通信原理教案严红丽滁州学院电子与电气工程学院随机过程

1、?通信原理?教案严红丽滁州学院电子与电气工程学院第3章随机过程本章重点1、平稳随机过程；2、高斯随机过程；3、窄带随机过程和高斯噪声、正弦波加窄带高斯噪声。本章难点1、高斯随机过程；2、窄带随机过程和高斯噪声、正弦波加窄带高斯噪声。教学方法本章是全书的根底，采用多媒体和板书相结合的手段，详细的讲解随机过程 的根本概念，随机过程的数字特征均值、方差、相关函数和功率谱密度，高 斯过程、随机过程、窄带随机过程，以及正弦波加窄带高斯过程、高斯白噪声及 其通过理想低通信道和理想带通信道滤波器。公式以及所代表的含义要讲解透 彻，课堂习题讲解与课后作业相结合，力求学生掌握根本概念、根本方法。本章 主要采用课

2、堂讲授的教学方法，共用 4课时。授课内容3.1随机过程的根本概念通信过程是有用信号通过通信系统的过程，且在通信系统各点常伴随有噪声的参加及此参加噪声在系统中传输。由此看来，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。通信系统中遇到的信号， 通常总带有某种随机性， 即它们的某个或几个参数不能预知或不能 完全预知。一、随机过程的概念及定义通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。从一实例讲起，设有 n部性能完全相同的通信机，工作条件相同。n部通信机，n台记录仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，一次记录的一个波形，就是一个实现抽样函数。无数个记录构成的 总体 集合就是随机过

3、程。上述这一类随机过程(随机信号)有如下特征： 信号变化不可预测；如气温信号，知道今中午的温度，但不能确切知道明天中午的 温度。 事物的变化过程不能用一个(或几个)时间t确实定函数来加以描述。如通信机的输出热噪声电压，在相同条件下每次测量都将产生不同的热噪电压时间函数，要用一簇函数来描述。n部通信机输出的热噪电压波形见下列图：ViIsqm 1II总体：概率tlt 20值附近概率值大，离0V值远，概率平滑减少高斯分布 v噪声值t1此噪声电压值岀现的概率在上图中， 迤八(t2厂是随机变量，亂t ) 在任一时刻的值是不确定的。在纵向：t1 = V = V1 N2, V是随机变量，Vi ,；2是样本。

4、在横向：时间序列： t , t = 1,2, ?，仅是一个实现(样本函数)随机过程两个属性(1) t是一个时间函数。(2) 给定任一时刻t1 ,t1是不含t变化的随机变量。、分布函数及概率密度一维分布函数：随机变量t1 小于或等于某一数值 X的概率f( x, tj= p( mx那么称F (x,t1)为 t的一维概率密度。一维概率密度:如果存在:F x, t1-xf x, t1那么称f x,t1 为 t的一维概率密度。热噪声电压的一维分布函数曲线如下：显然随机过程的一维分布函数和概率密度仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计 特性，没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在联系，还需在足够多的时刻

5、上考虑随机过程的多维分布函数。多维分布函数：Fn Xi, X2,Xn ； ti,t2 ,=p匕x1, t2 岂 x2， tn 岂 Xn 1多维概率密度函数：r a xv x2 xn汕 Fn Xi, X2 , Xn ；ti, t2 / tn显然，n越大，对随机过程统计特性的描述越充分。三、随机过程的数学特征上述随机过程的概率分布函数和密度函数能完整的描述其统计特性，然而在一般情况, 多采用数学特征来描述随机过程的统计特性。t的数学期望均值E t 丨= xf x,t dx= a t-Ot所有样本函数在时刻 t的函数值的平均，也称集平均，以区别时间平均的概念。n阶矩定义：E，n t丄x2方差定义二

6、t :偏离均值的程度D lh(t 9= Eqt )E 底(t 护 -E 2 t 一2 t E t 丨 E t f 二 E2 t L2Et t Et 2 二 Et 2 一 tJ.x2 f x,t dx 一 a t衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，定义: 协方差函数：QO CO 二Xi _a tiBti,t2 二 El ti -atjl t2 -at2 flx2 - a t2 1 f2 x,x2;虬t2 dx1dx2自相关函数：二维概率密度Rti,t2)=Elqti 览花)】二 _ ： _：XlX2f2 Xi, X2； ti ,t2 dXidX2显然有：B ti,t2 二

