由递推公式求通项公式的方法

1、由递推公式求通项公式的方法已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、a1=an+f(n)型数列，(其中f(n)不是常彳1函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为an书-an=f(n),从而就有%-A-f(1),a3-a2-f(2),a。-a。=f(n-1).将上述n-1个式子累加，变成为ai=f(1)+f(

2、2)+f(n1),进而求解。例1.在数列an中，a1=2,an+=an+2n-1,求an.解：依题意有a2-a1=1a3-a2-3,an-an=2n-3、一(12n-3)(n-1)22逐项累加有ana1=1+3+2n-3=(n-1)=n2n+1,从2而an=n2-2n+3。注：在运用累加法时，要特别注意项数，计算时项数容易出错.1变式练习：已知an满足a=1,an由一an=,求an的通项公式。n(n1)二、an+=anf(n)型数列，(其中f(n)不是常彳1函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为包土=f(n),从而就有ana2=f(1),生:f(2),2=f(n-1)a1a2

3、an4a.将上述n1个式子累乘，变成f(1)f(2).f(n1),进而求解。a1例2.已知数列an中国=1,an=红一3an(n22),求数列an的通项公式。32n1解：当n22时,a2a15a27a39a-=2n二3,将这n-1个式子累乘，得到an12n1an13a1(2n-1)(2n1)从而an131(2n-1)(2n1)314n2-1,当n=1时,an14n2-111=1=&,所以4n2-13注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错变式练习：在数列an中，a>0,a=2,nan2=(n+1注书2+an省an,求an.提示：依题意分解因式可得(n+1)an书

4、一nan(an书+an)=0,而an>0,所以(n1)an1-nan0即包1an三、an噂=pan+q型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设an书+m=p(an+m),展开整理烝书=pan+pmm,比较系数有pm-m=b,所以巾=_b_,所以an+b-是等比p-1p-1数列，公比为p,首项为a1十b。二是用作差法直接构造，an书=pan+q,p-1an=pan.+q,两式相减有an+-an=p(an-anJ),所以an由-an是公比为p的等比数列。例3.在数列an中，a1=1,当n之2时，有an=3an

5、+2,求an的通项公式。解法1：设an+m=3(anN+m),即有an=3an,+2man1对比an=3an+2,得m=1,于是得%+1=3(%,+1),即一21一=3an1所以数列an+1是以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列贝Uan=23n-1。解法2：由已知递推式，得小+=34+2,%=3%二+2。之2),上述两式相减，得an+-an=3(an-an),即小书"an=3an-an4因此，数列an+an是以a2a=4为首项，以3为公比的等比数列。所以an书-an=43n'即34+2an=43n，,所以an=23n1。变式练习：已知数列QJ满足&=1,anHr

6、=2an+1(nwN*).求数列an的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列，利用基本数列可简捷地求出通项公式.四、an+=pan+f(n胃数列(p为常数)此类数列可变形为与=3十W，则之可用累加法求出，由此求得an.PPP、p例4已知数列an满足a1=1,an+=3an+2n#,求a.解：将已知递推式两边同除以2n不得亘4=3乂兔+1,设bn=亘,故有222n2n353n,nJnd6书+2=2父bn+2,)bn=2，从而an=5父32.注：通过变形，构造辅助数列，转化为基本数列的问题，是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.若f(n)为n的一次函数，则an加上关于n的一次函数构成一个等比

7、数列；若f(n)为n的二次函数，则a。加上关于n的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5.已知数列an满足a1=1,当n之2时，an=1an,+2n-1,求an.n2解：作bn=an+An+B,则an=bn-An-B,an,=bnA(n1)B代入已知递推，、-1111_式中得：bnbn4(-A2)n(-A-B-1).2222IA=-4B=6A2=0Io令211AB-1=022、1.这时bn=bn且bn=an-4n+6233显然，bn=2二，所以an=”j+4n6.注：通过引入一些待定系数来转化命题结构，经过变形和比较，把问题转化成基本数列从而使问题得以解决.变式练习：(1)

8、已知Q满足a=2自由=2an+2n求4。2(2)已知数列an,Sn表示其前n项和，若满足Sn+an=n+3n-1,求数列an的通项公式。S1n=1提示：(2)中利用an=«,把已知条件转化成递推式。Sn-Sn.n-2一Aa五、an=n型数列（A,B,C为非零常数）BanC这种类型的解法是将式子两边同时取倒数，把数列的倒数看成是一个新数列，便可顺利地转化为an噂=pan+q型数列。例6.已知数列an满足212an=2,%印=，求an.an2解：两边取倒数得11-11,1n2=十一，所以=一十(n-1)父一=一,故有an=oan2ana122n2n1a一变式练习：数列an中，an卡=-n,a=2,求an