平面汇交力系合成教学设计(朱鉴)

1、平面汇交力系合成课程设计永泰城乡建设职业中专朱鉴教学内容：平面汇交力系的合成教学目标：学生了解平面汇交力系合成的方法学生能够运用所学的力系合成的方法对具体问题进行合成学生对力学有浓厚的兴趣，为以后的课程学习奠定基础教学重点：解析法在平面力系中的应用教学难点：平面力系的合成定理的掌握教学课时：2教学过程：平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系 中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研 究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。下面分别介绍。一、几何法首先回顾用几何法合成两个

2、汇交力。如图 21a,设在物体上作用有汇交于 O点的两个力Fi和F2,根据力的平行四边形法则，可知合力 R的大小和方向是 以两力Fi和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力 R的作用点就是这两 个力的汇交点O。也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图 21b所小。8图21对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。设作用于物体上O点的力Fl、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力， 如图22a所示。应用力的三角形法则，首先将 Fi与F2合成得R,然后把R与 F3合成得R,最后将R与F4合成得R,力R就是原汇交力系Fi、F2、F3、F4的合 力

3、，图2-2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为F=Fi + F2 + F3 + F4(21)实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R和R,只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图22c所示。然后再画一条从起点指向终点的矢量 R,即为原汇交力系的合力， 如图22d所示。把由各分力和合力构成的多边形 abcde称为力多边形，合力矢 是力多边形的封闭边。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小， 合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用 线通过汇交点。这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则

4、。从图22e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形 的形状，但不会影响合成的最后结果。(-17 tg图22将这一作法推广到由n个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系 合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和， 可 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。矢量关系式为：R=Fi + F2 + F3 + + Fn=E F(21b)或简写为：R=E F (矢量和)(21c)若力系中各力的作用线位于同一条直线上， 在这种特殊情况下，力多边形变 成一条直线，合力为：R=EF(代数和)(2一2需要指出的是，利用几何法对力系进行合成，对于平面

5、汇交力系，并不要求 力系中各分力的作用点位于同一点，因为根据力的可传性原理，只要它们的作用 线汇交于同一点即可。另外，几何法只适用于平面汇交力系，而对于空间汇交力 系来说，由于作图不方便，用几何法求解是不适宜的。对于由多个力组成的平面汇交力系，用几何法进行简化的优点是直观、方便、 快捷，画出力多边形后，按与画分力同样的比例，用尺子和量角器即可量得合力 的大小和方向。但是，这种方法要求这图精确、准确，否则误差会较大。二、解析法求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的。1、力在平面直角坐标轴上的投影设力F用矢量AB表小如图23所小。取直角坐标系o

6、xy,使力F在oxy平面内。过力矢AB的两端点A和B分别向x、y轴作垂线，得垂足a、b及a/、b/, 带有正负号的线段ab与a/b/分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。并 规定：当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值；反之，当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时， 力的投影取负值。力的投影的值与力的大小及方向有关，设力 F与x轴的夹角为a ,则从图2 3可知Fx = F cos-s(2 Fy = -F sin：一3一般情况下，若已知力F与x和y轴所夹的锐角分别为a、B ,则该力在x、 y轴上的投影分别为Fx = F cos：n(24)

7、Fy 二：F cos即：力在坐标轴上的投影，等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。当力与轴垂直时，投影为零；而力与轴平行时，投影大小的绝对值等于该力的大 小。45。|_L_三_Lj AA图23图24反过来，若已知力F在坐标轴上的投影Fx、Fy,亦可求出该力的大小和方向 角：|Fy|（2一5）式中a为力F与x轴所夹的锐角，其所在的象限由Fx、Fy的正负号来确定。(26)在图23中，若将力沿x、y轴进行分解，可得分力Fx和Fy。应当注意， 力的投影和分力是两个不同的概念： 力的投影是标量，它只有大小和正负；而力 的分力是矢量，有大小和方向。它们与原力的关系各自遵循自己的规则。 在直角 坐标系中

