第十章直线相关与回归

1、第十章直线相关与回归一、教学大纲要求(一)掌握内容1 .直线相关与回归的根本概念.2 .相关系数与回归系数的意义及计算.3 .相关系数与回归系数相互的区别与联系.(二)熟悉内容1 .相关系数与回归系数的假设检验.2 .直线回归方程的应用.3 .秩相关与秩回归的意义.(三)了解内容曲线直线化.二、学内容精要(一)直线回归1.根本概念直线回归(linearregression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程,并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小.直线回归是回归分析中最根本、最简单的一种,故又称简单回归(simpleregression)o直线回D3方程Y?abX中,a、b是决定

2、直线的两个系数,见表10-1.表10-1直线回归方程a、b两系数比照ab含义回归直线在Y轴上的截距(intercept).回归系数(regressioncoefficient),即直线表示X为零时,丫的平均水平的估计的斜率.表示X每变化一个单位时,丫的值.平均变化量的倩计值.系数>0a>0表示直线与纵轴的交点在原点的b>0,表示直线从左下方走向右上方,即Y上方随X增大而增大系数<0a<0表示直线与纵轴的交点在原点的b<0,表小直线从左上方走1可右下方,即Y卜方随X增大而减小系数=0a=0表示回归直线通过原点b=0,表示直线与X轴平行,即Y不随X的变化而艾化计

3、算公式(XX)(YY)IxyaYbXb2(XX)2.样本回归系数b的假设检验(1)方差分析；t检验.lxx3.直线回归方程的应用(1)描述两变量的依存关系；(2)用回归方程进行预测；(3)用回归方程进行统计限制；(4)用直线回归应注意的问题.(二)直线相关1 .根本概念直线相关(linearcorrelation)又称简单相关(simplecorrelation),用于双变量正态分布资料.有正相关、负相关和零相关等关系.直线相关的性质可由散点图直观的说明.相关系数又称积差相关系数(coefficientofproduct-momentcorrelation),以符号r表示样本相关系数,p表示总

4、体相关系数.它是说明具有直线关系的两个变量间,相关关系的密切程度与相关方向的指标.2 .计算公式(XX)(YY)院丫r(XX)2.(YY)2lXX.lYY相关系数r没有单位,其值为-1WrW1.其绝对值愈接近1,两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0,相关愈不密切.r值为正表示正相关,说明一变量随另一变量增减而增减,方向相同；r值为负表示负相关,说明一变量增加、另一变量减少,即方向相反；r的绝对值等于1为完全相关.3 .样本相关系数r的假设检验(1) r界值表法；(2) t检验法.(三)直线回归与相关的区别与联系1.区别(1)资料要求：直线回归要求因变量Y服从正态分布,X是可以精确测量和严格限制

5、的变量,一般称为I型回归；直线相关要求两个变量X、Y服从双变量正态分布.这种资料假设进行回归分析称为n型回归.(2)应用情况：直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量间的相关关系.(3)意义：b表示X每增(减)一个单位时,Y平均改变b个单位；r说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向.(4)计算：b=lxy/lxx；r=lxy/./lxxlyy.(5)取值范围：8<b<+oo；-1<r<1.(6)单位：b有单位；r没有单位.2.联系(1)方向一致：对一组数据假设能同时计算b和r,它们的符号一致.(2)假设检验等价：X同一样本,r和b的假设

6、检验得到的t值相等,即tb=tr.3用回归解释相关：决定系数r2上S4/SS、,回归平方和越接近总平方和,yy那么r2越接近1,说明引入相关的效果越好.四秩相关秩相关,又称等级相关rankcorrelation,是用双变量等级数据作直线相关分析,适用于以下资料：1 .不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；2 .总体分布型未知；3 .用等级表示的原始数据.三、典型试题分析回归系数的假设检验B.只能用t检验D.三者均可A.只能用r的检验代替C.只能用F检验答案：D评析此题考点：回归系数假设检验方法的理解.回归系数的假设检验常用的方法有：方差分析；t检验.对同一样本,r和b的假设检验等价,r和b

