河南省豫西北教研联盟（洛平许济）2024-2025学年高三第二次质量检测数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省豫西北教研联盟（洛平许济）2024-2025学年高三第二次质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z满足z2−i=2A．−4 B．−4i C．42．已知集合A=x|x2−xA．1,2 B．1,2,33．已知向量a=1,0，b=0,1，A．1 B．3 C．2 D．34．已知双曲线C:x2a2−yA．52 B．253 C．55．已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为12π，则该圆锥的体积为（

A．93π B．123π C．6．已知函数fx=lnx,x>0,A．0,e B．0,e C．7．已知曲线Ω:x2+y2=x+A．曲线Ω围成的图形的面积为πB．nm−C．点Pm,n到直线D．曲线Ω有且仅有2条对称轴8．已知函数fx=x+e−x，若存在实数xA．−∞,1C．1−e,二、多选题9．已知函数fx=2sinωA．直线x=7πB．函数fx在区间0C．函数fx在区间0D．将函数fx图象上所有的点向左平移5π610．已知函数fx的定义域为R，fx+y=fx+fA．fB．fx在0C．数列fnD．当x<011．在半径为2的球O的球面上存在A，B，C三点，且OA⋅OB=OA⋅OA．OB．当三棱锥O−ABC的体积最大时，平面AC．当λ=2，且AB⊥OCD．当λ=22时，异面直线BE三、填空题12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=13．二项式x−2xnn14．已知点M在抛物线C:y2=8x上，过点M作圆E:x−四、解答题15．某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)求a的值；(2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；(3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设X为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求X的分布列及数学期望.16．已知椭圆C:y2a2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P作两条直线分别交椭圆C于A，B两点，若直线x=−1平分∠17．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B与底面

(1)求三棱柱AB(2)已知点E在B1C上，且B1EB1C(3)若CB1⊥A118．已知fx=eaxsin2(1)求a的值；(2)设fx的导函数为gx，求(3)证明：当x∈−119．若数列cn共有mm∈N*,m≥4项，∀ii∈N*,(1)若m=9，a1=2(2)已知数列bn共有m项，且满足：bi=（ⅰ）证明：bn（ⅱ）若bn是首项为b1b1>0，公比为1q2的等比数列，且an答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南省豫西北教研联盟（洛平许济）2024-2025学年高三第二次质量检测数学试题》参考答案题号12345678910答案CCBCAADDABDBCD题号11答案BD1．C【分析】根据复数的乘法、除法运算以及复数的概念求解.【详解】因为z2−i所以z的虚部为4，故选:C.2．C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，再根据交集的定义计算可得.【详解】由x2−x−6所以A=又B=0,故选：C3．B【分析】首先求出c的坐标，再根据向量模的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为a=1,0，所以c=1,t，又c=2，所以所以正实数t的值为3.故选：B4．C【分析】依题意求出c、a，即可求出离心率.【详解】因为双曲线C:x2所以2c=25，即c=5，又所以C的离心率e=故选：C5．A【分析】先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积.【详解】设圆锥的内切球的半径为rr>0，则4又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为3r圆锥的底面半径为333=故选：A.6．A【分析】首先画出fx的图象，不妨令fa=fb=f【详解】因为fx=lnx,所以fx在1,+∞上单调递增，在当x≤0时fx=2x，所以所以fx又a<b<c，且结合图象可知0<t≤1且所以0<cfc≤故选：A7．D【分析】根据曲线方程画出图象，再数形结合一一判断即可.【详解】因为曲线Ω:当x≥0且y≥0时，曲线当x≤0且y≥0时，曲线当x≥0且y≤0时，曲线当x≤0且y≤0时，曲线曲线Ω的图像如图所示：

