),y0)处的切线方程是费餐1.ab22(2)过椭圆与匕ab2.一X(3)椭圆a222.2AaBb1外一点P(xo,y。)所引两条切线的切点弦方程是2y%1(ab0)与直线AxByC0b22c.x°xy°y1221.ab相切的条件是225双曲线一221(a0,bab-、，一c0)的离心率e一aZPF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2Psinsinsin2焦点在x轴的与a22m(m0)与焦点在y轴的。与n(n0)共渐近ba线，它们离心率满足关系1221ey准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)p0cc过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为:b22a焦半径公

13、式PF1|e(x一)|aex|,c两焦半径与焦距构成三角形的面积SFiPF22PF2|e(x)|c|a2F1PFbcot-26双曲线的方程与渐近线方程的关系22(1)若双曲线方程为爻2Yy1ab22渐近线方程：%0ab(2)若渐近线方程为yx2若双曲线与一2a(0，焦点在xbxa2y_b2轴上,0双曲线可设为2xa0,焦点在y轴上).1有公共渐近线，可设为2x2a2y2y_b2(4)焦点到渐近线的距离总是b。7双曲线的切线方程：22(1)双曲线与&1(a0,b0)上一点P(x0,y。)处的切线方程是笔捋1.abab22(2)过双曲线%彳1外一点P(x0,y。)所引两条切线的切点弦方程是

14、竺捋1.abab22(3)双曲线号&1与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.a2b228抛物线y2px的焦半径公式抛物线y22px(p0)焦半径CFx。p.2过焦点弦长CDxi卫X2222xi2px2p=.2sin9直线与圆锥曲线相交的弦长公式ABJ(ix?)2(yiV2V或ABJ(1k2)(x2Xp4x2x1|xx21tan2|y1y2|cot2(弦端点A(x，y。,B(x2,y2)，由方程y版巳消去y得到ax2bxc0F(x,y)010. 0,为直线的倾斜角，k为直线斜率，|xx21依1xp4*经过抛物线y2=2px(p>0)(*)的焦点作一条直线l交抛物线于A

15、(xi,y)、B(x2,y2),则l的方程为x=_P(通经所在直线)，或y=k(x_P)(*)22(*)、(*)两式联立：消x得y2y卫40，得y1y2=p2(定值)消y得2p2方程k2x2(k2p2p)xk-p-0，得乂佚=2_(定值)44例题：若Pi(xi,yi),P2(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点，则"yiy2=一p2”是“直线PiP2过抛物线焦点F”的充要条件.11. 以焦点弦AB为直径的圆必与准线相切。 以焦半径为直径的圆必与y轴相切(请证明！)过A、B作准线的垂线，焦点弦AB与准线形成的直角梯形ABB/A/的对角线的交点是原点.T(2p,0)是抛物线y2=2px对称轴y=0上的特殊点，过此点的弦与抛物线交于uuuuuuurP、Q,则有ZPOQ=900或说OPOQ0。x2y2中点弦公式i.AB是椭圆2i的不平行于对称轴的弦，M(x0,y°)为AB的中点，ab则kOMkABKABb2X02oay°22xy2.AB是双曲线