7、的假设检验得到的t值相等,即tb=tr.故回归系数的假设检验用三者均可.4 .1=r2,那么B.tb1=tb2A.b1=b2C.tr1=tr2D.两样本决定系数相等答案：D评析此题考点：直线相关系数与回归系数关系的理解.由于相关系数r和回归系数b的计算公式不同,不能推导出b1=b2;r和b的假设检验等价,即tr1=tb1,tr2=tb2,而不是tb1=tb2,tr1=tr2；样本决定系数为产,1=2,那么两样本决定系数相等,即122.5 .|r|>r0.05n-2时,可认为两变量X与Y间A.有一定关系B.有正相关关系C.一定有直线关系D.有直线关系答案：D评析此题考点：直线相关系数假设检

8、验的理解.由于直线相关系数r是样本的相关系数,它是相应总体相关系数p的估计值.由于抽样误差的影响,必须进行显著性检验.r的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系.|r|>r0.05n-2时,P<0.05,拒绝Ho,接受Hi,认为总体相关系数p*0,因此可认为两变量X与丫间有直线关系.6 .相关系数检验的无效假设也是A.p=0B.pw0C.p>0D.p<0答案：A评析此题考点：直线相关系数显著性检验中检验假设的理解.由于r是样本相关系数,它是总体相关系数p的估计值.要判两变量间是否有相关关系,就要检验r是否来自总体相关系数p为零的总体.由于即使从p=0的总体作随机抽样,由

9、于抽样误差的影响,所得r值也常不等于零.7 .同一双变量资料,进行直线相关与回归分析,有.A.r>0,b<0B.r>0,b>0C. r<0,b>0D.r与b的符号毫无关系答案：B评析此题考点：直线相关与回归的区别与联系的理解.由于对同一资料而言直线相关系数与回归系数的方向一致,假设能同时计算b和r,它们的符号一致.因此,同一双变量资料,进行直线相关与回归分析,有r>0,b>0.四、习题一单项选择题1. 以下式可出现负值.A.汇XX2C.EY-Y22. Y=14+4X是17岁儿童以年龄成国际单位kg,那么此方程A.截距改变C.两者都改变3. r=1

10、,那么一定有.A.b=1C.Sy.x=0B.EY2一汇丫2/nD. EXXYY岁估计体重市斤的回归方程,假设体重换.B.回归系数改变D.两者都不改变8. a=14. 用最小二乘法确定直线回归方程的原那么是各观察点A.距直线的纵向距离相等B.距直线的纵向距离的平方和最小C.与直线的垂直距离相等D.与直线的垂直距离的平方和最小5. 直线回归分析中,X的影响被扣除后,A. Sx,yJ(XX)2/(n2).Y方面的变异可用指标表示.B. Sr、Y丫2n1C.Sy,x.YY2n26. 直线回归系数假设检验,其自由度为A.nC.n-27. 应变量Y的离均差平方和划分,可出现D.Sy.x=Sy8.卜列计算S

11、S剩的公式不正确的选项是C.lYYlxYb以lxxB.).1YY9.直线相关系数可用A-IxyJxxIyyD.计算.(110.当r=0时,xyY?abX回归方程中有D,以上均可blxxr2)lyyB.byx.jlxxIyyD,以上均可A.a必大于零C.a必等于零名词解释).B.D.a必等于xa必等于Y1.直线回归6.零相关三是非题2.7.回归系数相关系数3.8.剩余平方和决定系数4.9.回归平方和曲线直线化5.直线相关10.秩相关1.剩余平方和SS剩1=SS剩2,那么门必然等于2.2.3.直线回归反映两变量间的依存关系,而直线相关反映两变量间的相互直线关系.两变量关系越密切r值越大.四简做题1

12、 .用什么方法考察回归直线图示是否正确？2 .剩余标准差的意义和用途？3 .某资料n=100,x与Y的相关系数为r=0.1,可否认为x与Y有较密切的相关关系?4 .r与rs的应用条件有何不同？5 .应用直线回归和相关分析时应注意哪些问题？6 .举例说明如何用直线回归方程进行预测和限制？7 .直线回归分析时怎样确定因变量与自变量？五计算题1 .10名20岁男青年身高与前臂长的数据见表10-2.计算相关系数并对p=0进行假设检验；计算总体p的95%可信区间.表10-210名20岁男青年身高与前臂长身高170173160155(cm)173188178183180165前臂长45424441(cm)

