201x届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用理

1、第第6 6节正弦定理和余弦定理及其应用节正弦定理和余弦定理及其应用知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读】【教材导读】 1.1.已知已知ABCABC中的三边中的三边, ,如何判断三角形的形状如何判断三角形的形状? ?提示提示: :利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负, ,从而判断从而判断出三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形出三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形. .2.2.在三角形在三角形ABCABC中中,“AB

2、”,“AB”是是“sin Asin B”sin Asin B”的什么条件的什么条件?“AB”?“AB”是是“cos Acos B”cos AB”,“AB”是是“sin Asin B”sin Asin B”的充要条件的充要条件,“AB”,“AB”是是“cos Acos B”cos Acos B”的充要条件的充要条件. .3.3.在三角形在三角形ABCABC中中,“a,“a2 2+b+b2 2ccc2 2”是是“ABCABC为锐角三角形为锐角三角形”的什么条件的什么条件? ?提示提示: :“a“a2 2+b+b2 2ccc2 2”是是“ABCABC为锐角三角形为锐角三角形”的必要不充分条件的必要不

3、充分条件. .知识梳理知识梳理 1.1.正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理b b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos Ac c2 2+a+a2 2-2cacos B-2cacos Ba a2 2+b+b2 2-2abcos C-2abcos Csin Bsin B2Rsin B2Rsin B2Rsin C 2Rsin C 3.3.解三角形在测量中的常见题型解三角形在测量中的常见题型(1)(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有: :测量距离问题、测测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等量高

4、度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. .(2)(2)有关测量中的几个术语有关测量中的几个术语仰角和俯角仰角和俯角: :与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角夹角, ,目标视线在水平视线上方时叫目标视线在水平视线上方时叫 , ,目标视线在水平视线下方时目标视线在水平视线下方时叫叫 .(.(如图如图(1)(1)所示所示) )方位角方位角: :一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角, ,如方位角如方位角4545, ,是指北偏东是指北偏东4545, ,即东北方向即东北方向.

5、 .坡角坡角: :坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角. .俯角俯角仰角仰角【重要结论】【重要结论】 在在ABCABC中中, ,常有以下结论常有以下结论: :(1)A+B+C=.(1)A+B+C=.(2)(2)任意两边之和大于第三边任意两边之和大于第三边, ,任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边. .(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(5)AB(5)ABababsin Asin Bsin Asin Bcos Acos B.cos Acos B.夯基自测夯基自测A A C C

6、 3.(20163.(2016石景山区模拟石景山区模拟) )已知已知ABCABC的三个内角满足的三个内角满足sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C=51113,=51113,则则ABCABC是是( ( ) )(A)(A)等腰三角形等腰三角形 (B)(B)锐角三角形锐角三角形(C)(C)直角三角形直角三角形 (D)(D)钝角三角形钝角三角形D D 答案答案: :3030答案答案: :考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 正、余弦定理的应用正、余弦定理的应用( (高频考点高频考点) )答案答案: :(1)1(1)1考查角度考查角度1:1:利用

7、正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形. .高考扫描高考扫描: :20132013高考新课标全国卷高考新课标全国卷、20152015高考新课标全国卷高考新课标全国卷反思归纳反思归纳 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理论确定三角形及所需应用的定理, ,有时需结合图形分析求解有时需结合图形分析求解, ,有时需根据有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数. .考查角度考查角度2:2:与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题.

8、 .高考扫描高考扫描: :20132013高考新课标全国卷高考新课标全国卷、20142014高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2015,2015全国卷全国卷(2)(2)若若ABCABC的面积为的面积为3,3,求求b b的值的值. .反思归纳反思归纳 (2)(2)与面积有关的问题与面积有关的问题, ,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化. .得到两边乘积得到两边乘积, ,再整体代入再整体代入. .考点二考点二利用正、余弦定理判定三角形形状利用正、余弦定理判定三角形形状【例【例3 3】 在在ABCABC中中,a,b,c,a,b,c分别为内角分别为内角A,

9、B,CA,B,C的对边的对边, ,且且2asin A=(2b-c)2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.sin B+(2c-b)sin C.(1)(1)求角求角A A的大小的大小; ;反思归纳反思归纳 判定三角形形状的两种常用途径判定三角形形状的两种常用途径: :(1)(1)通过正弦定理和余弦定理通过正弦定理和余弦定理, ,化边为角化边为角, ,利用三角变换得出三角形内利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断角之间的关系进行判断. .(2)(2)利用正弦定理、余弦定理利用正弦定理、余弦定理, ,化角为边化角为边, ,通过代数恒等变换通过代数恒等变换, ,求出三求出

10、三条边之间的关系进行判断条边之间的关系进行判断. .【即时训练】【即时训练】 (1)(2016(1)(2016银川模拟银川模拟) )在在ABCABC中中, ,若若sin(A+B)sin(A-B)sin(A+B)sin(A-B)=sin=sin2 2C,C,则此三角形形状是则此三角形形状是( () )(A)(A)等腰三角形等腰三角形 (B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等边三角形等边三角形 (D)(D)等腰直角三角形等腰直角三角形用正、余弦定理解决实际问题用正、余弦定理解决实际问题考点三考点三 【例【例4 4】 (2015(2015广州七区联考广州七区联考) )某观察站某观察站C C与两

11、灯塔与两灯塔A,BA,B的距离分别为的距离分别为300300米米和和500500米米, ,测得灯塔测得灯塔A A在观察站在观察站C C北偏东北偏东3030, ,灯塔灯塔B B在观察站在观察站C C南偏东南偏东3030处处, ,则两灯塔则两灯塔A,BA,B间的距离为间的距离为.答案答案: :700700米米反思归纳反思归纳 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)(1)分析分析理解题意理解题意, ,分清已知与未知分清已知与未知, ,画出示意图画出示意图; ;(2)(2)建模建模根据已知条件与求解目标根据已知条件与求解目标, ,把已知量与求解量尽量集中把已

12、知量与求解量尽量集中在相关的三角形中在相关的三角形中, ,建立一个解斜三角形的数学模型建立一个解斜三角形的数学模型; ;(3)(3)求解求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形, ,求得数学求得数学模型的解模型的解; ;(4)(4)检验检验检验上述所求的解是否符合实际意义检验上述所求的解是否符合实际意义, ,从而得出实际问从而得出实际问题的解题的解. .【即时训练】【即时训练】 如图所示如图所示, ,一艘海轮从一艘海轮从A A处出发处出发, ,测得灯塔在海轮的北偏东测得灯塔在海轮的北偏东1515方向方向, ,与海轮相距与海轮相距2020海里的海里的B B处处, ,海轮按北偏西海轮按北偏西6060的方向航行了的方向航行了3030分钟后到达分钟后到达C C处处, ,又测得灯塔在海轮的北偏东又测得灯塔在海轮的北偏东7575的方向的方向, ,则海轮的速度则海轮的速度为为海里海里/ /分钟分钟.备选例题备选例题 【例【例3 3】 如图如图, ,在一次海上联合作战演习中在一次海上联合作战演习中, ,红方一艘侦察艇发现在北偏红方一艘侦察艇发现在北偏东东4545方向方向, ,相距相距12 n mile12 n mile的水面上的水面上, ,有蓝方一艘小艇正以每小时有蓝方一艘小艇正以每小时10 n 10 n milemile的速度沿南偏东的速度沿南偏东757