高阶滑模变结构控制

1、高阶滑模变结构控制8.1传统滑模控制缺点 (1)抖振问题：主要是由未建模的串联动态引起，同时切换装置的非理 想性也是一个重要原因；匚2)相对阶的限带匸焉统滑模控制只有在系统关于滑模变量s的相对阶 是1时才能应用，也就是说，控制量u必须显式出现在s中，这样就限制了 滑模面的设计。 (3)控制精度问题：在实际的、采样实现的传统滑模控制算法中，滑动 误差正比于采样时间J也就是说，有限时间到达的传统滑模在具有零阶 保持器的离散控制下，系统的状态保持在滑动模态上的精度是采样时间 的一阶无穷小，即O(t)；8.2高阶滑模控制在传统滑模控制中，不连续的控制量显式地出现在滑模变量的一阶导数 中，即附是不连续的

2、。由于未建模动态和非理想的切换特性，传统滑模存 在抖振，它在实际应用中是有害的。连续近似化方法（如引入边界层）能抑制抖振，然而失去了不变性这个 显著优点。 Levant提出了高阶滑模的概念，高阶滑模保持了传统滑模的优点（如不 变性）,抑制了抖振，消除了相对阶的限制和提高了控制精度。滑动模态的不变性：系统一旦进入滑动模态，对满足匹配条件的不确定 性及干扰具有不变性。8.3高阶滑模定义（1）滑动阶r是指滑模变量s的连续全导数（包含零阶）在滑模面s=0± 为0的数目。滑动阶刻画了系统被约束在滑模面s = 0上的运动动态平滑 度。根据上述定义可知：传统滑模的滑动阶为1，因为在滑模面上s =

3、0, 而博则是不连续的，因此传统滑模又被称为一阶滑模。（2）关于滑模面s（t ?x） = 0的r阶滑动集由下述等式描述s = s = S = 0上式构成了动态系统状态的r维约束条件。8.3高阶滑模定义（3）1996年，Levant和Firdman给出了高阶滑模的精确定义r阶滑动集5 = 5 = 5 = - = 5（r-1） =0是非空，且假设它是Filippov意义 下局部积分集（也就是说，它由不连续动态系统的Filippov轨迹组成）， 那么，满足s = £ = § = s（T=0的相关运动称为关于滑模面s（t ,x）=0的“r阶滑模”。（4）当且仅当系统轨迹位于状态空间

4、中s = 0和s-0的交界处时，系统具 有二阶滑模动态，如图所示。5s=0#8.3高阶滑模定义（5）在实现高阶滑模控制时，所面临的一个主要问题就是所需的信息增加了。一般来说，滑模面s = 0上的r阶滑模控制器的设计，需要用到S, S,乱，的信息（已知仅有二阶滑模Super-Twisting算法只需 要s的信息）。理论上，的值可以通过有限时间收敛的精确鲁棒微分 器获取。78.4二阶滑模控制（1）滑模控制在解决不确定高阶非线性动态系统时是一种非常有效的方 法,表现在对系统不确定非线性-系统建模误差与外部干扰的强鲁棒性和算 法设计简单然而，滑模控制存在的“抖振”现象。二阶滑模控制使得控 制量在时间上

5、是本质连续的，这样能有效地减小系统抖振,又不以牺牲控 制器的鲁棒性为代价。 (2)-阶滑模是指，二阶滑动集5 = 5 = 0非空，且假设它是Filippov意 义下的局部积分集，那么，满足式s= 0的相关运动称为关于滑模面的二阶滑模。考虑下列形式的单输入动态系统：X =。亿 X)+Z?亿= s(t. X)(14)式中，天w R"为系统状态量，uRn为控制输入，Qg)和比X)为光 滑的未知向量场，令s(t,x)=o为所定义的滑模面，控制目标使系统的状态 在有限时间内收敛到滑模流形滑模流形S亿劝=£亿X)= 0上。98.4二阶滑模控制 （3）通过引入虚拟变量= t对系统（14）

6、进行扩展，记a = （aT,X）T,b = （bT, 0）r 则系统扩展为 心二咳（兀）+0（兀）二$（兀）（4）依据相对阶的定义，对滑模变量s考虑以下两种不同情形: 相对阶r = 1,即丞北0du相对阶r = 2,即竺=0。竺H0du du（5）相对阶r=l时可以采用传统滑模（一阶滑模）控制的方法来解决的问题。然而，若采 用二阶滑模控制则可以抑制抖振，此时，将控制输入u的导数u被看作新 的控制变量。设计不连续的控制U使得滑模变量S趋于零，并保持二阶滑 动模态，即S = s= 0,而控制输入U是通过对U的积分得到的，故是连续的, 从而抑制了系统的抖振。118.4二阶滑模控制（5）相对阶r =

