解析几何第四版吕林根课后习题答案

1、第三章平面与空间直线§ 3.1 面的方程1 .求以下各平面的坐标式参数方程和一般方程：(1)通过点Mi(3,1,1)和点M2(1,1,0)且平行于矢量1,0,2的平面(2)通过点Mi(1,5,1)和M2(3,2,2)且垂直于xoy坐标面的平面;(3)四点A(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4)D(4,0,6)O求通过直线AB且平行于直线CD的平面,并求通过直线AB且与ABC平面垂直的平面.解：(1)M1M22,2,1,又矢量1,0,2平行于所求平面,故所求的平面方程为：一般方程为：4x3y2z70(2)由于平面垂直于xoy面,所以它平行于z轴,即0,0,1与所求的平面平行

2、,又M1M22,7,3,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：7(x1)2(y5)0,即7x2y170.(3) (i)设平面通过直线AB,且平行于直线CDAB4,5,1,CD1,0,2从而的参数方程为：一般方程为：10x9y5z740.(ii)设平面通过直线AB,且垂直于ABC所在的平面Ab4,5,1,ABAC4,5,10,1,14,4,441,1,1均与平行,所以的参数式方程为：一般方程为：2xy3z20.2.化一般方程为截距式与参数式:x2yz40.解：与三个坐标轴的交点为：(4,0,0),(02,0),(0,0,4),所以,它的截距式方程为：力上*1.424又与所给平

3、面方程平行的矢量为：4,2,0,4,0,4,所求平面的参数式方程为：3.证实矢量VX,Y,Z平行与平面AxByCzD0的充要条件为：AXBYCZ0.证实：不妨设A0,那么平面AxByCzD0的参数式方程为：故其方位矢量为：B,1,0,C,0,1,AA从而V平行于平面AxByCzD0的充要条件为：BCv,-,1,0,C,0,1共面AAAXBYCZ0.4.连接两点A(3,10,5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x4yz10,求3点的z坐标.解：AB3,2,5z而AB平行于7x4yz10由题3知：(3)724(z5)0从而z18.5.求以下平面的一般方程.通过点12,1,1和23,2,1且分

4、别平行于三坐标轴的三个平面；过点3,2,4且在x轴和y轴上截距分别为2和3的平面；与平面5xy2z30垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面；两点13,1,2,24,2,1,求通过1且垂直于1,2的平面；原点在所求平面上的正射影为2,9,6；求过点13,5,1和24,1,2且垂直于平面x8y3z10的平面.x2y1z1解：平行于X轴的平面方程为1100.即z10.1002419同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z10,xy10.设该平面的截距式方程为工工孑1,把点3,2,4代入得c23c故一般方程为12x8y19z240.假设所求平面经过x轴,那么0,0,0为平面内一个点,5,1,2和1,

5、0,0为所求平面的方位矢量,x0y0z0.二点法式方程为5120100一般方程为2yz0.同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x5z0,x5y0.121,1,3.12垂直于平面,该平面的法向量n1,1,3,平面通过点13,1,2,因此平面的点位式方程为x3y13z20.化简得xy3z20.op2,9,6.296cos,cos,cos一.111111那么该平面的法式方程为：？x9yz110.111111既2x9y6z1210.(6)平面x8y3z10的法向量为n1,8,3,而而1,6,1,点从4,1,2写出平面的点位式方程为x4y1z21830,那么A16126,2,C1114,D2642

6、2874,那么一般方程AxByCzD0,即：13xy7z370.6.将以下平面的一般方程化为法式方程.解：D3.将的一般方程乘上占.得法式方程上0.3030.3030302D1.二.将的一般方程乘上2得.得法式方程111c、.2x2y2°3. D2.1.将的一般方程乘上1.得法式方程4. D0.即3或1999将的一般方程乘上1或1得法式方程为T999x20.0.7.求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦.解：1.D35.1化为法式方程为2x-y-z50原点指向平面的单位7777法矢量为u2,3,.,它的方向余弦为cos2,cos3,cos.原点.到平77

7、7777面的距离为PD5.2 .D21.化为法式方程为-1x|y|z70原点指向平面的单位3 333法矢量为n01,2,2,它的方向余弦为cos-,cos-,cos2.原点o333333到平面的距离pD7.第20页8.三角形顶点A0,7,0,B2,1,1,C2,2,2.求平行于VABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程.二、一uuuruuurr,.rr解：设ABa,ACb.点A0,7,0.那么a2,6,1,b2,9,2写出平面的点位式万程xy7z2610292设一般方程AxByCzD0.A3.B2,C6,D140.1那么1.pD2.7相距为2个单位.那么当p4时D28.当p0时D0.所求