13、4750474649432 .某单位研究代乳粉营养价值时,用大白鼠作实验,得到大白鼠进食量和增加体重的数据见表10-3.此资料有无可疑的异常点？求直线回归方程并对回归系数作假设检验.试估计进食量为900g时,大白鼠的体重平均增加多少,计算其95%的可信区间,并说明其含义.求进食量为900g时,个体Y值白95%容许区间,并解释其意义.表10-3八只大白鼠的进食量和体重增加量12345678进食量g800780720867690787934750增量g1851581301801341671861333 .某省卫生防疫站对八个城市进行肺癌死亡回忆调查,并对大气中苯并a花进行监测,结果如下,试检验两者

14、有无相关？表10-4八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并a花浓度12345678肺癌标化死亡率1/10万)5.6018.5016.2311.4013.808.1318.0012.10苯并a花g/100m3)0.051.171.050.100.750.500.651.204 .就下表资料分析血小板和出血症的关系.表10-512例病人的血小板浓度和出血症的关系123456789101112血小板数12013016031042054074010601260123014402000(109/L)出血病症+±一+一一一一+一五、习题做题要点（1） 单项选择题1. D2,C3.C4.B5.C6.

15、C7.D8.B9.D10.D（2） 名词解释1 .直线回归linearregression建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程,并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小.直线回归是回归分析中最根本、最简单的一种,故又称简单回归simpleregressiono2 .回归系数rregressioncoefficient即直线的斜率slope,在直线回归方程中用b表示,b的统计意义为X每增减一个单位时,Y平均改变b个单位.3 .剩余平方和residualsumofsquare.,SS剩即YY?,它反映X对Y的线性影响之外的一切因素对Y的变异的作用,也就是在总平方和中无法用X解释的局部.在

16、散点图中,2各实测点离回归直线越近,YY?也就越小,说明直线回归的估计误差越小.24 .回归平方和regressionsumofsquares,SS回即Y?Y,匕反映由于X与Y的直线关系而使Y的总变异所减小的局部,也就是在总平方和中可以用X解释的局部.回归平方和越大,说明回归效果越好.5 .直线相关(linearcorrelation)又称简单相关(simplecorrelation),用于双变量正态分布资料.有正相关、负相关和零相关等关系.直线相关的性质可由散点图直观的说明.6 .零相关(zerrocorrelation)是指两变量间没有直线相关关系.11 .相关系数又称积差相关系数(coe

17、fficientofproduct-momentcorrelation),以符号r表相关关系的示样本相关系数,p表示总体相关系数.它是说明具有直线关系的两个变量间,密切程度与相关方向的指标.212.决te系数(coefficientofdetermination)即r的平方,r氐lXXlYY1XyIxxlYY包SSL'心、说明当SS总固定不变时,回归平方和的大小决定了r平方的大小.回归平方和越接近总平方和,那么r平方值越接近1.13 .曲线直线化(rectification)是曲线拟合的重要手段之一.对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化,用直线回归分析方法来分析.14

18、.秩相关又称等级相关(rankcorrelation),是用双变量等级数据作直线相关分析,适用于以下资料：不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；总体分布型未知；用等级表示的原始数据.(三)是非题1 ,错.两样本剩余平方和SS剩1=SS剩2,但两样本总平方和SS总及回归平方和SS回不一定相等,故两样本相关系数门与r2不一定相等.2 .正确.3 .错.相关系数r有正负之分,其值为-1WrW1,在总体相关系数不为零,即两变量确有直线关系前提下,r绝对值愈接近1,两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0,相关愈不密切.(四)简做题1 .用以下三种方法判定：直线必须通过点(无Y).假设纵坐标、横坐标无折