7、1时8.4二阶滑模控制（5）相对阶r=l时滑模变量s的一阶导数为 = （ae（乙）+ Q（5）= La s + Lbesu其中食/二&二ae（Xe ）称为s关于代或沿代的Lie导数。滑模变量s的二阶导数为 Las + Lbsu),、一、丽 s =(化(乙)+ Q (乙) + 亍OU =I? s + La Lb su + Lb La su + Z? svi2 +Lb suCig6*6*bg简化为 s =(p(t.x.u) + y(t.x)u(t)U= 0(1，兀 )二 L； s + LaeLb( su + Lbe Lae su + L； su2 a“-s = y(t.x) = LbsOd

8、ue控制输入U看作影响漂移项（P的未知扰动，控制输入的导数作为需设计的新控制量。138.4二阶滑模控制（5）相对阶r = 1时8.4二阶滑模控制（6）相对阶r = 2时制输入U不直接影响S的动态特性，但直接影响S的动态特性，即S = 0（匚兀 %） + 丫亿 x）u（t）c其中左=/（匚兀）=厶优厶哄$北°意味着滑模变量S的关于控制输入u的相对阶是2。在这种情况下，控制 输出u是不连续的。#8.4二阶滑模控制（7）相对阶r = 2时相对阶为1和相对阶为2可以统一起来，看作是二阶不确定的仿射非线性系统，当相对阶为1时，相关的控制信号是实际控制输入的导数,当相 对阶为2时，控制信号是实际

9、的控制输入u。二阶滑模控制问题可以转化为下述非线性系统的有限时间镇定问题。令（0二s（t）, y2（0 = 5（0 ,二阶滑模控制问题可以转化为下述非线性 系统的有限时间镇定问题2（。=仅乙兀）+丫匕兀）吩）158.5常见的二阶滑模控制算法 Twisting 算法 Twisting算法是最早提出的二阶滑模控制算法，形式如下 v = -rx sgn（5）- r2 sgn（i）（17）其有限时间收敛的充分条件是（+厂2）«也_©>（斤一厂2）Km +C,（斤>C若考虑控制受限的情形，则需增加以下条件 max两式联立，可以求解出I*和D的取值范围。8.5常见的二阶滑模

10、控制算法 Twisting 算法该算法的特点是：在sOs，相平面上，系统轨迹围绕着原点旋转，如图所示。同时，系统的轨迹能在有限时间内，经过无限次的环绕收敛到原点。 具体地说，就是系统的相轨迹与坐标轴相交的值的绝对值，随着旋转的次数以等比数列形式减小。此控制律的设计需要知道計的符号。8.5常见的二阶滑模控制算法SuperTwisti n算法Super-Twisting算法形式如下-丄< u = 一久 s 2 sgn（5）+坷= -asgn（5）其有限时间收敛的充分条件是即+(5 L" s + LbLau + 厶；K-su1-G。< Km < Lb s < Kmm

11、ax8.5常见的二阶滑模控制算法 SuperTwisting 算法算法的特点是：它仅仅需要滑模变量S的信息，不需要S，信息；它是一种系统关于S的相对阶为1时，可以直接应用的二阶滑模算法，不需要引入新的控制量。Super-Twisting算法的相轨迹如图所示。8.5常见的二阶滑模控制算法带预定义收敛率算法This class of sliding controllers features the possibility of choosing a transient process trajectory: the switching of u depends on a suitable func

12、tion of s. The general formulation of such a class of 2-sliding control algorithms is as follows： _ J uu > 1U _ t - VzMsign(j/2 一 g®i) if |w| < 1Here Vm is a positive constant and the continuous function g(®i) is smooth everywhere but in 切=021Phase trajectories for the algorithms >

13、;prescribed law of variation of s218.6任意阶滑模控制器Consider a dynamic system of the formx = a（t、x） + b（t、x）uy s = s（t） x）where x G Rna, are sniooth functions, u G R. The relative degree r of the system is assumed to be constant and known That means, in a simplified way, that u first appears explicitly on

14、ly in the r-th total derivative of s and 急s（） / 0 at the given point The task is to fulfill the constraint s （茁）= 0 in finite time and to keep it exactly by discontinuous feedback control. Since s、爲 ,訶一1）are continuous functions of t and x. the corresponding motion will correspond to an r-sliding mo

15、de. Introduce new local coordinates y =，where = s*2 二 £ 内亍址厂一】）.ThenS)= y) + g仏 y)uy g(t、2/)/0E = rj(t, S, 5,+ 7(t, 5, S, .5E =(外+】，,"n)The problem is to find a discontinuous feedback u = U(t,x) causing finite-time convergence to an r-sliding mode. That controller must generalize the 1-sli

16、ding relay controller u = K signs. Hence, g(tyy) and h(t,y) in (3.47) are to be bounded, h > 0 Thus, we require that for some Km, Km C > 0* 3叙” 5尬Let p be a positive number- DenoteM,r = |s|(iN“ = (|sf + | 歼/(厂-】)+ + |s(i)p/(rT+l)(r)/p,Nf = (|8|P/r + | 歼/(D + + j<$(r-2)|p/2)l/p01,r = d + 0iNi,rsign(s)%r = S +0zM,rSign_,J i =- 1where 13、岛are positive numbers.定理 Let sys