7、Rti,t2 - E ti I E t2 1互相关函数：Rti,t2 二 E tit2 1二;xy f x, ti; y, t2 dxdy- 两个随机过程二维概率密度小结：随机过程的根本概念定义：假设干“实现(样本函数)构成的总体是随机过程。从纵向上来看，如果我们在 ti时刻对n条样本函数同时取样，得随机变量(ti):(ti )= i (t), 2 (t ), 3 (t)n (t)或者说，全体样本在t时刻的取值就构成一个随机变量。从横向上来看(沿时间轴上观察)，时间序列： i (t), 2 (t )厂 n (t )是一个实 现(样本函数)，全体实现才构成随机过程。随过程机看上去波形千变万化，各

8、不相同，似乎很难定量描述样本函数及随机变量，应该用统计的方法加以描述。在静态上：对于随机变量(ti )，我们考察概率密度、分布函数等。在动态上：对于样本函数i (t)，我们考察其数字特征，有：均值 随机过程围绕什么均值起伏变化？方差对均值的偏离程度？自相关函数随机过程在不同时刻的取值它们之间的关联程度。下面图示两个随机过程 (t)、 (t):过程 (t) 是慢变化，过程(t)是快变化，它们大致有相同的 均值、方差，但是在不同时刻的取值， 对于 (t) 来说，相关性强；对于(t) 来说，相关性强弱。3.2平稳随机过程、平稳随机过程一种特殊类型的随机过程 平稳随机过程，对任意n和，满足(n维概率密

9、度函数)：Tn Xi , X2 ,二 fn Xi ,对于一维的情况来说,Xn； ti ,t2 , tnXn ；t ,t2厂 tn -一维概率密度函数与时间无关。即f X二维概率密度函数只与时间间隔有关，即f X1X2,平稳随机过程的统计特性：(1)均值(数学期望)E t 丄 xf x dx = a-(如果巴(t)为电压电流信号，方差那么a表示直流分量)D t I - E t -：匕2(如果E (t )为电压电流信号，那么二 LJx-a) f(xdx22自相关函数二表示交流分量的平均功率。)平稳随机过程的自相关函数只与时间间隔-有关：R t1t= R当 t为电压电流信号时，那么-=0时的自相关二

10、 t1t1 - 1函数RO表示总平均功率。x1x2 f x1, x2; dx1dx2在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为平稳随机过程，因此研究平稳过程有很大实际意义。二、各态历经过程大量的实际观测和理论分析说明，许多平稳随机过程具有所谓“各态历经性。许多平稳过程的数学特征(均值、方差、自相关函数)，完全可由过程中的任一实现(任 一样本函数)的数学特征来决定。假设一随机过程是各态历经过程，那么必满足:x a1f x dx = limT2 x t dt = aT- : T: 2J (x-a) f (x )dx = Tim -1 T) = lim T? k(t X(t 十 )dt = R(

11、i)、TyT 一 2各态历经过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态似的。 任一实现都能代表整个随机过程。T匚讣-肌各态历经过程必须首先是平稳过程，但平稳过程不一定是各态历经过程。 各态历经过程的平均值，时间平均和对应的集合平均相等。3.3平稳过程的相关函数与功率谱密度一、相关函数在平稳过程中，均值、方差、自相关、互相关函数这四个数学特征中，自相关函数是最 重要的一个。R 二 E t t 丨 一XX2 f XX2, dXdx2根本性质：R 0 i； = E2 t丄S , s(t)的平均功率，电压t信号在T电阻上所消耗的平均功率。尽管平稳随机过程的总能量是无穷的，但平均功率为有限值。 R

12、仁)=R(-C平稳过程只与时间间隔有关，卜间隔。值小于R 0 。说明：1 - E： 2 tEti ：t . F _0： 2 t _2 t t 亠亠：2 t . 1-0 E ： 2 t L 2E t t .R 0 -2R广 R0 _0R 0 _ R R ：二 E2t 1lim R = lim EI t t 二 Et 11 t . 1=a a注：一 - , t , t统计独立，平稳过程的均值与时间无关，为常数。 R 0 - R ； 2DEl t -a2：?二 E2 t -2a t a2九 E 2 d-2a d a2二 R 0 ?-2a a a2二 R0 -a2 二 R0 - R、频谱特性先看确定性