19、断号时,将此线左端延长与纵轴相交,交点的纵坐标必等于截距a.直线是否在自变量X的实测范围内.2 .剩余标准差用SY.X表示：Sy.xv'SSo；'n2qYY?/n2其意义是指当X对Y的影响被扣除后,Y方面仍有变异.这局部变异与X无关,纯属抽样变异.故Syx是用来反映Y的剩余变异的,即不考虑X以后Y本身的随机变异.剩余标准差可用于：估计回归系数b的标准误,sbsY.X/JI1,进行回归系数的区间估计和假设检验.估计总体中当X为某一定值时,估计值Y?的标准误.s?)小Tn(XX)2；(XX)2并可计算Y?的可信区间,SYX可作为预报精度的指标.估计总体中当X为某一定值时,个体Y值的

20、标准差.SY?SY.x#n(XX)2/(XX)2,并计算个体丫值的容许区间.3 .n=100,r=0.1时,对相关系数进行t检验,按检验水准a=0.05,拒绝Ho(p=0),接受H1(pw0),认为两变量有相关关系,但决定系数r2=0.12=0.01,表示回归平方和在总平方和中仅占1%,说明两变量间的相关关系实际意义不大.4 .积差相关系数r用于描述双变量正态分布资料的相关关系.等级相关系数rs适用于下列资料：不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析的资料；总体分布型未知的资料；原始资料是用等级表示的资料.5 .注意以下五个问题作回归分析和相关分析时要有实际意义,不能把毫无关联的两种现象作回归

21、、相关分析,必须对两种现象间的内在联系有所熟悉.在进行回归分析和相关分析之前,应绘制散点图.但观察点的分布有直线趋势时,才适宜作回归、相关分析.如果散点图呈明显曲线趋势,应使之直线化再行分析.散点图还能提示资料有无可疑异常点.直线回归方程的应用范围一般以自变量的取值范围为限.假设无充分理由证实超过自变量取值范围外还是直线,应防止外延.双变量的小样本经t检验只能推断两变量间有无直线关系,而不能推断相关的紧密程度,要推断相关的紧密程度,样本含量必须很大.相关或回归关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系,有相关或回归关系不能证实事物间确有内在联系.6 .用直线回归方程进行预测和限制的步骤根据研究目确

22、实定预报因子X和预报量Y,由X估atY值,收集资料.建立预报方程Y?abX,并进行回归系数假设检验.假设P小于临界值,那么回归方程成立.根据回归方程在X实测范围内对丫进行预测,并计算X为某定值时,个体丫值波动范围容许区间.例如,17岁儿童,X为年龄,Y为体重,可根据年龄预测估计体重.统计限制是利用回归方程进行逆估计,如要求因变量Y值在一定范围内波动,可以通过限制自变量X的取值来实现.步骤同前.例如,针刺哑门穴,进针深度Y与颈围X间存在直线关系,可根据X取值到达限制Y的目的.7. I型回归中,X为精密测量和严格限制的变量,Y为正态变量.n型回归中,X、Y均为服从正态分布的随机变量,可计算两个回归

23、方程.何者为X,何者为Y,根据研究目的确定.例如,测得某一人群的身高和体重两变量,假设目的只是由身高估计体重,那么确定X为身高,丫为体重.五计算题1 .由原始数据及散点图的初步分析图10-1,估计本资料有直线趋势.5137一351j11150160170180190身高(cm)图10-110名20岁男青年身高与前臂长散点图(1)计算相关系数X1725,X2298525,X172.52Y454,Y20690,Y45.4,XY78541lXXX2X2n2985251725210962.5lYYY2Y2n2069045421078.4IxyXYXY.n78541172545410226226962.

24、578.40.8227与p=0进行假设检验.H0:p=0,即身高与前臂长间无直线相关关系Hi:pW0,即身高与前臂长间有直线相关关系,r0r0.8227.102,t4.09Sr1r2n2.10.82272a=0.05n21028,查t界值表,得0.002<P<0.005,按a=0.05水准拒绝H0,接受Hi,故可认为20岁男青年身高与前臂长呈正直线相关.算总体p的95%可信区间.对r作z变换：1.1r-ln1.16511,10.8227ln210.8227或,z=tanh10.8227=1.1651z的95%可信区间:zU0.05,Jn3,zUcogQn31.16511.96,10

