201x届高三数学一轮复习第十二篇复数算法推理与证明第1节数系的扩充与复数的引入理 (2)

1、第十二篇复数、算法、推理与证明第十二篇复数、算法、推理与证明( (必修必修3 3、选修、选修2 22)2)六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析第第1 1节数系的扩充与复数的引入节数系的扩充与复数的引入知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破经典考题研析经典考题研析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.复数的几何意义是什么复数的几何意义是什么? ?2.2.复数模的几何意义是什么复数模的几何意义是什么? ?3.3.复数加减法的几何意义是什么复数加减法的几何意义是什么? ?知识梳理知识梳理 1.1.复数的有关概念复数的有关概念

2、(1)(1)复数的定义复数的定义形如形如a+bi(a,ba+bi(a,bR R) )的数叫做复数的数叫做复数, ,其中实部是其中实部是 , ,虚部是虚部是 (i(i是虚数是虚数单位单位).).a ab b(3)(3)复数相等复数相等a+bi=c+dia+bi=c+di (a,b,c,d(a,b,c,dR R).).(4)(4)共轭复数共轭复数a+bia+bi与与c+dic+di互为共轭复数互为共轭复数 (a,b,c,d(a,b,c,dR R).).a=ca=c且且b=db=da=ca=c且且b=-db=-d|z| |z| |a+bi| |a+bi| 2.2.复数的几何意义复数的几何意义(1)(

3、1)复平面的概念复平面的概念建立建立 来表示复数的平面叫做复平面来表示复数的平面叫做复平面. .(2)(2)实轴、虚轴实轴、虚轴在复平面内在复平面内,x,x轴叫做轴叫做 ,y,y轴叫做轴叫做 , ,实轴上的点都表示实轴上的点都表示 ; ;除原点以外除原点以外, ,虚轴上的点都表示虚轴上的点都表示 . .直角坐标系直角坐标系实轴实轴虚轴虚轴实数实数纯虚数纯虚数Z(a,b) Z(a,b) 3.3.复数的运算复数的运算(1)(1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di(a,b,c,d=c+di(a,b,c,dR R),),

4、则则加法加法:z:z1 1+z+z2 2=(a+bi)+(c+di)=(a+bi)+(c+di)= ; ;减法减法:z:z1 1-z-z2 2=(a+bi)-(c+di)=(a+bi)-(c+di)= ; ;乘法乘法:z:z1 1z z2 2=(a+bi)(c+di)=(a+bi)(c+di)= ; ;(a+c)+(b+d)i(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i(2)(2)复数加法的运算定律复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律复数的加法满足交换律、结合律, ,即对任何即对任何z z1

5、1,z,z2 2,z,z3 3C C, ,有有z z1 1+z+z2 2= = ,(z,(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3= = . .(3)(3)复数乘法的运算定律复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律, ,即对于任意即对于任意z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C, ,有有z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1,(z,(z1 1z z2 2) )z z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3),z),z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .z z2

6、 2+z+z1 1z z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3) )2.-b+ai=i(a+bi).2.-b+ai=i(a+bi).3.i3.i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-i(n=-i(nN N* *).).4.i4.i4n4n+i+i4n+14n+1+i+i4n+24n+2+i+i4n+34n+3=0(n=0(nN N* *).).夯基自测夯基自测D D 2.2.在复平面内复数在复平面内复数z=i(1-2i)z=i(1-2i)对应的点位于对应的点位于( ( ) )(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象

7、限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限解析解析: :复数复数z=i(1-2i)=2+i,z=i(1-2i)=2+i,因为复数因为复数z z的实部的实部20,20,虚部虚部10,10,所以复数所以复数z z在复平面内对应的点位于第一象限在复平面内对应的点位于第一象限. .A AC C 4.(20164.(2016眉山模拟眉山模拟) )若若(x-i)i=y+2i(x,y(x-i)i=y+2i(x,yR R),),则复数则复数x+yi=x+yi=. . 解析解析: :若若(x-i)i=y+2i=1+xi(x,y(x-i)i=y+2i=1+xi(x,yR R),),则则y=

8、1y=1且且x=2,x=2,所以所以x+yi=2+i.x+yi=2+i.答案答案: :2+i2+i5.5.下面四个命题下面四个命题: :3+4i3+4i比比2+4i2+4i大大; ;复数复数3-2i3-2i的实部为的实部为3,3,虚部为虚部为-2i;-2i;z z1 1,z,z2 2为复数为复数,z,z1 1-z-z2 20,0,那么那么z z1 1zz2 2; ;z z1 1,z,z2 2为复数为复数, ,若若+=0,+=0,则则z z1 1=z=z2 2=0.=0.其中不正确的命题有其中不正确的命题有( (写出所有不正确命题的编号写出所有不正确命题的编号).). 答案答案: :考点专项突破