8、平面为3x2y6z280.和3x2y6z0.9 .求与原点距离为6个单位,且在三坐标轴ox,oy与oz上的截距之比为a:b:c1:3:2的平面.解：设ax,b3x,c2x.Qabc0.设平面的截距方程为-1.abc即bcxacyabzabc.又Q原点到此平面的距离d6.Iabc6.2222222bcacabx1所求方程为xy-7.3210 .平面xy-1分别与三个坐标轴交于点A,B,C.求VABC的面积.abc右uuruur解A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)ABa,b,0,ACa,0,c.uuuuuuruuuruuuABACbc,ca,ab;ABACJb2c2c2a2ab.

9、SVABC=1、.b2c2c2a2a2b2211 .设从坐标原点到平面的距离为.求证证实：由题知:11/111nilp.6V孑/不4孑亍从而有口444.pabc§3.2平面与点的相关位置1 .计算以下点和平面间的离差和距离:(1) M(2,4,3),:2xy2z30;M(1,2,3),:5x3yz40.解：将的方程法式化,得:0,故离差为:M到2 12(M)(-)(2)-4-31333一1的距离d(M)-.3(2)类似(1),可求得5634c(M)0,353535.35M至的距离d|(M)0.2 .求以下各点的坐标：(1)在y轴上且到平面22y2z20的距离等于4个单位的点;(2)在

10、z轴上且到点M(1,2,0)与到平面3x2y6z90距离相等的点；(3)在x轴上且到平面12x16y15z10和2x2yz10距离相等的点.解：(1)设要求的点为M(0,y0,0)那么由题意Y016yo5或7.即所求的点为(0,-5,0)及(0,7,0).(2)设所求的点为(0,0,Z0)那么由题意知：由此,Z02或-82/13.故,要求的点为(0,0,2)及(0,0,83)o(3)设所求的点为(x°,0,0),由题意知：由此解得：X02或11/43.所求点即(2,0,0)及(11/43,0,0).3 .四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(2,11,5),C(1

11、,1,4),计算从顶点S向底面ABCf引的高.解：地面ABC勺方程为：所以,高h6245334.求中央在C(3,5,2)且与平面2xy3z110相切的球面方程.解：球面的半径为C到平面2xy3z110的距离,它为:2356111428142/14,所以,要求的球面的方程为:(x3)2(y5)2(z2)256.即：x2y2z26x10y4z180.5 .求通过x轴其与点M5,4,13相距8个单位的平面方程.解：设通过x轴的平面为ByCz0.它与点M5,4,13相距8个单位,从而4B13CI22m-八8.48B1:3xy2z30与2:x2yz41:2xy5z10与2:3x2y6z1104BC105

12、C20.因止匕12B35C4B3C0.-B2C2从而得12B35C0或4B3C0.于是有B:C35:12或B:C3:4.所求平面为35y12z0或3y4z0.6 .求与以下各对平面距离相等的点的轨迹.3x6y2z70和4x3y50；9xy2z140和9xy2z60.解：1:13x6y2z70人1令-3x6y2z77化简整理可得：13x14x3y551y10z0与43x9y10z700.对应项系数相同,可求D1D1D22合4,从而直接写出所求的方程：9xy2z40.9判别点M(2-11)和N(12-3在由以下相交平面所构成的同一个二面角内,还是在相邻二面角内,或是在对顶的二面角内?解：(1)将M

13、(2-11),N(12-3代入1,得:6123032630那么MN在1的异侧一、一2再代入2,得：12147043440MNB2的同侧MN在相邻二面角内(2)将M(2-11N(12-3代入i,得:4151902215180那么MN在1的异侧.再代入2,得:662113034181200那么MNfc2的异侧MN在对顶的二面角内10试求由平面1:2xy2z30与2：3x2y6z10所成的二面角的角平分方程,在此二面角内有点1,2,-3解：设pxyz为二面角的角平分面上的点,点p到12的距离相2xy2z3.2212223x2y6z_1化筒号5x3y32z190(1)用2262寸23xy4z240(2