8、，分力的大小和投影的绝对值是相同的。 同时，力的矢量也可以转化为 力的标量进行计算，即F=Fx+Fy=Fxi F j xy J式中i、j分别为沿直角坐标轴x、y轴正向的单位矢量。力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练 掌握。例 21 如图 24 所示，已知 F1 =100N,F2 =200N,F3 =300N, F4 =400N ,3各力的方向如图，试分别求各力在 x轴和y轴上的投影。 解：根据公式（23）或（24）,列表计算如下力力在x轴上的投影（F cosa ）力在y轴上的投影（土 F since）Fi100xcos00 = 100N100xsin0 =0F2-

9、200xcos600= -100N200xsin60：?=100V/3NF3-300Mcos600 = -150N-300Msin60，= -150v-3NF4400 Mcos45，= 200v2N-400Msin45= -2002N2、合力投影定理为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标 轴上投影的关系。图25如图2-5所示，设有一平面汇交力系Fi、F2、F3作用在物体的。点，如图25所小。从任一点A作力多边形ABCD如图2 5b所小。则矢量AB就表小该力系的合力R的大小和方向。取任一轴x如图示，把各力都投影在x轴上，并且 令Fxi、Fx2、Fx3和R分别表示各分力

10、Fl、F2、F3和合力R在x轴上的投影，由图2 5b可见Fxi=at）, Fx2=bc, Fx3 = -cd , R=ad而ad=ab+bc-cd因此可得R=Fxi+Fx2+Fx3这一关系可推广到任意个汇交力的情形，即R=Fxi+Fx2+Fxn=E Fx（26）由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 这就是合力投影定理。3、用解析法求平面汇交力系的合力当平面汇交力系为已知时，如图 2-6所示，我们可选直角坐标系，先求出 力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影R、R,从图26中的几何关系，可见合力 R的大小和方向由下式确 定：R

11、 = ：R2 +R2 =Fxf + 但 Fy 2Ry 归 Fyl（27）tana =J |Rx| 归 Fx式中：a为合力R与x轴所夹的锐角，R在哪个象限由三Fx和三Fy的正负 号来确定，具体详见图2-7所示。合力的作用线通过力系的汇交点 Oo图26图27下面举例说明如何求平面汇交力系的合力：例2-2如同28所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知Fi =10kN, F2 =20kN,F3 =25kN,三力均通过圆心 O。试求此力系合力的大小和方向解：运用两种方法求解合力。(1)几何法取比例尺为：1cm代表10kN,画力多边形如图2 8b所示，其中 ab= Fi ,bc= F2 ,cd =怛3

12、。从起点a向终点d作矢量ad ,即得合力R。由图上量 得，ad=4.4cm,根据比伊J尺可得，R=44kN;合力R与水平线之间的夹角用量角器 量得a =22 1图28(2)解析法取如图2-8所示的直角坐标系Oxy,则合力的投影分别为:Rx - Fi cos30F2 F3 cos60 = 41.16kNRy = -F1 sin 30F3 sin 60 = 16.65kN则合力R的大小为：R = R2 R； = 41.162 16.652 =44.40kN合力R的方向为：Ry16.65tan 口 =Rx41.16Rya = arctanRx二 arctan3=21.7941.16由于Rx0, Ry

13、0,故a在第一象限，而合力R的作用线通过汇交力系的 汇交点O。例23如图29所示，一平面汇交力系作用于 O点。已知F1 =200N, F2 =300N,各力方向如图。若此力系的合力 R与F2沿同一直线，求F3与合力R 的大小。解：用两种方法(1)几何法取比例尺如图所示。取任一点a开始作力多边形，ab= =1002由b点作4bc = F2 =300N，得折线abc,再从折线上的c点和a点分别作F3和R的平行线， 它们相交于一点d。多边形abcd即为力多边形。根据比例尺量得R=573NF3=141N合力R的作用线通过汇交点OoI心又因为:则得：即得又由图29(2)解析法取如图29所示的坐标系。由题可知 R沿x轴正向，则:Rx = R, Ry = 0Ry 八 FyF1 sin 30 - F3sin45、01200 F3 sin 45 =02F3= 141.4