由图可知，曲线Ω围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为2的正方形面积的和，从而曲线Ω围成的图形的面积为4×nm−2表示点P由图可知当(x−12)2+设切线为y=kx−2k<0所以nm−2点12,12到直线结合图象可知点Pm,n到直线x由曲线Ω的图像可知，曲线Ω围成的图形有4条对称轴，分别是x轴、y轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故D错误；故选：D8．D【分析】先求导函数得出函数的单调性得出函数值范围计算即可求参.【详解】因为函数fx=x+e当x>0时，存在x+当x=0时，当x<0时，存在x+令y=1+当x∈当x∈所以x=-1时，ymax=1-综上得：a≤1-故选：D.【点睛】方法点睛：解题的方法是分类讨论x>9．ABD【分析】根据函数的周期求出ω的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为函数fx=2sinωx+所以fx则f7π12=2当x∈0,π3，则2x+π3当x∈0,π6，则2所以fx在区间0将函数fx图象上所有的点向左平移5π6故选：ABD10．BCD【分析】利用赋值法判断A，结合单调性的定义判断B，令x=nn∈N【详解】令x=1，y=0，则有故1=1+令x>0，y>由x>0，y>0，故x+y−即当x+y>故fx在0令x=nn∈N即fn+1又f1+1=2，故数列f由数列fn+1是以2故fn+1=2n，即令y=−x当x>0时fx因为x>0，则−x<0，又f所以当x<0时，故选：BCD.11．BD【分析】利用向量的线性运算和数量积运算计算可以判定A错误；找到体积最大时的情况OA,OB,OC两两垂直，可以得到三角形AB【详解】在半径为2的球O的球面上存在A，B，C三点，且OA⋅OB=OA所以OA所以OA当三棱锥O−ABC的体积最大时，OA,O其外接圆即为平面ABC截球O的截面，外接圆的半径r=当λ=2时，，同理，,又因为AB⊥OC，所以OB→所以此时四面体OA由于正四面体的棱与对面所成的角小于与与对面内的边所成的角，所以AB与平面OBC当λ=22时，，，同理，,所以,当时,OB,OC重合，E为线段OC的中点，所以O,B,当时，所以,OA→,OB→,OC所以,,所以BE设异面直线BE与OA所成角为θ，则所以tanθ故选：BD.【点睛】关键点点睛：选项D的关键是根据条件得到，进而利用向量法可得异面直线所成角的范围.12．π【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化为角，再根据三角形内角和定理以及三角函数公式化简等式，最后求出角A的值.【详解】已知b=acosC+因为A+B+C=根据诱导公式sin(π−所以sinA可得cosA因为0<C<π，所以即sinAcosA又因为0<A<故答案为：π613．84【分析】依题意可得Cn3=【详解】二项式x−2xnn∈N依题意Cn3=所以二项式x−2x7展开式的通项为Tr令7−32r=所以展开式中x4的系数为为84故答案为：8414．32/【分析】设∠PME【详解】圆E:x−22设My028,连接ME，设∠PME=则P==又sinθ=E所以34≤1所以PM⋅P故答案为：32

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将PM⋅P15．(1)0.04(2)3(3)0.6【分析】（1）根据频率之和等于1求解；（2）根据超几何分布求解概率；（3）利用二项分布求分布列和数学期望.【详解】（1）根据频率之和等于1可得，5×0.01+（2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于0.04+所以电池续航时间不少于35小时的电池有50×电池续航时间少于35小时的电池有50×所以从抽取的50组电池中任取2组，恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为C35（3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于3由题可知，随机变量X服从二项分布，所以X∼B所以X所有可能的取值有0,1,2，所以PP(P所以X的分布列如下，X012P49429所以X的数学期望为E(16．(1)y(2)证明见解析，−【分析】（1）依题意得到a、b、c的方程组，求出a2、b（2）依题意直线PA、PB的斜率存在且不为0，设Ax1,y1，Bx2,y2，直线【详解】（1）依题意可得4a2+所以椭圆C的标准方程为y2（2）依题意直线PA、PB的斜率存在且不为设Ax1,y1，B由y−2=kx所以x1=−k2所以直线PA、P所以设直线PB的方程为y−2因为y1−2所以y1又x1所以kAB=y117．(1)3(2)1(3)3【分析】（1）依题意可得VB1−BCD=（2）设BB1的中点为F，连接A1F、EF，即可证明A1F//平面（3）过点B1作B1O⊥AB于点O，连接【详解】（1）因为AA1//所以VB又VB1−在△ABC中，B所以cos∠所以∠A所以S△设三棱柱ABC−A1B1（2）设BB1的中点为F，连接A1因为A1D//BF所以A1F//BD，又A1F⊄平面BC因为A1E//平面BCD，A所以平面A1EF//平面BCD，又平面A1所以EF因为F为BB1的中点，所以E为所以B1EB（3）过点B1作B1O⊥A因为侧面AA1B1B与底面A所以B1O⊥因为CB1⊥A1又CB1∩B1O=B1又CO⊂平面CB如图建立空间直角坐标系，因为B1O⊥平面AOC=BCsin∠CBO因为AD=12BB1又BC=−设平面BCD的法向量为则m⋅BC又BB设平面BB1C则n⋅BB设平面BCD与平面BB则cosθ所以平面BCD与平面BB

18．(1)2(2)单调递增区间为−π4+(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，根据f′（2）求出gx（3）由（2）可得gx的单调性，结合零点存在性定理得到∃x0∈0,1【详解】（1）因为fx=e因为曲线y=fx在点0所以f′0=（2）由（1）可得fx=e则gx=f所以g′因为e2x>0，令g′令g′x<0，即所以gx的单调递增区间为−π4（3）由（2）可知gx在−又g0=−又sin1所以esin1+所以∃x0∈所以当x∈−12,x0时g当x∈x0,12时gx又f−12所以fx所以当x∈−1【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)8(2)（