14、)把点P代入到12上,1020在1上取点1800代入12,1,0205在2上取点00-6代入12,1,0202为所求,解平面的方程为：3xy4z2403.3两平面的相关位置1.判别以下各对直线的相关位置:(1)x2y4z10与5yz420；0.1中的两平面平行不重合；2xy2z50与x3yz10;(3)6x2y4z50与9x3y6z9211解：(1)1:2:(4)-：-：(1),2:(1):(2)1:3:(1),2中两平面相交;2.分别在以下条件下确定l,m,n的值：(1)使(l3)x(m1)y(n3)z80和(m3)x(n9)y(l3)z16一平面；(2)使2xmy3z50与lx6y6z20

15、表示二平行平面；(3)使lxy3z10与7x2yz0表示二互相垂直的平面.0表示同解：(1)欲使所给的二方程表示同一平面,那么:即:从而：l713一,m一,n9937O9(2)欲使所给的二方程表示二平行平面,那么:所以：l4,m3.(3)欲使所给的二方程表示二垂直平面,那么:所以：lL73.求以下两平行平面间的距离：(1)19x4y8z210,19x4y8z420;3x6y2z70,3x6y2z140.解：(1)将所给的方程化为：所以两平面间的距离为：2-1=1.(2)同(1)可求得两平行平面间的距离为1+2=3.4.求以下各组平面所成的角：(1)xy110,3x80；2x3y6z120,x2

16、y2z70.解：(1)设1：xy110,2：3x80(1)2)一或2°44设1：2x3y6z120,2：x2y2z70,、1818(1)2)cosMxi(1)2)coso21215.求以下平面的方程：(1)通过点M10)0)1和M23)0)0且与坐标面xOy成60°角的平面；过z轴且与平面2xy新z70成600角的平面.解设所求平面的方程为H.又xoy面的方程为z=0,所以cos6013212解得b3,.所求平面的方程为-z1)2033.262A_B.A2B2,415即x.26y3z30设所求平面的方程为AxBy0；那么cos603A28AB3B20,A旦或人3B3所求平面

17、的方程为x3y0或3xy0.§3.4空间直线的方程1.求以下各直线的方程:(1)通过点A(3,0,1)和点B(2,5,1)的直线；(2)通过点M0(x0,y0,z.)且平行于两相交平面(i1,2)的直线;(3)通过点M(15,3)且与x,y,z三轴分别成60,45,120的直线；(4)通过点M(1,0,2)且与两直线上y"和)"垂直的直线;111110(5)通过点M(2,3,5)且与平面6x3y5z20垂直的直线.解：(1)由本节(3.46)式,得所求的直线方程为:即：1宗M-(2)欲求直线的方向矢量为：所以,直线方程为:xx0B1C1B2C2yv.AA2zz0T

18、°AB1A2B2(3)欲求的直线的方向矢量为:cos60,cos45,cos120故直线方程为：一、5(4)欲求直线的方向矢量为：1,1,11,1,01,1,所以,直线方程为:x11(5)欲求的直线的方向矢量为：6,3,5,所以直线方程为:2.求以下各点的坐标：(1)在直线21上与原点相距25个单位的点;(2)关于直线xy4z12.与点P(2,0,1)对称的点.2xy2z30解：(1)设所求的点为M(x,y,z),那么:即：(12t)2(8t)2(83t)2252,解得：t4或627所以要求的点的坐标为：(9,12,20),(117,6,写).(2)直线的方向矢量为：1,1,42,1

19、,26,6,3,或为2,2,1,过P垂直与直线的平面为：2(x2)2y(z1)0,即2x2yz30,该平面与直线的交点为(1,1,3),所以假设令P(x,y,z)为P的对称点,那么:x0,y2,z7,即P(0,2,7).3.求以下各平面的方程:(1)通过点P(2,0,1),且又通过直线室上一的平面;213(2)通过直线心心瑁且与直线151平行的平面；(3)通过直线2z2且与平面3x2yz50垂直的平面;32(4)通过直线5x8y3z90向三坐标面所引的三个射影平面.2x4yz10解：(1)由于所求的平面过点p(2,0,1)和p(1,0,2),且它平行于矢量2,1,3,所以要求的平面方程为:即x

