深圳宝安区龙丰学校必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(有答案解析)

1、一、选择题12017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.则下列各数中与最接近的是（ ）(参考数据：)ABCD2函数单调减区间为（ ）ABCD3定义：若函数的图像上有不同的两点，且两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“镜像”，点对与看作同一对“镜像点对”，已知函数，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.ABCD4已知定义在上的

2、函数满足，且当时，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（ ）ABCD5已知：，则，的大小关系是（ ）ABCD6设函数，则（ ）A是偶函数，且在单调递增B是偶函数，且在单调递增C是奇函数，且在单调递减D是奇函数，且在单调递减7已知函数是定义在上的单调递增的函数，且满足对任意的实数都有，则的最小值等于（ ）.A2B4C8D128若函数在区间上单调递减，且，则ABCD9已知，则，的大小关系是（ ）ABCD10已知函数，若，则实数的值等于（ ）A-3B-1C1D311若ab0，0c1，则AlogaclogbcBlogcalogcbCacbc Dcacb12已知，则（ ）ABC

3、D二、填空题13已知函数在上是减函数，则a的取值范围是_.14函数的递增区间为_15函数的图象与的图象关于轴对称，若是的反函数，则的单调递增区间是_.16设是方程的两个实根，则_.17有以下结论：将函数的图象向右平移1个单位得到的图象；函数与的图象关于直线y=x对称对于函数(>0,且)，一定有函数的图象恒在轴上方.其中正确结论的序号为_.18设函数的定义域为D，若存在，使得，则称为函数的“可拆点”.若函数在上存在“可拆点”，则正实数a的取值范围为_.19设函数，则满足的的取值范围是_.20函数的定义域是_，单调递减区间是_.三、解答题21已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）若函数的图像

4、与直线没有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值；否则，说明理由.22已知函数.（1）求函数的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当时，求函数的值域.23已知.（1）若，求的值；（2）记，求的定义域，并求的最大值；已知，试比较与的大小并说明理由.24分别计算下列数值：（1）；（2）已知，求.25（1）若，求和的值；（2）计算的值.26已知函数， 其中实数且. （1）当时，求不等式的解集；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【分析】设，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出.

5、【详解】解：设，两边取对数，所以，故选：D.【点睛】关键点睛:本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令，两边取对数后进行化简整理.2B解析：B【分析】根据复合函数的单调性可知，的单调减区间为在定义域上的单调增区间.再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可.【详解】解：函数的定义域为 令，则为单调递减函数，由复合函数的单调性可知：的单调递减区间为在上的单调增区间.，对称轴为，开口向下，所以的单调增区间为.故选：B.【点睛】本题考查复合函数的单调性，属于中档题.方法点睛：（1）先求出函数的定义域；（2）判断外层函数的单调性；（3）根据复合函数同增异减的原则，判断要求的内层函数的单调性；（4）

6、求出单调区间.3C解析：C【分析】由新定义可知探究y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y轴右侧部分图像的交点个数即得结果.【详解】由题意可知，函数的图像上有不同的两点，且两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“镜像”，因为，由y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像，即，作函数，和的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”.故选：C.【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.4D解析：D【分析】转化条件为函数是周期为2的周期函数，且函数、的图象均关于对称，由函数的

7、对称性可得两图象在右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解.【详解】因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位可得，所以函数的图象的对称轴为，当时，所以函数的图象也关于对称，在平面直角坐标系中作出函数与在右侧的图象，数形结合可得，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在右侧有5个交点，则，解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.5A解析：A【分析】由换底公式和对数函数的性质可得，再由指数函数的性质可得，即可得解.【详解】，故选：A【点睛】方法点睛：本题考查了对

8、数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.6D解析：D【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论【详解】函数定义域是，是奇函数，排除AB，时，即，而是减函数，是增函数，在上是增函数，排除C只有D可选故选：D【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键与的单调性相反，在恒为正或恒为负时，与的单调性相反，若，则与的单调性相反时，与的单调性相同7B解析：B【分析】根据

9、为定值，可假设，然后计算，并计算的值，然后使用基本不等式，可得结果.【详解】由题可知：为定值故设，即又，所以则则当且仅当时，取等号所以的最小值为：4故选：B【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于为定值，审清题意，细心计算，属中档题.8A解析：A【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.30，c=20.31得答案【详解】由5+4x-x20，可得-1x5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使f(x)log0.3(5+4xx2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则 ，即0a1而b=1g0

10、.30，c=20.31，bac故选A【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题9C解析：C【解析】因为，所以，故选C.10A解析：A【分析】先求得的值，然后根据的值，求得的值.【详解】由于，所以，在上无解，由解得，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.11B解析：B【解析】试题分析：对于选项A，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等

