期望_方差公式

1、期望与方差的相关公式-、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4,或者分析乙获胜的概率为("2)*(1=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来

2、。定义1若离散型随机变量可能取值为ai(i=1,2,3，)，其分布列为pi(i=1,2,3,)，则当aiR时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=,口，i1i1如果api=,则数学期望不存在。1i1定义2期望：若离散型随机变量W，当E=xi的概率为P(±=Xi)=P(i=1,2,n,)，则称EE=Exip为己的数学期望，反映了己的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.EE由己的分布列唯一确定.二、数学期望的性质(1)设C是常数，则E(C)=C。(2)若k是常数，则E(kX)=kE(X)o(3)E(XiX2)e(Xi)e(X2)。三、方差的定义前面我们介绍了随机变量的

3、数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。定义3方差：称DE=E(XiEE)2pi为随机变量己的均方差，简称方差./D-叫标准差，反映了己的离散程度.定义4设随机变量X的数学期望E(X)存在，若e(xE(X)2存在，则称E(XE(X)2为随机变量X的方差，记作D(X),即D(X)E(XE(X)2。方差的算术平方根称为随机变量X的标准差，记作(X),即(X).D(X)由于(X)与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。DE表示己对EE的平均

4、偏离程度，DE越大表示平均偏离程度越大，说明己的取值越分散.方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差D(X)=0,则随机变量X以概率1取常数值。由定义4知，方差是随机变量X的函数g(X)XE(X)2的数学期望，故EE(X)2pk,当X离散时D(X)kixkE(X)2f(x)dx,当X连续时当X离散时，X的概率函数为P(Xk)P(XXk)Pk，k1,2,当X连续时，X的密度函数为f(x)o求证方差的一个简单公式：公式1：D(X)E(X2)E(X)2证明一：一一2D(X)E(XE(X)

5、一.2、.2.EX2XE(X)E(x)2E(X)E(X)证明二:nD(XE)2pi1 1n2 _，一、2.Xi2XiE(E)Pii1nnnXPi2EXiPi(E)Pii1i1i1_2_,_、2，一、2E2(E)(E)_2，一、2E(E)_2，一、2DE(E)可以用此公式计算常见分布的方差四、方差的性质(1)设C是常数，则UQ=0。(2)若C是常数，则D(CX)c2d(x)。(3)若X与Y独立，则公式2：D(XY)D(X)D(Y)o证由数学期望的性质及求方差的公式得D(XY)E(XY)2E(XY)2EX2Y22XYE(x)E(Y)2222E(X2)E(Y2)2E(X)E(Y)E(X)2E(Y)2

6、2E(X)E(Y)E(X2)E(X)2E(Y2)E(Y)2D(X)D(Y)可推广为：若X3X2,，Xn相互独立，则nDXii1nD(Xi)i1C2D(Xi)nDCiXii1(4) D(X)=0P(X=Q=1,这里C=E(X)o五、常见的期望和方差公式的推导过程(一)离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明1 .由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质:(1) pi>0,i=1,2,；(2) p+p?+=1。2.离散型随机变量期望和方差的性质：E(a+b)=aE+b,D(a+b)=a2D。(1)公式3：E(a±+b)=aE±+b,证明

7、：令aba,b为常数也为随机变量P(axb)P(x)i1,2,3.所以的分布列为axbax2baxnbpp1p2pnE(ax1b)pi(ax2b)p2.(axnb)pn=a(X1P1x2p2.xnpn)b(Rp?.pn)E=aEbE(ab)aEb说明随机变量的线性函数ab的期望等于随机变量期望的线性函数(2)公式4：D(a±+b)=a2D±(a、b为常数).n证法一：因为D(xiE)2pi2_2x2XiE(E)Pii1nnn22XPi2EXiPi(E)Pii1i1i1_2_2_2E2(E)(E)_2，一、2E(E)DE2(E)2n所以有：D(ab)axib(aEi1n、.2