13、信号：设确定性功率信号 f t，有功率谱密度 Ps，自相关函数 R t ， f t的平均功率为:1 OQ平均功率押m=fT2t dti=limodilim二:t：: TqQPs- id- 式中，ft是ft的截短函数fT t的频谱，确定性信号f t的功率谱密度:Ps=Tli m F；RPs平稳随机过程有否上述关系？2随机过程的能量往往不是有限值，也就是说不满足t d :，因此随机过程不存在信号能量频谱。然而如果是平稳随机过程，那么其平均功率可能是有限值。我们定义，平稳随机过程t的平均功率:平均功率先对21求时间平均功率 仍是一个随机量， 然而再作统计平均对于功率型的平稳随机过程而言，它的每一实现

14、也将是功率信号，因而可以借用上述确定性信号的功率谱公式来表示每一“实现的功率谱。但是，随机过程的每一实现不可预测，因此，仅仅用某一实现的功率谱密度不能作为 过程的功率谱密度。随机过程的功率谱应看作是每一实现的功率谱的统计平均。仿照确定性信号的分析推导过程见徐佩霞书P42，设过程t的截短函数T t 截短的随机过程，截短函数 T t的傅立叶变换：t；I(t)ejtdtT / 2=-T / 2T t r td平稳随机过程t的平均功率，有:1 CO 2=E* lim f J(t) dt T tT 辺 Jim E，T42.T d1t T1 :Py- i d T. t TT2 T t e jtdt T2

15、T t e-j dt-/2- 2川疋更(tF(t$ e规dtdtiT1T令：t - t ，eRt)2、那么得:1 0R eT 一AR e= .；(T x)R . e t d1 T-0 仃 _ )R e-1 d 二.；(I、)Rej d.Tj T dt d .2_-T TjT2_ dt d./2注：平稳过程只与时间间隔.有关，II; 自相关函数：re= EqtYt +艸|IRt*-t 二 E t t t-1Ei tt 1i= Rt-1 !R =R_于是，p种吧：=limT：El -21TL(1-)R(eT%it的功率谱密度为P :过程的平均功率 S 等于各个频率分量统计值单独奉献出的功率之连续和

16、。是在频率域上描述随机过程统计特性的最主要数字特征。下面考察频谱PJl与自相关函数R t之间的关系。注释：偶函数：F国F-国=|F 1=E.TTT2- 2=2存 I2 R(t t )e dtdt_ 2 _ 2=R 計d故得，二Pej dPW R j dR 2兀平稳随机过程的自相关函数 R .与功率频谱 Ps心之间也有确定的傅立叶变换关系：记作：P J.十R .3.4高斯随机过程是一种普遍存在又十分重要的随机过程。通信信道中的噪高斯过程又称正态随机过程, 声，通常是一种高斯过程。先看一维分布的情况。高斯过程在给定任一时刻上，那么是一高斯随机变量，其概率密度函数为:(X - a )21a 均值2-

17、方差吊量exp以e为底的指数函数那么称服从高斯分布也称正态分布的随机变量。由高斯概率密度函数和图可知，有以下特征：f x对称于x = a这条直线，在a处为最大，等于12二厂0 :Jf(X dx =1，且.f (xdx= 0 f (x)dxa 分布函数，二一集中程度 ，见图示。右 a = 0, ；丁 -1,1 _f xexp-v2nx212 一高斯正态分布函数是概率密度函数的积分。根据定义，显然可表示为z-aflexp dz 二：-2存标准高斯密度函数称，x 概率积分函数对于不同的a、二的 f x 曲线见下列图:不同的a、匚的概率密度函数曲3.5窄带随机过程、定义及表达式窄带随机过程是指其频带宽