9、考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 复数的基本概念复数的基本概念【例例1 1】 (1)(2016 (1)(2016开封二模开封二模) )已知复数已知复数z=(az=(a2 2-1)+(a-2)i(a-1)+(a-2)i(aR R),),则则“a=1a=1”是是“z z为纯虚数为纯虚数”的的( () )(A)(A)充分非必要条件充分非必要条件(B)(B)必要非充分条件必要非充分条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件(2)(2015(2)(2015高考福建卷高考福建卷) )若若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b(1+i

10、)+(2-3i)=a+bi(a,bR R,i,i是虚数单位是虚数单位),),则则a,ba,b的值分别等于的值分别等于( () )(A)3,-2(A)3,-2(B)3,2(B)3,2 (C)3,-3(C)3,-3(D)-1,4(D)-1,4解析解析: :(1)(1)当当a=1a=1时时, ,复数复数z=(az=(a2 2-1)+(a-2)i-1)+(a-2)i是一个纯虚数是一个纯虚数. .当复数当复数z=(az=(a2 2- -1)+(a-2)i1)+(a-2)i是一个纯虚数时是一个纯虚数时,a,a2 2-1=0-1=0且且a-20,a-20,则则a=a=1,1,不能推出不能推出a=1.a=1.

11、故故“a=1a=1”是是“z z为纯虚数为纯虚数”的充分非必要条件的充分非必要条件. .故选故选A.A.(2)(2)因为因为(1+i)+(2-3i)=a+bi,(1+i)+(2-3i)=a+bi,所以所以3-2i=a+bi,3-2i=a+bi,所以所以a=3,b=-2,a=3,b=-2,故选故选A.A.反思归纳反思归纳 有关复数的概念问题有关复数的概念问题, ,一般涉及复数的实部与虚部、模、一般涉及复数的实部与虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等虚数、纯虚数、实数、共轭复数等, ,解决时解决时, ,一定先看复数是否为一定先看复数是否为a+bi(a,ba+bi(a,bR R) )的形式的形式

12、, ,以确定其实部和虚部以确定其实部和虚部. .考点二考点二复数代数形式的运算复数代数形式的运算( (高频考点高频考点) )高考扫描高考扫描: :20142014高考新课标全国卷高考新课标全国卷、20142014高考新课标全国卷高考新课标全国卷、20152015高高考新课标全国卷考新课标全国卷、20152015高考新课标全国卷高考新课标全国卷【例例2 2】 (1)(2015 (1)(2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)若若a a为实数为实数, ,且且(2+ai)(a-2i)=(2+ai)(a-2i)=-4i,-4i,则则a a等于等于( () )(A)-1(A)-1(B)0(B)0(C)

13、1(C)1(D)2(D)2反思归纳反思归纳 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算, ,除法除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数关键是分子分母同乘以分母的共轭复数, ,注意要把注意要把i i的幂写成最简形式的幂写成最简形式. .复数的几何意义复数的几何意义 考点三考点三 (2)z(2)z1 1=2+i,=2+i,由题意由题意,z,z2 2=-2+i,=-2+i,所以所以z z1 1z z2 2=(2+i)(-2+i)=i=(2+i)(-2+i)=i2 2-4=-5.-4=-5.故选故选A.A.反思归纳反思归纳 判断复数所在平面内的点的位置的方

14、法判断复数所在平面内的点的位置的方法: :首先将复数首先将复数化成化成a+bi(aa+bi(a、bbR R) )的形式的形式, ,其次根据实部其次根据实部a a和虚部和虚部b b的符号来确定点的符号来确定点所在的象限及坐标所在的象限及坐标. .解析解析: :由复数的几何意义知由复数的几何意义知z z1 1=-2-i,z=-2-i,z2 2=i,=i,所以所以z z1 1z z2 2=(-2-i)i=-2i-i=(-2-i)i=-2i-i2 2=1-2i,=1-2i,其对应的点的坐标为其对应的点的坐标为(1,-2)(1,-2)位于第四象限位于第四象限. .故选故选D.D.备选例题备选例题 【例例2 2】 (2016 (2016岳阳模拟岳阳模拟) )已知已知z=x+yi,x,yz=x+yi,x,yR R,i,i为虚数单位为虚数单位, ,且且z=(1+i)z=(1+i)2 2, ,则则i ix+yx+y= =. . 解析解析: :因为因为(1+i)(1+i)2 2