25、31.16511.961030.4243,1.9059按r=tanhz对z作反变换,得20岁男青年身高与与前臂长总体相关系数的95%可信区间为(0.4005,0.9567).2 .由原始数据及散点图初步分析(图10-2),估本资料有直线趋势,故作以下计算.EX=6328,EX2=,X791EY=1273,EY2=206619,Y159.125,汇XY=lXXX2(X)2,n50488146328284336611320IyyY2(Y)2n2066191273284052.875IxyXY(X)(Y)n10182636328127381XY1XX11320433660.261aYbX159.12

26、50.26179147.326图10-2大白鼠的进食量与增加体重散点图(1)回归系数假设检验：H.：B=0,即进食量与增重之间无直线关系H1：BW0,即进食量与增重之间有直线关系a=0.05SS总IYY4052.875SSiXyIxx113202433662954.905SSuSS、SS4052.8752954.9051097.97方差分析,见表10-6.表10-6方差分析表SSuMSF总变异4052.8757回归2954.90512954.90516.147剩余1097.9706182.995计算得F=16.147,查F界值表,得P<0.01,按a=0.05水准,拒绝Ho,接受Hi,可

27、认为大白鼠的进食量与增加体重间有直线关系.t检验：H.：B=0,即进食量与增重之间无直线关系H1：BW0,即进食量与增重之间有直线关系&=0.05SS总lyy4052.875SSiXy.Ixx113202433662954.905SSuSS总SS4052.8752954.9051097.97Sy.x1097.97(82)13.5276b0Sb0.26113.5276.433664.018按u=6,查t界值表,得0.01>P>0.05,按a=0.05水准,拒绝H0,接受H1,结论同上.此题.F.16.1474.018t故可用直线回归方程Y?abX47.3260.261X来描述

28、大白鼠的进食量与增加体重的关系.异常点即对应于残差(Y-Y?)绝对值特大的观测数据见表10-7.表10-7残差的计算X丫YY-Y1800185161.47423.5262780158156.2541.7463720130140.594-10.5944867180178.9611.0395690134132.7641.2366787167158.0818.9197934186196.448-10.4488750133148.424-15.424由散点图及残差分析,第一号点(X=800,Y=185)为可疑的异常点.根据以上的计算结果,进一步求其总体回归系数的95%可信区间.绘制回归直线并图示回归系

29、数的95%可信区间.总体回归系数(3的95%可信区间：(b-t0.05(n-2)Sb,b+t0.05(n2)Sb)=(0.261-2.447X13.5107/v43366,0.261+2.447X13.5107/、'43366)=(0.1022,0.4198)取Xi=690,代入回归方程Y?=-47.326+0.261X,得Yi=132.76;X2=934,丫2=196.45.在图上确定(690,132.76)和(934,196.45)两个点,以直线连接即得回归直线的图形见图10-2.按回归系数的95%可信区间下限和上限分别代入aYbX,得a1=78.285,a2=-172.937.回

30、归系数的95%可信区间上、下限对应的两条直线,即图10-2中两条回归直线,回归方程为：Y?=78.285+0.1022X,Y?=172.937+0.4198X估计进食量为900g时,大白鼠的体重平均增加多少,计算其95%的可信区间,并说明其含义.SySy.x1n(XX)2(XX)213.527618(900791)2433668.5446当X=900时,丫?的95%可信区间：(W1°.05(6)Sy?,丫?+1°.05(6)Sy?)=(187.574-2.447X8.5446,187.574+2.447X8.5446)=(166.67,208.48)即总体中,进食量为900

31、g时,大白鼠的体重平均增加187.574g,其95%的可信区间为166.67208.48g.其含义为：当进食量为900g时,相应的平均增重服从一个正态分布(此正态分布的样本均数估计值为187.574g),如果从此正态分布中重复抽样100次,这100个可信区间中理论上将有95个区间包含真正的总体均数(虽然这个总体均数真值是未知的).求进食量为900g时,个体Y值白95%容许区间,并解释其意义.SySy.x,11n(XX)2(XX)213.5276.1 18(900791)24336616.0002当X=900时,Y?=-47.326+0.261X=187.574,个体Y值白95%容许区间：(丫一t0.05(6)SY,q+t0.05(6)SY)=(187.574-2.447X16.0002,187.57