8、2,一、22_b)Pia(xE)PiaDi1证毕n证法二：DE=(XE)2Pii12XiPinn2E为(E)2RE2(E)2.i1i1E(aE+b)=aEE+b,D(aS+b)=a、DE.nn_22_22_D(ab)aXib(aEb)Pia(xE)PiaDi1i1(二)二项分布公式列举及证明1 .二项分布定义：若随机变量的分布列为：P(=k)=GkPkqn-k。(k=0,1,2，,n,0cpe1,q=1p,则称服从二项分布，记作B(n,p),其中n、P为参数，并记CnkPkqn-k=b(k;n,p)。2 .对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：(1) P(=k)=Ckpkqn-k>

9、0,k=0,1,2,，n;(2) nP(=k)=nCkpkqn-k=(p+q)n=1。k0k0二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。3 .服从二项分布的随机变量的期望与方差公式：若士B(n,p),贝UEE=np,=npq(q=1-p).(3)公式5:求证：E±=np方法一：在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p(不发生白概率为q,有Pq1),那么在n次实验中该结果发生的次数的概率分布为0123.n1nP0nCnq1n1CnPq22n2CnPq33n3CnP1n1CnPqnnCnp服从二项分布的随机变量的期望Enp,证明如下：预备公式kcknck1/、n

10、1/00n110n220n2k1k1(n1)(nk)nlnlO、(Pq)(Cn1PqCn1PqCn1pqg1pq)因为p(k)ckpk(1p)nkckpkqnk,00n11n122n2kknkn0nE0cnpq1cnpq2gpq.kgpq.ngpq00n110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10X一np(cn1Pqcn1Pqg1Pq.g1pq.g1pq)=np(pq)n1np所以E=np得证方法二：证明：若XB(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数,现在我们来求X的数学期望。若设Xi1如第i次试验成功0如第i次试验失败i=1,2，n则XX1X2.Xn,因为P(Xi1)P,

11、P(Xi0)1Pq所以E(Xi)0q1PP,则nnE(X)EXiE(Xi)npi1i1可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。八c2kk1k2公式6kCnnCn1n(n1)Cn2,2kk1kCnknCn1n(k1)1C；k1k1nCn1n(k1)Cn1k1k2nCn1n(n1)Cn22kk1k2kCnnCn1n(n1)Cn2求证：服从二项分布的随机变量的方差公式7：D±=npq(q=1-p)方法n证明：E2i2C；piqni0CnCnpq2i2Pqn入i1ininCn1pqi2nn(n1)C：i2n1npqn1npqni

12、1i1ni0n1,npCn1pqnpCn1qn(ni1n1n12,np(pq)npqn(n1)p(pn2i2i1)pCn2Pi2nq)n1n12npqnpnpqn(n1)p222npnpnp22np(1p)np22npqnp22由公式1知DE2(E)2222npqnp(np)npq方法二：设B(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数若设Xi1如第i次试验成功0如第i次试验失败i=1,2,，nn则i是n次试验中“成功”的次数，E(i)0q1pp,故i1D(i)E(i2)E(i)2pp2p(1p),i1,2,L,nn由于1,2,.,n相互独立,于是D()D(i)=np(1-p)。i1(三

13、)几何分布的期望与方差的公式列举及证明1. 定义5:几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。定义6:在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率。p（xk）（1p）k1p若也k）qk1p,则（1）E工，（2）D一。Pp求证：（1）几何分布的期望公式8：E若某射击手击中目标的概率为P,求证：从射击开始到击中目标所需次数的期望证明：依题意分布列为123KPPP(1P)P(1P)2P(1P)K1由P(k)qk1p,知E1P2P(1P)3P(1P)2.KP(1P)K12.k12.k1、Ep2pq3qp.kqp.(12q

14、3q.kq.)pF面用错位相减法求上式括号内的值记Sk12q3q2.kqk1qSkq2q2.(k1)qk1kqk两式相减，得(1q)Sk1qq2.qk1kqkkkSk1 qkq2(1q)1q法则证明）由0p1,知0q1,则limqkk0及1imkqk0(可用L'Hospital故12p3q2.kqk1,c11.limSk2),k(1q)p求证：(2)p(k)g(k,p)几何分布的方差公式9：证明：利用导数公式n(x)nxni，推导如下:12x3x2k1kxk、(X).)x(x2)'(x3)23(xxx.x)(x、(1x)(1x(1x)21(1x)2上式中令xq,则得12q3q2k1.kq1(1q)2(2)为简化运算，利用性质DE2(E)2来推导。22222k1Ep2qp3qp.kqp.2222k