18、度:f远小于中心频率 fc的随机过程。窄带过程表达式t 二 a t coS ct 丨丨 a t - 0a t 随机包络:t 随机相位均是随机过程上式利用三角函数和角公式，可写成t 二 a t cos t cos ct - sin t sin ct二 a t cos t cos ct - a t sin t sin ct=c t cos ct - s t sin ctc t t的同相分量s t t的正交分量相对于载波osct的变化缓慢的多如果 t的概率密度函数为高斯分布，那么称窄带高斯过程。物理上，是高斯噪声通过以 c为中心的窄带系统。、窄带高斯过程的统计特性t的统计特性可由a t，- t或c

19、t， s t确定。结论1、2一个均值为零、方差为 a 2的窄带高斯过程(t )，假定它是平稳的，那么它的 c(t )、S t也平稳，而且均值均为零，方差也相同。2t平稳窄带 a = 0，方差,s t , c t 平稳且有：t 丄 Ec t 丄 Es t 丄02 2 2R 0 = R 0 = 0c ssc结论2、一个均值为零，方差为 -2的窄带平稳高斯过程t , 其包络a t的一维分布为瑞统计独立的。随机包络的概率密度函数服从瑞利函数分布- a2T f a=exp y 空2空随机相位的概率密度函数服从均匀函数分布,aOf 二丄，0 22：at与 t是-I利分布，相位 t的一维分布是均匀分布。并且

20、就一维分布而言,既然有窄带随机过程，必然也存在宽带随机过程。一个理想的宽带过程例子 白噪声、白噪声通信系统中常用到白噪声，所谓白噪声是指它的平均功率谱密度函数在整个频率域：内是常数，服从均匀分布。其功率谱：卩心=匹w，Hz称作白噪声是因为它类似于光学中包括全部可见光频率在内的白光。 有色光一一只包括可见光的局部频率有色噪声一一只包括局部频率1313实际中，热噪声频率范围0 10 Hz,功率谱密度在Hz内根本均匀分布近似为白噪声。9Hz= G2J.Pejd：1 ejdJ=n-12白噪声的功率谱和自相关函数图:0白噪声的功率谱图于0R白噪声的自相关函数四、带限白噪声任何通信系统带宽总是有限的，当理

21、想白噪声经实际系统时，其频带必然受到系统带 宽限制。我们把在一定频带内功率谱密度为常数, 带限白噪声。而在此频带之外功率谱密度为零的噪声称作P 带限白噪声：其功率谱密度：nf fT h 三ThP )= 2P “I. ej d = 1-: 2 -0其它上sigH T二 fH no H T带限白噪声在二k 2 fH处，R k 2 f H = 0，自相关函数=o，那么在这些时刻点上的抽样值都是互不相关的随机变量。3.6正弦波加窄带高斯过程信号经过信道传输总会受到加性噪声的影响。本节讨论正弦信号与窄带高斯噪声之根本特性。设正弦信号f t = A cos ct =窄带高斯噪声 n t 二 nc t co

22、s ct ns t sin ct正弦波加窄带高斯过程：r t 二 f t nt=A cos，ct J he t cos，ct 一 ns t sin ct 】-A cos nc t 】cos ct - A sin ns t 】sin ct=Zc t cos ct 一 Zs t sin ct=Z t cosset 亠t 1式中:2 2Z t = Zc t Zs tz 一 0t arctan0 - 2Zc(t)可以证明：正弦波加窄带高斯过程的包络的概率密度函数为：21 a2-PLpX e-XJrz(z-IWJO2A该函数也称Rice (莱斯)密度函数。式中10 x为零阶修正贝塞尔函数。x随机包络的概

23、率密度和相位概率密度f :见下列图:相位概率密度 f -:不再像窄带高斯噪声那样是均匀分布。3.7随机过程通过线性系统所谓线性系统，是用迭加原理表征的，这意味着:J律)鼓励函数Jf2(t)鼓励、r1 (t )响应函数r2 (t响应那么：r1 tr2 t， f1 t f2 t: t a t ：fi t 七 t线性系统的时域法 ：同前，线性系统的响应V0 t等于输入V. t 与冲激响应h t的卷积：V0 t 二：v.h t - d t h t - h t V. t(卷积满足交换律对于物理可实现系统V0 t = 0 h V. t - d线性系统的频域法：V。二 HV.随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确定信号通过线性系统的分析根底之上 的。是对确定信号分析的推广。设线性系统的冲激响应为 h t，输入随机过程为.t，那么输出为 0 t。0 t 二ht . t=_