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经济数学基础辅导第三讲顾静相1.3无穷小量与无穷大量教学要求理解无穷小的概念和性质，会对无穷小进行比较．无穷小量与无穷大量

定义1.12若函数

y=f(x)在自变量

x的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中，

f(x)为无穷小量，简称无穷小．无穷小量与无穷大量

定义1.12若函数

y=f(x)在自变量

x的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中，

f(x)为无穷小量，简称无穷小．

例如，当

x→0时，sinx，

，

x3是无穷小量；

当

x→1时，(x-

1)3

是无穷小量；

当

x→∞时，

，

是无穷小量．我们经常用希腊字母

α，β，γ

来表示无穷小量．无穷小量与无穷大量注意：(1)定义中所说的变化过程，包括1.2节所定义的函数极限的六种形式；(2)无穷小的定义对数列也适用；(3)无穷小量是以零为极限的变量，不要把一个很小的数误认为是无穷小量；(4)不能笼统地说某个函数是无穷小量，必须指出它的极限过程．因为无穷小量是与极限过程相联系的．在某个变化过程中的无穷小量，在其他过程中则不一定是无穷小量．极限与无穷小之间的关系

定理1.2

函数

f(x)以

A为极限的充分必要条件是：f(x)可以表示为

A与一个无穷小量

α

之和．即

，

其中

limα=0．无穷小量与无穷大量

定义1.13若在自变量

x的某个变化过程中，函数

是无穷小量，即则称在该变化过程中，

f(x)为无穷大量，简称无穷大，记作Limf(x)=∞．

无穷小量与无穷大量

例如，当

x→0时，

是无穷大量；

当

x→0+

时，cotx，

是无穷大量；

当

x→∞时，x+2，x2是无穷大量．无穷小量与无穷大量注意：(1)关于无穷大量的定义，对数列也适用．(2)无穷大量是一个变化的量，一个不论多么大的数，都不能作为无穷大量．(3)函数在变化过程中绝对值越来越大且可以无限增大时，才能称无穷大量．(4)当我们说某个函数是无穷大量时，必须同时指出它的极限过程．无穷小量与无穷大量的关系

当

x→0时，x3是无穷小量，是无穷大量；

当

x→∞时，x+2是无穷大量，

是无穷小量．这说明无穷小量和无穷大量存在倒数关系．无穷小量的性质

性质1.1有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量．

性质1.2有界变量乘无穷小量仍是无穷小量．

性质1.3常数乘无穷小量仍是无穷小量．

性质1.4无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量．例4求．

无穷小量的性质例4求．

无穷小量的性质解因为

，所以

是有界变量；当

x→0时，x

是无穷小量．根据性质1.2，乘积

是无穷小量．即

．记

，

，

，它们都是

时的无穷小量．但，

，

．

无穷小量的阶

定义1.14设

α、β

是同一变化过程中的两个无穷小量，

(1)若

，则称

α是比

β

高阶的无穷小量．也称

β

是比

α

低阶的无穷小量．

(2)若

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