20、5yz10.(2)直线的方向矢量为2,1,11,2,11,3,5,平面方程为：即11x2yz1501,8,13,(3)要求平面的法矢量为2,3,23,2,1平面的方程为：(x1)8(y2)13(z2)0,即x8y13z90.(4)由方程5x8y3z902x4yz10分别消去x,y,z得到:36y11z230,9xz70,11x4y60此即为三个射影平面的方程.4.化以下直线的一般方程为射影式方程与标准方程,并求出直线的方向余弦:(1)2xyz103xy2z30(2)xz602x4yz60(3)解：(1)直线的方向数为:射影式方程为:3z51z52-59,方向余弦为：cos35355335cos

21、15-35532z5519'z55z,标准方程为:1cos.355言.(2)直线的方向数为:4:3:(4),射影式方程为:4z43z424彳18,4z63z4标准方程为:z,方向余弦为:cos1414I,cos34.414,4厂cos414(3)直线的方向数为:0:(1):(1)0:1:1,射影式方程为：y标准式方程为：1方向余弦为：cos0,cos5.一线与三坐标轴间的角分别为,.证实sin222sinsin222/coscoscos1,.22sin1sin1sin21,2.即§ 3.5 线与平面的相关位置1 .判别以下直线与平面的相关位置：(1) x_-y4三与4x2y2

22、z3;273(2) X*与3x2y7z8；327/0、5x3y2z50j(3) y与4x3y7z70；2xyz10xt(4) y2t9与3x4y7z100.z9t4解：(1)(2)4(7)(2)3(2)0,而432(4)203170,所以,直线与平面平行.332(2)1770所以,直线与平面相交,且由于3二7,327直线与平面垂直.(3)直线的方向矢量为：5,3,22,1,15,9,1,4539710,而点M(2,5,0)在直线上,又4(2)3(5)70,所以,直线在平面上.(4)直线的方向矢量为1,2,9,直线与平面相交.2.试验证直线l：UmJ与平面：2xyz30相交,并求出它的112交点

23、和交角.解：2(1)111230直线与平面相交xt又直线的坐标式参数方程为：y1tz12t设交点处对应的参数为t0,t01,从而交点为(1,0,-1)又设直线l与平面的交角为,那么:sin2(1)111216.6263 .确定l,m的值,使：(1)直线±2-*与平面lx3y5z10平行;4 31x2t2(2)直线y4t5与平面lxmy6z70垂直.z3t1解：(1)欲使所给直线与平面平行,那么须:(2)欲使所给直线与平面垂直,那么须：所以：l4,m8.0的相4.决定直线A1xByC1z0和平面(AiA2)x(BiB2)y(CiC2)zA2xB2yC2z0互位置.解：在直线上任取Mi(

24、XiTi,Zi),有：这说明Mi在平面上,所以已给的直线处在已给的平面上5.设直线与三坐标平面的交角分别为,.证实cos222coscos2.证实设直线与X,Y,Z轴的交角分别为依次为一.那么,22222coscoscos一222从而有cos2cos2cos22.6.求以下球面的方程,.而直线与yoz,zox,xoy面的交角.而cos2cos2cos21.21.(1)与平面x+2y+3=0相切于点M1,1,3且半径r=3的球面;(2)与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点M5,1,1的球面.3t解：y13t为过切点且垂直与平面的直线2t3显

25、见！2,2是这条直线的方向余弦.333取t3,那么得x2,y3;取t3,那么得x0,y1,z5.故所求球面有两个：x22y32z129,与x2y12z529.x56t,y13t,z12t为过点且垂直于两平面的直线,将其代入第二个平面方程,得t2,反代回参数方程,得x7,y5,z3.设球之中央为C,半径为r,那么C1,2,1,r251212211249.故所求球面方程为x12y22z1249.3.7空间直线的相关位置1.直线方程黑Byyc&°.的系数满足什么条件才能使:(1)直线与x轴相交;(2)直线与x轴平行;(3)直线与x轴重合.解：(1)所给直线与x轴相交Xo使A1x0D

26、10且庆2*0D20(2)AA20且A,A2不全为零.x轴与平面AxB1yC1zD10平行又x轴与平面A2xB2yC2zD20平行,所以即A1A20,但直线不与x轴重合,D1,D2不全为零.(3)参照(2)有A1A20,且D1D22.确定值使以下两直线相交:(1)3xy2z60(2)x4yx11z150与z轴;y1z1与x1y1z.2解：(1)假设所给直线相交,那么有(类似题1)：从而5.(2)假设所给二直线相交,那么从而：5.43.判别以下各对直线的相互位置,如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线,求出它们之间的距离.x2y2z0与x2yz1103x2y602xz140(