11、号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.12A解析：A【解析】分析：， 的底数相同，故可用函数在R上为减函数，可得用指数函数的性质可得，进而可得详解：因为函数在R上为减函数，且0.2<0.4所以 因为所以故选A点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性

12、判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小二、填空题13【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数解析：【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数,且在上恒大于或等于零,然后求解关于a的不等式即可得到结果.【详解】令,则原函数化为,此函数为定义域内的减函数,要使函数在上是减函数,则函数在上是增函数,且在上恒大于或等于零,即有,解得.故答案为:【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同

13、增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.14【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案解析：【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.【详解】解：则解得即函数的定义域为令，则因为在上单调递增，在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数在上单调递增故答案为：【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.15（0）【分析】函数的图象与的

14、图象关于轴对称可得由于是的反函数可得再利用对数函数的定义域与单调性二次函数的单调性复合函数的单调性即可得出【详解】解：函数的图象与的图象关于轴对称是的反函数解得或当时解析：（，0）【分析】函数的图象与的图象关于轴对称，可得由于是的反函数，可得，再利用对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性即可得出【详解】解：函数的图象与的图象关于轴对称，是的反函数，解得或当时，函数单调递减，因此单调递增的单调递增区间是故答案为：【点睛】本题考查了反函数的求法、对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.16【分析】根据题意由韦达定理得进

15、而得再结合换底公式得【详解】解：因为是方程的两个实根所以由韦达定理得所以所以所以故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算其中两个公式的转化是解析：【分析】根据题意由韦达定理得，进而得，再结合换底公式得【详解】解：因为是方程的两个实根，所以由韦达定理得，所以，所以所以.故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中，两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.17【分析】根据图象的平移规律直接判断选项；根据指对函数的对称性直接判断；根据指数函数的图象特点判断选项；先求的范围再和0比较大小【详解】根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的

16、图象解析：【分析】根据图象的平移规律，直接判断选项；根据指对函数的对称性，直接判断；根据指数函数的图象特点，判断选项；先求的范围，再和0比较大小.【详解】根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象，所以不正确；根据两个函数的对称性可知函数与的图象关于直线y=x对称，正确；如下图，设，对应的是曲线上横坐标为的点的纵坐标，是线段的中点的纵坐标，由图象可知，同理，当时，结论一样，故正确； 根据函数的单调性可知，所以函数的图象恒在轴上方，故正确.故答案为：【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左右”，相对于自变量来说，2.本题不易判断的就是，首先理解和的意义，再结合图象判断正误.18【分析】首先

17、根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：【分析】首先根据定义，列出的等式，转化为，再根据分离常数和换元法，求的取值范围.【详解】函数为“可分拆函数”，存在实数，使得且， 设， ， ， ，当时等号成立，即.故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示，利用，转化为求函数的值域，即求的取值范围.19【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：当时解得：所以综上原不等

18、式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集.【详解】当时，因为，解得：， ，当时，解得：，所以，综上，原不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20【分析】由表达式可知解出对应即可求解定义域再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知可看作在定义域内为减函数根据复合函数增减性当内层函数为增函数则在对应区间为减函数故函数的定义域是解析： 【分析】由表达式可知，解出对应，即可求解定义域，再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区

19、间【详解】由题可知，可看作，在定义域内为减函数，根据复合函数增减性，当，内层函数为增函数，则在对应区间为减函数，故函数的定义域是，单调递减区间是故答案为：；【点睛】本题考查对数型函数具体定义域和对应增减区间，属于基础题三、解答题21（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）由得，再验证此时为偶函数；（2）化简，换元，令化为关于的二次函数，分类讨论对称轴，求出最小值，结合已知最小值可解得结果.【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，即，即，解得；当时，所以，所以为偶函数，所以符合题题.（2）因为函数的图像与直线没有交点，所以无解，而，故.（3），令，因为，所以，令，当，即时，单调递增，所以的最小

20、值为，解得；当，即时，单调递减，所以的最小值为，解得（舍）；当，即时，的最小值为，解得（舍）.综上所述：.【点睛】关键点点睛：化简，换元，令化为关于的二次函数，利用二次函数知识求解是解题关键.22（1）或，证明见解析；（2）.【分析】（1）本题首先可通过求解得出函数的定义域，然后通过证得函数是奇函数；（2）本题可根据题意将函数转化为，然后通过当时即可求出函数的值域.【详解】（1）因为函数，所以，解得或，则函数的定义域为或，且定义域关于原点对称，因为，所以函数为奇函数.（2），当时，函数是增函数，故当时，函数的值域为.【点睛】方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过判断函数是奇函