27、2)y8z3x3y7z6-13Y417(3)解：(1)将所给的直线方程化为标准式,为：(-2):3:4=2:(-3):(-4)二直线平行.又点(|,4,0)与点(7,2,0)在二直线上,该平面的法矢量矢量73,23,05,5,0平行于二直线所确定的平面,2424为：1152,3,4-,-,05,22,19,2 4从而平面方程为：5(x7)22(y2)19(z0)0,即5x22y19z93 32700,(2)由于33二直线是异面的.二直线的距离：d13(3)由于1247但是：1:2:(-1)15123,1,13,2,40,于4:7:(-5)62卷?27°330.3,1,1,所以,两直线

28、相交,二直线所决定的平面的法矢量为1,214,7,5平面的方程为：3xz3.4.给定两异面直线:程.x3yz1与x12101彳：,试求它们的公垂线方解：由于2,1,01,0,11,2,公垂线方程为:x2y5z82x2y2z20'x2y5z80亦即,.xyz105.求以下各对直线间的角z5x与一2232x4yy2z2z0-4x与0y6z3z2解(1)cosx1x22YiYiY222Zi-x2Z1Z222Y2Z263654124、4813672776.arccos72或773x2x直线4x4yy72arccos.77y3zarccos毁或1952z2z6z20的对称式方程为0200的对称式

29、方程为:098arccos195设d和d分别是坐标原点到点aabbccdd时,直线MM通过原点uuuuOMa,b,cULULfOMa,b,cx10z116124z34M(a,b,c)和M(a,b,c)的距离,证实当uuurUUULTrOMOMaabbcc,而当uuuuuuuuruuuuuuuirOMOMOMOMuuuuuuuur.、.uuuuuuuuruuuruuuurcos(OM,OM)dd时,必有cos(OM,OM)1,/.OM/OM,.二当aabbccdd时,直线MM通过原点.7 .求通过点1,0,2且与平面3xy2z10平行,又与直线上-421相交的直线方程.解设过点1,0,2的所求直

30、线为;它与平面3xy2z10平行,所以有3xy2z0(1)又直线与直线相交,那么必共面.又有7x+|8y-12z=0由(1),(2)得X:Y:Z2331127:784:50:31而4:50:314:2:1所求直线的方程为土工二上.450318 .求通过点4,0,1且与两直线xyz1,与xyz3都相交的直2xyz22x4yz4线方程.解设所求直线的方向矢量为vx,y,z,那么所求直线可写为'上二.XYZ;直线1i平行于矢量n1n21,1,12,1,10,3,3矢量v0,3,3为直线1的方向矢量.,11一,“由于0因此令y=o解方程组得12x=1,z=o点(1,o,o)为直线11上的一点.

31、二直线11的标准方程为三工.516:1与11,12都相交且11过点M11,0,0方向矢量为v1.33.301.二有m1p,v1,v0330XYZ即X+3Y+3Z=0.即X-13Y-3Z=0.得X:Y:Z=30:6:-16又30:6:160:3:3,即v不平行v1.30:6:165:1:6,即v不平行v2.所求直线方程为：9.求与直线上上口口平行且和以下两直线相交的直线871z5x6z2x4,z4x3z3y5x2t3x5t10y3t5,y4t7ztzt解(1)在两直线上分别取两点Mi9,0,39,M20,3,4,第一条直线的方向矢量为Vi0,1,0,第二条直线的方向矢量为V23,2,6,作两平面

32、：即x8z3030;8x9yz310,将其联立即为所求直线的方程(1)x3y5z(2)2310,即2x3y5z210871x10y7z5410,即xyz170871(2)联立：2x3y5z210.xyz170这就是所要求的直线方程10求过点加且与直线l：1垂直相交的直线方程.解设所求直线的方向矢量为v0那么所求直线I.可写为X,Y,Zz0Z3X+2Y-2Z=0即50X-69Y+6Z=0由(1),(2)得X:Y:Z120:131:311所求直线l0为：§3.6空间直线与点的相关位置1 .直线AxByC1zD10通过原点的条件是什么?A2xB2yC2zD20解：直线通过原点故条件为D1D20.2 .求点p(2,3,1)到直线2x2yz30的距离.3x2y2z170解：直线的标准方程为:所以,p到直线的距离为:324243平面束z20的交线且满足以下条件之一的2.2025452212(2)23§ 3.81 .求通过平面4xy3z10和x5y